基于非定常漏風(fēng)系數(shù)的超壓過(guò)程數(shù)學(xué)模型分析

趙海洋, 李 鑫, 張 林

(1. 火箭軍工程設(shè)計(jì)研究院, 北京 100011; 2. 浙江大學(xué) 化學(xué)工程與生物工程學(xué)院, 浙江 杭州 310027)

1 前 言

在密閉空間形成高于外界大氣壓的空氣環(huán)境，即超壓環(huán)境，能夠有效阻止外部污染源向內(nèi)部入侵，是保障軍事、人防等防護(hù)工程安全的重要手段。超壓防護(hù)相關(guān)設(shè)計(jì)原理和控制研究已多有報(bào)道。例如，施曉波等[1]介紹了防護(hù)區(qū)超壓控制設(shè)計(jì)原理，為多區(qū)或全船式防護(hù)系統(tǒng)的超壓設(shè)計(jì)提供參考。劉秀峰等[2]通過(guò)分析水面艦艇集體防護(hù)區(qū)超壓建立過(guò)程，對(duì)高壓區(qū)、中壓區(qū)、低壓區(qū)之間流通面積進(jìn)行調(diào)節(jié)，提升了超壓建立過(guò)程效率。郭前等[3]通過(guò)分析計(jì)算防毒通道超壓值和超壓漏風(fēng)量的取值，提出了不同超壓下隔絕防護(hù)時(shí)間內(nèi)清潔區(qū)所需空氣量的計(jì)算方法。包劍等[4]利用數(shù)值模擬對(duì)目前國(guó)內(nèi)艦艇使用的一種超壓控制閥的性能進(jìn)行分析，從而確定其流量特性?？梢?jiàn)，數(shù)學(xué)分析有助于厘清各種因素對(duì)超壓過(guò)程的影響，為防護(hù)工程的超壓設(shè)計(jì)和系統(tǒng)調(diào)試提供理論依據(jù)。

在超壓系統(tǒng)中，其防護(hù)效果主要受工程漏風(fēng)系數(shù)、容積等因素影響。特別是，一旦密閉門(mén)的橡膠密封墊磨損或老化，會(huì)加劇內(nèi)部空氣泄漏，降低內(nèi)部超壓水平，弱化工程防護(hù)效果，增加外部污染源入侵風(fēng)險(xiǎn)?，F(xiàn)行的防護(hù)工程設(shè)計(jì)原則中，漏風(fēng)系數(shù)通常被視為常數(shù)[5]，導(dǎo)致內(nèi)部超壓的設(shè)計(jì)值與實(shí)際值存在較大差異，在長(zhǎng)期運(yùn)行中，既增加了工程能耗，也不利于超壓環(huán)境調(diào)控。在作者的前期研究中[6-7]，漏風(fēng)系數(shù)在0～150 Pa 被看作常數(shù)，并依此建立了密閉空間超壓過(guò)程在理想狀態(tài)下的數(shù)學(xué)模型(簡(jiǎn)稱(chēng)“理想模型”)。然而，工程測(cè)試實(shí)驗(yàn)表明[8]，漏風(fēng)系數(shù)受超壓值影響，導(dǎo)致“理想模型”對(duì)工程設(shè)計(jì)的指導(dǎo)非常有限；另外，“理想模型”僅適用于超壓值在0～150 Pa 的情況，當(dāng)實(shí)際漏風(fēng)量較小或設(shè)計(jì)濾毒風(fēng)量余量較大時(shí)，工程內(nèi)將出現(xiàn)較高超壓值(大于 150 Pa)，理想超壓過(guò)程數(shù)學(xué)模型適用性尚不確定。為此，本文針對(duì)上述問(wèn)題，分析了漏風(fēng)系數(shù)的影響因素，建立基于非定常漏風(fēng)系數(shù)的密閉空間超壓過(guò)程數(shù)學(xué)模型，討論分析漏風(fēng)系數(shù)對(duì)超壓過(guò)程的影響。

