分裂四元數(shù)的棣莫弗定理

孔祥強

(菏澤學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，山東 菏澤 274015)

愛爾蘭數(shù)學(xué)家Hamilton于1843年提出了四元數(shù)的概念，其形式為H0={a=a0+a1i+a2j+a3k}，其中a0，a1，a2，a3∈R，i，j，k滿足i2=-1，j2=-1，k2=-1，ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=j，ijk=-1.James Cockle于1849年研究了分裂四元數(shù)，其形式為H={a=a0+a1i+a2j+a3k}，其中a0，a1，a2，a3∈R，i，j，k滿足i2=-1，j2=1，k2=1，ij=-ji=k，jk=-kj=-i，ki=-ik=j，ijk=1．H為結(jié)合且非交換的四維克利福德代數(shù)，且含有零因子、冪等元和冪零元[1-3].分裂四元數(shù)及分裂四元數(shù)矩陣在經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)中均有重要應(yīng)用[4-5].文獻[6]給出了四元數(shù)的棣莫弗定理，文獻[7]研究了四元數(shù)實表示矩陣的棣莫弗定理.文獻[8]得到了半四元數(shù)的棣莫弗定理，并在文獻[9]中給出了半四元數(shù)實表示矩陣的棣莫弗定理.Jafari等給出了對偶四元數(shù)及其表示矩陣的棣莫弗定理[10-11].文獻[12-13]重點研究了分裂半四元數(shù)的棣莫弗定理及其應(yīng)用.文獻[14-15]研究了分裂四元數(shù)矩陣的實表示及實表示矩陣的特征值和逆矩陣求法.本文研究的對象是分裂四元數(shù)，得到兩種情形下分裂四元數(shù)的棣莫弗定理和歐拉公式；依托所得的棣莫弗定理，給出了分裂四元數(shù)方程的求根公式，并討論了分裂四元數(shù)不同方冪之間的聯(lián)系；最后，探討了分裂四元數(shù)的實表示矩陣的棣莫弗定理．

本文中C表示復(fù)數(shù)域，R表示實數(shù)域，Z表示整數(shù)集，Z+表示正整數(shù)集，H0表示四元數(shù)集.H表示分裂四元數(shù)集．

1 分裂四元數(shù)

定義1[16]設(shè)a=a0+a1i+a2j+a3k，且a0，a1，a2，a3∈R，i2=-1，j2=k2=1，ij=-ji=k，jk=-kj=-i，ki=-ik=j，ijk=1，則稱a為分裂四元數(shù)，記為a∈H．

設(shè)a，b∈H，則a+b=(a0+b0)+(a1+b1)i+(a2+b2)j+(a3+b3)k.若d∈R，則da=(da0)+(da1)i+(da2)j+(da3)k．

a與b的乘積定義為

ab=SaSb-〈Va，Vb〉+SaVb+SbVa+

Va×Vb，

其中〈Va，Vb〉=a1b1-a2b2-a3b3，Va×Vb=(a3b2-a2b3)i+(a3b1-a1b3)j+(a1b2-a2b1)k.a與b的乘積也可記為

性質(zhì)1設(shè)a，b∈H，λ1，λ2∈R，則

4)Nab=NaNb；

性質(zhì)2設(shè)a，b∈H，且a≠0，若xa=b或ay=b，則

定義2[12]設(shè)a，b∈H，a=Sa+Va，b=Sb+Vb，則a與b的內(nèi)積為

性質(zhì)3設(shè)a，a′，b∈H，則

1)h(ab，a′b)=Nb·h(a，a′)；

2)h(ba，ba′)=Nb·h(a，a′)；

證明僅給出1)、3)的證明，2)、4)的證明可類似得出．

2 分裂四元數(shù)的棣莫弗定理

下面分兩種情形討論分裂四元數(shù)的棣莫弗定理．

又

又

k=0，1，2，…,n-1．

(k=0，1，2，…，n-1)

為方程xn=a的n個根．

(k=0，1，2，3)．

故

下面討論分裂四元數(shù)的不同方冪之間存在的聯(lián)系．

m=n(modq)．

由m=n(modq)，則m=kq+n(k∈Z)，

a=a13=a25=a37=…，a2=a14=a26=a38=…，

…… ……

a6=a18=a30=a42=…=-1，a12=a24=a36=a48=…=1,

…… ……

3 分裂四元數(shù)的實表示矩陣的棣莫弗定理

3.1 分裂四元數(shù)的實表示矩陣

設(shè)a=a0+a1i+a2j+a3k∈H，由文獻[14-15]，任一分裂四元數(shù)均與R上的4階矩陣同構(gòu)，對分裂四元數(shù)的研究可轉(zhuǎn)化為R上4階矩陣的研究.a的實表示矩陣記為

3.2 分裂四元數(shù)實表示矩陣的棣莫弗定理

則

cosω+(s1sinω，s2sinω，s3sinω)，

由此，a的實表示矩陣A可改寫為

則

由數(shù)學(xué)歸納法易知定理6成立．

依定理6，可求出A的任意方冪.如

推論1由定理6，對于n≥3，滿足An=In的單位分裂四元數(shù)的實矩陣A有無窮多個．

4 結(jié)語

對分裂四元數(shù)理論的研究是四元數(shù)量子力學(xué)的重要課題.本文研究的重點是將棣莫弗定理推廣到分裂四元數(shù)及分裂四元數(shù)的實表示矩陣上，得到了兩種情形下分裂四元數(shù)的棣莫弗定理，并給出了分裂四元數(shù)的實表示矩陣的棣莫弗定理.根據(jù)所得的棣莫弗定理，得到了分裂四元數(shù)方程的求根公式，給出了求分裂四元數(shù)的任意方冪的方法，并討論了分裂四元數(shù)不同方冪之間的聯(lián)系.本文的結(jié)論，為研究分裂四元數(shù)及交換四元數(shù)[18]的其他問題提供了理論支撐.以此為基礎(chǔ)，還可進一步研究分裂四元數(shù)的復(fù)表示矩陣的棣莫弗定理等問題．