基于Manipulate 的大學(xué)數(shù)學(xué)課件制作

段 敏

合肥學(xué)院 人工智能與大數(shù)據(jù)學(xué)院，安徽 合肥 230601

1 數(shù)學(xué)課件制作綜述

計(jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是課件，尤其是要求有動(dòng)態(tài)交互式操作的課件，其開(kāi)發(fā)難度大，這也是教師，特別是數(shù)學(xué)教師很少用課件的原因之一。使用技術(shù)人員而非教學(xué)人員開(kāi)發(fā)的課件，不利于體現(xiàn)教師個(gè)人的教學(xué)風(fēng)格，而結(jié)合自己的教學(xué)藝術(shù)來(lái)開(kāi)發(fā)課件，往往受到自身計(jì)算機(jī)技術(shù)，特別是程序設(shè)計(jì)技術(shù)的制約而達(dá)不到教學(xué)目的。

教師，特別是數(shù)學(xué)教師，上課時(shí)不能一遇到畫(huà)圖、復(fù)雜計(jì)算就強(qiáng)調(diào)原因，少講、不講甚至跳過(guò)，這不利于教學(xué)質(zhì)量的提高。要讓教師知道，電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)使數(shù)學(xué)的教學(xué)面貌也煥然一新，計(jì)算機(jī)將某些定理精美而玄妙的證明改變?yōu)椤熬?xì)”而“機(jī)械”的程序設(shè)計(jì)，把靈活的數(shù)學(xué)技巧改變?yōu)椤按舭濉钡木幊碳夹g(shù)[1]。

就大學(xué)數(shù)學(xué)課程中，無(wú)論是高等數(shù)學(xué)，還是線性代數(shù)與解析幾何等課程，若沒(méi)有計(jì)算機(jī)的參與，就缺少了形象直觀的圖形，很多概念很難講清楚?，F(xiàn)在的教學(xué)強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，要調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，最重要的就是要讓學(xué)生親自動(dòng)手，自己借助于計(jì)算機(jī)去“折騰”數(shù)學(xué)，在“折騰”的過(guò)程中去學(xué)習(xí)，去觀察，去探索，去發(fā)現(xiàn)，而不是由老師教他們多少內(nèi)容[2]，由此誕生了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程的開(kāi)設(shè)。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程中，若能添上具有交互式操作的圖形用戶界面，必將大大提高教學(xué)質(zhì)量，這就需要有很好的交互式課件來(lái)幫助教學(xué)。

如何選擇開(kāi)發(fā)交互式課件的工具軟件，楊澤忠在其所著《CAMI 導(dǎo)論 計(jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)》一書(shū)中提出所使用的數(shù)學(xué)課件編寫(xiě)工具一般有四類：第一類，用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言來(lái)編寫(xiě)數(shù)學(xué)課件的方法；第二類，利用專門(mén)的課件語(yǔ)言來(lái)編寫(xiě)的方法；第三類，利用課件著作工具編寫(xiě)的方法；第四類，利用某些數(shù)學(xué)問(wèn)題解決或發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的軟件來(lái)編寫(xiě)數(shù)學(xué)課件的方法[3]。不管選擇哪一類，學(xué)習(xí)難度由第一類依次遞減，影響了數(shù)學(xué)課件的開(kāi)發(fā)進(jìn)程。

能否有一種軟件能按照數(shù)學(xué)的思維方式開(kāi)發(fā)課件呢？這種軟件即要能做數(shù)值計(jì)算與符號(hào)運(yùn)算，也能繪圖并進(jìn)行程序設(shè)計(jì)，更重要的是能否在程序代碼中表示想調(diào)節(jié)的參數(shù)與交互式控件架起一個(gè)橋梁，使程序或課件的運(yùn)行結(jié)果以圖形用戶界面展示給用戶，以方便習(xí)慣于Windows 的用戶操作。不要去調(diào)節(jié)代碼中的參數(shù)，再重新生成課件等繁瑣的操作，而且要開(kāi)發(fā)周期短，甚至可以在教學(xué)時(shí)開(kāi)發(fā)與交互式演示操作在課堂內(nèi)完成，讓學(xué)生體驗(yàn)到以過(guò)程為中心的教學(xué)方式。