2 物理模型與理論基礎(chǔ)

圖1 防護(hù)工程的密閉空間超壓過(guò)程物理模型Fig.1 Model of overpressure process in confined space of protective engineering

2.1 物理模型

根據(jù)防護(hù)工程的實(shí)際狀況，建立如圖 1 所示的密閉空間超壓過(guò)程物理模型。內(nèi)部清潔區(qū)體積為V，m3；壓強(qiáng)為p0+Δp；外部壓強(qiáng)為大氣壓p0；進(jìn)風(fēng)量為Qin，漏風(fēng)量為Qleak。為簡(jiǎn)化分析過(guò)程，對(duì)超壓過(guò)程進(jìn)行如下假設(shè)：1) 內(nèi)部清潔區(qū)與外部染毒區(qū)的溫度相等且保持恒定；2)氣體擴(kuò)散對(duì)超壓過(guò)程的影響可忽略。

2.2 漏風(fēng)量、漏風(fēng)系數(shù)與漏風(fēng)率

2.2.1 漏風(fēng)量

防護(hù)工程的漏風(fēng)現(xiàn)象主要發(fā)生在防毒通道與內(nèi)部清潔區(qū)的邊界區(qū)域。密閉門(mén)門(mén)框與橡膠密封墊之間漏風(fēng)部位的漏風(fēng)量與其風(fēng)速和面積相關(guān)。隨工程內(nèi)超壓值增加，密封墊因彈性會(huì)發(fā)生細(xì)微形變，從而影響漏風(fēng)部位面積和最終漏風(fēng)量。漏風(fēng)部位可視為平板間隙，假設(shè)密封墊長(zhǎng)度為L(zhǎng)，厚度為D，寬度為W，無(wú)超壓時(shí)間隙為h，見(jiàn)圖2。當(dāng)外部氣壓為p0，內(nèi)部壓強(qiáng)為(p0+Δp)時(shí)，間隙內(nèi)平均超壓值為

圖2 密封墊在超壓下的形變示意圖Fig.2 Schematic diagram of gasket deformation under overpressure

平板間隙流體的平均速度u 為[9]

式中：漏風(fēng)率m 的單位為h-1。同時(shí)，可認(rèn)為漏風(fēng)率是超壓值的二次函數(shù)。

3 超壓過(guò)程數(shù)學(xué)模型優(yōu)化

3.1 數(shù)學(xué)模型優(yōu)化

設(shè)進(jìn)風(fēng)風(fēng)機(jī)啟動(dòng)時(shí)，t = 0；到t 時(shí)刻，清潔區(qū)超壓值為Δp，求解過(guò)程如下：

在超壓形成過(guò)程中，凈風(fēng)量ΔQt為

式(15)為恒定漏風(fēng)系數(shù)對(duì)應(yīng)的密閉空間超壓過(guò)程數(shù)學(xué)模型[6]，即“理想模型”。

(2) 當(dāng) A ≠ 0 時(shí)，設(shè) Qin/V = C，式(14)變形得

為表達(dá)簡(jiǎn)潔和便于理解，不再將g 和f 表達(dá)式代入推算結(jié)果，且將式(20)、(22)和(24)分別簡(jiǎn)稱(chēng)為“g+模型”、“g-模型”和“g0 模型”。分析式(17)和(18)可知，f 和g 均是A 的函數(shù)，前者代表了密閉空間內(nèi)超壓值的增加速率，后者代表了漏風(fēng)系數(shù)的改變速率。以時(shí)間 t 為自變量將上述各式變形，求得超壓值表達(dá)式為

3.2 初始值與邊界條件

根據(jù)案例工程實(shí)測(cè)結(jié)果[8]，漏風(fēng)系數(shù)與超壓值呈正相關(guān)，故A > 0。又因B2/A2> 0，C > 0，故g > 0。因此，“g+模型”適用于案例工程分析。利用式(10)對(duì)實(shí)測(cè)漏風(fēng)系數(shù)和超壓值進(jìn)行擬合，見(jiàn)圖3?？傻寐╋L(fēng)率與超壓值的線(xiàn)性關(guān)系為

