數(shù)學(xué)模型在傳染病建模中的應(yīng)用

上海健康醫(yī)學(xué)院 醫(yī)療器械學(xué)院 上海 213038

數(shù)學(xué)建模對于激發(fā)大學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、增強數(shù)學(xué)創(chuàng)新實踐能力、提升競爭意識和創(chuàng)新意愿等方面的積極作用已經(jīng)成為教育界的共識[1]。然而,學(xué)生們在遇到實際問題時常常感到無從下手,課堂上學(xué)到的相關(guān)知識不能進行有效的轉(zhuǎn)化和應(yīng)用。如何學(xué)以致用,提高解決實際問題的能力一直是學(xué)者們關(guān)注的問題。在傳染病建模中,長期占據(jù)主導(dǎo)地位的是倉室模型,這一思想是由Robert和May提出的,目前仍在不斷的沿用和發(fā)展,所謂的倉室模型是指針對某類傳染病的傳播特點把人群分為相應(yīng)的類群,然后根據(jù)疾病的傳播規(guī)律,構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型[2]。本文將采用倉室模型的基本思想,著重介紹四類常見傳染病的建模思路。

1 艾滋病傳播模型(SI模型)

因此,該疾病的數(shù)學(xué)模型可以表示為:

2 流感模型(SIS)

SIS模型與SI模型的主要差異在于SIS模型中被感染者可以被治愈,比如季節(jié)性流感等。但是由于流感病毒容易變異,所以痊愈的病人仍然有被感染的可能性,因此該模型需要在SI模型的基礎(chǔ)上考慮病愈后的個體重新回到易感者人群中,也即需要用SIS模型來描述。假設(shè)病人從感染者轉(zhuǎn)變?yōu)橐赘姓叩母怕蕿棣?其他參數(shù)和上面相同,我們可以用以下常微分方程組來描述該模型:

3 急性傳染病模型(SIR)及其拓展模型(SIRS)

SIR模型刻畫的傳染病為發(fā)病迅遠,康復(fù)后體內(nèi)含有終身免疫的抗體,不會再被感染的疾病,如:天花、麻疹、腮腺炎等。由于痊愈后個體具有免疫力,不會被再次感染,所以對于這類疾病而言,應(yīng)將人群劃分為易感者(S)、感染者(I)和移出者(R)三類,γ,則單位時間會有γI個感染者進入移出者倉室,模型的具體形式如下:

SIRS模型與SIR模型的區(qū)別在于,后者具有終身免疫期,康復(fù)的病人不會再次被感染;而前者有暫時的免疫期,病人康復(fù)后先進入移出者倉室,然后再以一定的比例進入易感者倉室。

4 帶潛伏期的傳染病模型(SEIR)

SEIR模型刻畫的是具有感染潛伏期,在潛伏期內(nèi)不表現(xiàn)出感染癥狀,但是能夠感染易感者個體,并且治療康復(fù)后將產(chǎn)生抗體不會再被感染的疾病,如SARS疾病,所以對于這類疾病而言,應(yīng)將人群劃分為易感者(S)、潛伏者(E)、感染者(I)和移出者(R)四類,假設(shè)潛伏者確診感染的概率為σ,疾病的康復(fù)率為γ,其他參數(shù)與前面相同,那么模型的具體形式如下:

綜上,本文只是從疾病傳播機理的角度介紹了四類傳染病最基本的數(shù)學(xué)建模方法,而在實際問題中疾病的傳播是非常復(fù)雜的過程,例如疾病的垂直傳染性、時滯因素和參數(shù)的確定等,需要我們綜合考慮各種因素,制定出最能反映實際情況的模型,只有這樣才能真正做到理論聯(lián)系實際。