Mathematica 是最符合數(shù)學(xué)教師使用的數(shù)學(xué)軟件，6.0 以后的版本中開(kāi)發(fā)的Manipulate 函數(shù)，架起了代碼與圖形用戶界面交互式操作的橋梁，開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)交互式課件也變得容易，不管從事高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、微分方程、數(shù)值分析等眾多數(shù)學(xué)課程教學(xué)，只要教師按照自己的教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方式，簡(jiǎn)單的幾行代碼，加上Manipulate 的包裝，一個(gè)具有交互式操作的圖形用戶界面便躍然屏幕之上，通過(guò)簡(jiǎn)單的拖動(dòng)，加上教師的講解，數(shù)學(xué)思想一點(diǎn)點(diǎn)展現(xiàn)出來(lái)，勝過(guò)千言萬(wàn)語(yǔ)的講解。

2 Manipulate 函數(shù)功能簡(jiǎn)介

Manipulate 是Mathematica6.0 以后版本新開(kāi)發(fā)的用于交互式運(yùn)行函數(shù)和命令的方式，是溝通開(kāi)源式代碼和圖形交互式操作用戶界面的橋梁與指針。有了它，就能創(chuàng)建一個(gè)圖形用戶界面來(lái)操縱任意表達(dá)式或圖形，就能像使用Windows 圖形用戶界面一樣方便。

Manipulate 的最一般書(shū)寫(xiě)格式為：

Manipulate[代碼段，控件1，控件2，…，控件n]

實(shí)際寫(xiě)代碼時(shí)宜采用縮進(jìn)格式，以便于閱讀與修改，養(yǎng)成程序設(shè)計(jì)的風(fēng)格。

代碼段是程序區(qū)，用于完成程序設(shè)計(jì)的書(shū)寫(xiě)，可長(zhǎng)可短，反映的是算法思想的代碼實(shí)現(xiàn)，更能體現(xiàn)程序設(shè)計(jì)風(fēng)格的數(shù)學(xué)化，它實(shí)質(zhì)是一種函數(shù)式的編程語(yǔ)言，有著像C 語(yǔ)言或Pascal 一樣的結(jié)構(gòu)化程序設(shè)計(jì)方式，教師只要有一種程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言的基礎(chǔ)，掌握Mathematica 的程序設(shè)計(jì)方法是很容易的。因?yàn)檎Z(yǔ)言千變?nèi)f化，但萬(wàn)變不離其宗，核心的語(yǔ)句都是4 類：賦值語(yǔ)句、基本運(yùn)算語(yǔ)句、條件語(yǔ)句和循環(huán)語(yǔ)句，作用無(wú)非是用來(lái)指揮計(jì)算機(jī)執(zhí)行4 類基本功能[4]。而選擇Mathematica 書(shū)寫(xiě)代碼，以思維方式數(shù)學(xué)化的深刻內(nèi)涵為引領(lǐng)，定能編寫(xiě)出高質(zhì)量的好程序、好課件。

控件1，控件2，…，控件n 區(qū)域中的控件，借助于Manipulate 映射到交互式圖形用戶界面。簡(jiǎn)單地講，Manipulate 函數(shù)就是操控函數(shù)的變量，它能夠調(diào)用各式各樣的控件以用戶想要的方式進(jìn)行操控，最后完成一個(gè)或多個(gè)變量在其定義域內(nèi)變化而產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)過(guò)程[5]。讓教師真正體會(huì)到計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的核心內(nèi)涵和學(xué)生的探究式與研究性學(xué)習(xí)方式，而且開(kāi)發(fā)周期短，甚至可以在上課時(shí)邊教學(xué)，邊開(kāi)發(fā)，學(xué)生能體會(huì)到數(shù)學(xué)推理、論證、計(jì)算的過(guò)程，能深刻理解數(shù)學(xué)思想。

