一個(gè)典型例題的非典型解法的課堂實(shí)錄與反思

廣東省佛山市順德區(qū)華僑中學(xué) 廣東 佛山 528300

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常要利用已學(xué)的知識(shí)或者已掌握的方法,使用類比法探索新的知識(shí),發(fā)現(xiàn)新問題的解決方法。在數(shù)學(xué)解題中,類比發(fā)現(xiàn)法與歸納發(fā)現(xiàn)法一樣,都是經(jīng)過探求進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問題解決方案的數(shù)學(xué)思維方法,二者的差異僅在方向不同。歸納發(fā)現(xiàn)法的使用主要是由特殊性到一般性的過程,而類比發(fā)現(xiàn)法更注重的是由所知的一般性到未知的一般性的過程,其關(guān)鍵是尋找恰當(dāng)?shù)念惐葘ο蟆?/p>

直線與圓錐曲線問題一直都是高中代數(shù)的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容之一,它也是解析幾何的一個(gè)主要問題,同時(shí)這類問題也充分體現(xiàn)了代數(shù)與幾何之間不可分割的關(guān)系,是學(xué)生能深刻體會(huì)解析幾何精髓的主要載體。

學(xué)生在學(xué)習(xí)完“直線與圓”的有關(guān)知識(shí)后,學(xué)生能利用幾何知識(shí)發(fā)現(xiàn)有關(guān)的最值問題的解法,而且這類問題一般都能利用“幾何法”很快地就發(fā)現(xiàn)最大、最小值所在的位置。但是相對于圓而言,圓錐曲線的幾何性質(zhì)則顯得不那么規(guī)則,所以解決這類問題就顯得麻煩很多。

在課堂的教學(xué)中,為了能讓學(xué)生能由所學(xué)的知識(shí)延伸到新的知識(shí),掌握直線與圓錐曲線的相關(guān)最值問題,我讓學(xué)生通過類比探究,由直線與圓中的最值問題,發(fā)現(xiàn)直線與橢圓中的最值問題的解決過程。但在這個(gè)過程中,有些學(xué)生的思維出乎我的意料之外。

以下是課堂實(shí)錄:

這位同學(xué)展示完后,進(jìn)行了以下的闡述:

甲:由直線和圓的位置關(guān)系的知識(shí),可知:當(dāng)一條直線和圓相交時(shí),圓上的點(diǎn)到直線的距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)就是這條直線與圓相交的弦的中點(diǎn)和圓心的連線與圓的交點(diǎn)。由于橢圓是由圓經(jīng)過伸縮變換而來的,所以橢圓上的點(diǎn)到某條直線的距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)也可以這樣類比得到。在直線l的左上方,點(diǎn)P1到直線l的距離是最長的;在直線l的右下方,點(diǎn)P2到直線l的距離是最長的。

學(xué)生甲闡述完自己的解題過程后,有些同學(xué)聽懂了,但更多的同學(xué)是有疑問的,因?yàn)樗麄兌际撬贫嵌?。于是我有進(jìn)行了下面的引導(dǎo)發(fā)現(xiàn):

我:是的,這位同學(xué)講的非常好,我們是需要利用已學(xué)的知識(shí)或者方法進(jìn)行發(fā)現(xiàn)的,但他所闡述的這種方法,大家能接受嗎?

生:差不多明白,但好像還是有一些疑問,在圓里面,這是毫無疑問的,但是放到橢圓中,這就一定可以嗎?

我:對,大家問得很好。甲同學(xué)的思路是非常正確的,他利用了直線與圓中的最值問題,類比得到直線與橢圓的最值問題。但是,大家再仔細(xì)想想,為什么點(diǎn)P1到直線l的距離是最長的呢?

生:好像老師曾經(jīng)講過,是作直線l的平行線l1,當(dāng)l1與圓相切時(shí),切點(diǎn)到直線l的距離是最長的,因?yàn)榍悬c(diǎn)是最遠(yuǎn)離直線l的點(diǎn)。

我:非常好,那么你能類比得到在直線與橢圓的問題中,最遠(yuǎn)的點(diǎn)如何找到嗎?

生:一樣的,我們也可以作直線l的平行線l2,當(dāng)l2與圓相切時(shí),切點(diǎn)到直線l的距離是最長的。

我:對了,非常好。就很容易解釋為什么甲同學(xué)找到的點(diǎn)P是最遠(yuǎn)的那個(gè)點(diǎn),那么,大家知道這類題應(yīng)該怎么解決了嗎?

生:當(dāng)然,如果直線l的方程為Ax+By+C=0,那么可設(shè)與l平行且與橢圓相切的直線l'的方程為:Ax+By+C'=0,這個(gè)方程與橢圓的方程ax2+by2=1聯(lián)立,組成方程組,消元之后,得到一個(gè)一元二次方程,由于l'與橢圓是相切的,所以得到的方程只有一個(gè)解,因此,判別式Δ=0,由此得到C'的值,也就可以得到點(diǎn)P的坐標(biāo),問題也就得到解決了。

我:大家總結(jié)的非常好,我們解決未知問題的過程中,要能從已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)中發(fā)現(xiàn)新知識(shí)與舊知識(shí)之間的順延、從屬關(guān)系,并從相似之處中進(jìn)行探索,找到類比的素材,并運(yùn)用已有的知識(shí)解決未知的問題。

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中需要通過對信息的加工、轉(zhuǎn)換進(jìn)行自我調(diào)節(jié),通過同化和順應(yīng)完成新知識(shí)的建構(gòu),其中包含著不可缺少的反思的因素。學(xué)生在發(fā)現(xiàn)的過程中的一個(gè)最關(guān)鍵的問題是如何與所學(xué)的知識(shí)聯(lián)系起來,并且能發(fā)現(xiàn)解決某一類問題的基本方法。

通過這堂課,也讓我感受到在課堂教學(xué)實(shí)踐中,“要以學(xué)生為主體;要激發(fā)學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的欲望;要給學(xué)生主動(dòng)發(fā)展提供廣闊的時(shí)間和空間;要重視交流與合作;要提高活動(dòng)教學(xué)的針對性?！闭n堂教學(xué)應(yīng)該注重類比發(fā)現(xiàn)法這樣的嘗試運(yùn)用,不斷地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究,啟迪學(xué)生解題智慧,找到解題線索和思路,從而能達(dá)到觸類旁通的效果。

學(xué)生在自我探究發(fā)現(xiàn)的過程中,可能與教師預(yù)期的不同的,但并不表示他們的想法是錯(cuò)誤,教師應(yīng)該給與學(xué)生更多的展示時(shí)間,在給與適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)評(píng),讓他們明白自己在探究的過程中出現(xiàn)的偏差,及時(shí)地糾正或者優(yōu)化他們的探究過程。