即 A = 8×10-8，B = 10-4。相關(guān)系數(shù) R 接近于 1，表示式(26)能夠很好地?cái)M合實(shí)測(cè)結(jié)果，也說(shuō)明理論分析比較合理。

為便于對(duì)比分析，結(jié)合工程實(shí)際，將大氣壓、進(jìn)風(fēng)量、工程容積和初始漏風(fēng)系數(shù)分別取值為 p0= 105Pa、Qin= 2 000 m3?h-1、V = 30 000 m3、B =10-4。3 種數(shù)學(xué)模型邊界條件見(jiàn)表1。

(1) 在“g+模型”中，因g > 0，必有A >-B2/(4C)。當(dāng)-B2/(4C) < A < 0 時(shí)，漏風(fēng)系數(shù)與超壓值呈負(fù)相關(guān)；當(dāng)A > 0 時(shí)，兩者呈正相關(guān)。

(2) 在“g-模型”中，因g < 0，必有A < 0，漏風(fēng)系數(shù)與超壓值呈負(fù)相關(guān)。當(dāng)A = -10-7時(shí)，滿(mǎn)足g < 0，可用于下文分析。當(dāng)漏風(fēng)系數(shù)降為0時(shí)，空間不再漏風(fēng)，漏風(fēng)率和漏風(fēng)量均為0，超壓值隨時(shí)間呈線(xiàn)性增加，即

圖3 案例工程中漏風(fēng)系數(shù)與超壓值的擬合曲線(xiàn)Fig.3 Fitting curve of air leakage coefficient and overpressure in practical case

表1 3 種數(shù)學(xué)模型邊界條件對(duì)比表Table 1 Comparison of boundary conditions of three models

式中：t1為漏風(fēng)系數(shù)和漏風(fēng)率降為0 所需時(shí)間。將式(25)代入(10)后，整理得

代入數(shù)據(jù)，求得t1= 12.25 min。

(3) 在“g0 模型”中，因g = 0，得A = -3.75×10-8，即漏風(fēng)系數(shù)與工程超壓值呈負(fù)相關(guān)。

根據(jù)上述分析，不同數(shù)學(xué)模型中漏風(fēng)率和漏風(fēng)系數(shù)與超壓值的關(guān)系可表示為圖4。當(dāng)g = 0 時(shí)，k～Δp關(guān)系曲線(xiàn)為直線(xiàn)(圖4(a))，m～Δp 關(guān)系曲線(xiàn)為拋物線(xiàn)(圖4(b))，兩條曲線(xiàn)將所在平面分為I 區(qū)和II 區(qū)，分別對(duì)應(yīng)“g+模型”和“g-模型”的適用范圍。

圖4 3 種模型邊界條件中漏風(fēng)系數(shù)和漏風(fēng)率與超壓值的關(guān)系曲線(xiàn)Fig.4 Relationship between air leakage coefficient/rate and overpressure under boundary conditions of three models

3.3 超壓過(guò)程對(duì)比

根據(jù)式(25)可獲得超壓值隨時(shí)間的變化曲線(xiàn)(見(jiàn)圖 5)。在起初階段，3 條曲線(xiàn)比較接近。隨著時(shí)間增加，3 條曲線(xiàn)差異逐漸變大?！癵+模型”曲線(xiàn)走勢(shì)先上升，隨后接近穩(wěn)定值?！癵-模型”在前期(t < t1)增勢(shì)較緩，隨后趨于相對(duì)陡峭?！癵0 模型”曲線(xiàn)介于“g+模型”、“g-模型”兩條曲線(xiàn)之間，隨時(shí)間增加而緩慢趨于水平。根據(jù)實(shí)測(cè)結(jié)果和調(diào)試經(jīng)驗(yàn)，防護(hù)工程內(nèi)超壓值一般均會(huì)達(dá)到穩(wěn)定，因此“g+模型”與“g0模型”更接近實(shí)際。

圖5 超壓值隨時(shí)間的變化曲線(xiàn)Fig.5 Profiles of overpressure in different models

圖6 漏風(fēng)系數(shù)和漏風(fēng)率隨時(shí)間的變化曲線(xiàn)Fig.6 Profiles of air leakage coefficient and rate as a function of time

3.4 漏風(fēng)系數(shù)對(duì)超壓過(guò)程的影響

3 種模型中漏風(fēng)系數(shù)和漏風(fēng)率隨時(shí)間的變化曲線(xiàn)見(jiàn)圖6。

(1) 在“g+模型”中，漏風(fēng)系數(shù)k+和漏風(fēng)率m+隨時(shí)間持續(xù)增加，待超壓接近限值后逐漸趨于平穩(wěn)。當(dāng)密閉空間達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，漏風(fēng)系數(shù)k+、漏風(fēng)率m+和超壓值均趨于極限值，凈風(fēng)量為0，即

因此，在“g-模型”中漏風(fēng)系數(shù)k-和漏風(fēng)率m-的變化可分為3 個(gè)階段：起初階段(t ≤ tmax)，漏風(fēng)系數(shù)k-呈線(xiàn)性減小，漏風(fēng)率m-緩慢增加至最大值mmax- ，超壓值快速增加；中間階段(tmax＜ t ≤ t1)，漏風(fēng)系數(shù)k-持續(xù)減小至0，漏風(fēng)率m-也隨之減小至0，超壓值繼續(xù)增加；最后階段(t ＞ t1)，漏風(fēng)系數(shù)k-和漏風(fēng)率m-均為0，工程不再漏風(fēng)，超壓值開(kāi)始呈線(xiàn)性增加(圖5)。根據(jù)式(11)可知，當(dāng)t ≤tmax時(shí)，超壓值對(duì)漏風(fēng)率的影響起主導(dǎo)作用；當(dāng)tmax≤ t ≤ t1時(shí)，漏風(fēng)系數(shù)對(duì)漏風(fēng)率的影響起主導(dǎo)作用。

(3) 在“g0 模型”中，漏風(fēng)系數(shù)k0持續(xù)減小，漏風(fēng)率m0和超壓值緩慢趨于平穩(wěn)(圖6)。將式(25)和(29)代入(10)，并求極限得

因此，在“g0 模型”中當(dāng)超壓值趨于穩(wěn)定時(shí)，漏風(fēng)系數(shù)k0將減至B/2，漏風(fēng)率m0將增至C，超壓值穩(wěn)定至-f。也就是說(shuō)，“g0 模型”中漏風(fēng)系數(shù)k0持續(xù)減小，與k-的變化規(guī)律相似；漏風(fēng)率m0持續(xù)增加，與m+的變化規(guī)律相似。因此，“g0 模型”描述的超壓過(guò)程規(guī)律兼有“g+模型”和“g-模型”的特點(diǎn)。

4 超壓過(guò)程數(shù)學(xué)模型驗(yàn)證

將“g+模型”和“理想模型”預(yù)測(cè)的超壓過(guò)程與實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比，見(jiàn)圖 7。2 種模型預(yù)測(cè)的超壓過(guò)程與實(shí)測(cè)結(jié)果走勢(shì)一致，但預(yù)測(cè)極限超壓值均比實(shí)測(cè)值高，主要源于2 個(gè)模型都忽略了風(fēng)管阻力和擴(kuò)散作用。當(dāng)進(jìn)風(fēng)量為550 m3?h-1時(shí)，“g+模型”和“理想模型”極限超壓值分別為162.3 和173.0 Pa，比實(shí)測(cè)值139.0 Pa 高出16.8% 和24.4%。當(dāng)進(jìn)風(fēng)量為2 200 m3?h-1時(shí)，“g+模型”和“理想模型”極限超壓值分別為518.4 和691.8 Pa，比實(shí)測(cè)值461.0 Pa 高出12.5% 和50.1%。進(jìn)風(fēng)量較小時(shí)，風(fēng)管阻力和擴(kuò)散作用對(duì)超壓過(guò)程的影響比較顯著，漏風(fēng)系數(shù)的影響相對(duì)較小，“g+模型”相對(duì)“理想模型”的優(yōu)勢(shì)不太突出。進(jìn)風(fēng)量較大時(shí)，風(fēng)管阻力和擴(kuò)散作用對(duì)超壓過(guò)程的影響相對(duì)減小，漏風(fēng)系數(shù)的影響顯著增加，“g+模型”相對(duì)“理想模型”的優(yōu)勢(shì)比較突出。此外，密封面實(shí)際磨損情況比較復(fù)雜，存在褶皺，老化無(wú)彈力，甚至部分缺失等情況，將此簡(jiǎn)化為彈性平板間隙，勢(shì)必造成一定誤差。然而，對(duì)比分析表明，“g+模型”比“理想模型”更接近實(shí)測(cè)結(jié)果，因此前者能夠更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)實(shí)際工程的超壓過(guò)程。

圖7 模擬與實(shí)測(cè)超壓過(guò)程對(duì)比圖Fig.7 Comparison of overpressure variation between model and experimental results

5 結(jié) 論

現(xiàn)有超壓過(guò)程數(shù)學(xué)模型比較簡(jiǎn)單，難以準(zhǔn)確反映超壓過(guò)程的實(shí)際規(guī)律。本文在總結(jié)工程竣工驗(yàn)收經(jīng)驗(yàn)和分析試驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上，結(jié)合流體力學(xué)理論分析，從密封墊的微觀(guān)應(yīng)變?nèi)胧?，探討了漏風(fēng)系數(shù)的非定常性質(zhì)，推導(dǎo)了漏風(fēng)系數(shù)與超壓值的線(xiàn)性關(guān)系，并據(jù)此提出了3 種超壓過(guò)程數(shù)學(xué)模型，分析了模型邊界條件，討論了漏風(fēng)系數(shù)對(duì)超壓過(guò)程的影響。對(duì)比研究表明，本文所建數(shù)學(xué)模型比“理想模型”能夠更準(zhǔn)確地描述實(shí)際工程的超壓過(guò)程，并預(yù)測(cè)工程內(nèi)超壓變化規(guī)律。此外，該模型過(guò)程并未限定超壓值的范圍，因此具有較廣泛的適用性。后續(xù)將針對(duì)不同類(lèi)型的密封情況，進(jìn)一步細(xì)化超壓數(shù)學(xué)模型的研究。

符號(hào)說(shuō)明：

E — 密封墊彈性模量，Pa

h — 間隙高度，m

k0— 初始漏風(fēng)系數(shù)，Pa-1?h-1

kmax— “g-模型”中最大漏風(fēng)系數(shù)，Pa-1?h-1

L — 間隙長(zhǎng)度，m

m-max— “g-模型”中最大漏風(fēng)率，h-1

p0— 大氣壓，Pa

Δp — 超壓值，Pa

Qin— 進(jìn)風(fēng)量，m3?h-1

Qleak— 漏風(fēng)量，m3?h-1

ΔQt— 凈風(fēng)量，m3?h-1

t — 時(shí)間，min

tmax— “g-模型”中漏風(fēng)率最大時(shí)的時(shí)間，min

W — 間隙寬度，m

上標(biāo)

+ — g+模型中的對(duì)應(yīng)參數(shù)

- — g-模型中的對(duì)應(yīng)參數(shù)

0 — g0 模型中的對(duì)應(yīng)參數(shù)

下標(biāo)

appr — 極限值

max — 最大值