3 通過(guò)案例掌握控件的使用方法

3.1 泰勒級(jí)數(shù)課件

泰勒級(jí)數(shù)的理解與深刻的數(shù)學(xué)思想內(nèi)涵，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是個(gè)難點(diǎn)，不管教師如何講解，總是達(dá)不到生動(dòng)直觀的形象理解。此時(shí)課件登場(chǎng)，通過(guò)教師的演示與改變參數(shù)，一會(huì)調(diào)節(jié)展開(kāi)的階數(shù)，一會(huì)調(diào)節(jié)在哪一點(diǎn)展開(kāi)，還可選擇被展開(kāi)函數(shù)，調(diào)節(jié)區(qū)間范圍觀察逼近的效果。此課件甚至可以現(xiàn)場(chǎng)制作，讓學(xué)生特別是師范生知道課件編寫(xiě)的流程，再加上教師的教學(xué)方法與自己獨(dú)特的教學(xué)風(fēng)格，師生互動(dòng)，讓學(xué)生深感數(shù)學(xué)的魅力所在。何謂教育數(shù)學(xué)，簡(jiǎn)言之，教育數(shù)學(xué)的目標(biāo)是把數(shù)學(xué)變?nèi)菀譡6]。

通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)課件的制作，把具有交互式控件操作的圖形用戶界面的課件中所要用到的一些控件代碼的使用方法展示出來(lái)。

本文對(duì)控件的格式、功能與使用，放在代碼中以注釋的方式敘述，可能比羅列一大堆命令后再去使用可能效果要好。請(qǐng)輸入以下代碼并運(yùn)行之，得到交互式圖1。

g[x_]:=Sin[4*x]*Cos[x]; (*在此輸入系統(tǒng)中沒(méi)有定義的函數(shù)表達(dá)式*)

Manipulate[

(*繪出逼近的圖形*)

Plot[Evaluate[{Normal[Series[f[x]，{x，x0，n}]]，f[x]}]，{x，-a，a}]，

(*以下顯示標(biāo)題*)

Item["泰勒級(jí)數(shù)演示"，Alignment-＞Center]，

(*以下是控件區(qū)域，是溝通代碼與圖表用戶界面的橋梁，注釋掉不運(yùn)行，去掉注釋即可運(yùn)行*)

(*下面的控件操作，任意選擇一行注釋掉不運(yùn)行，去掉注釋即可運(yùn)行*)

{{n，3，" 請(qǐng)拖動(dòng)滑桿以顯示展開(kāi)到幾階"}，1，50，1}， (*相當(dāng)于輸入滑桿*)

{{f，Sin，"請(qǐng)選擇函數(shù)"}，{Sin，Cos，Tan，Exp，g}}，(*以標(biāo)簽選擇輸入*)

(*以下是下拉式菜單選擇輸入*)

(*{{f，Sin，"請(qǐng)選擇函數(shù)"}，{Sin，Cos，Tan，Exp，ArcTan},ControlType-＞PopupMenu},*)

{{x0,0," 請(qǐng)選擇在哪點(diǎn)展開(kāi)"},ControlType-＞InputField}, (*以文本框輸入*)

(*以下是圓按鈕選擇輸入*)

{{a,1,"區(qū) 間 范 圍"},{0.5-＞"[-0.5,0.5]",5-＞"[-5,5]"},ControlType-＞RadioButton},TrackedSymbols-＞All, SaveDefinitions-＞Manipulate]

圖1 泰勒級(jí)數(shù)演示

總而言之，交互式輸入通過(guò)調(diào)節(jié)控件類型選項(xiàng)，能夠?qū)崿F(xiàn)類似于windows 的文本框、下拉式列表框、選項(xiàng)卡、滑桿、微調(diào)按鈕等常用的交互式操作；也可設(shè)置初值、標(biāo)簽等一些提示信息；還可通過(guò)行列布局命令實(shí)現(xiàn)交互界面的各對(duì)象的布局。

通過(guò)幫助文件，深入學(xué)習(xí)Manipulate 操作命令中的各種選項(xiàng)的使用方法，仔細(xì)品讀示例與模仿練習(xí)，定能提高交互式界面的數(shù)學(xué)課件設(shè)計(jì)水平。

3.2 無(wú)窮小概念課件的制作

在高等數(shù)學(xué)中，有關(guān)無(wú)窮小量的概念學(xué)生較難理解，而通過(guò)下面的演示課件，見(jiàn)圖2，拖動(dòng)區(qū)間調(diào)節(jié)滑桿，觀察圖中兩條曲線的貼近程度，等價(jià)無(wú)窮小的概念的核心思想表現(xiàn)的淋漓盡致，而且能動(dòng)態(tài)輸入函數(shù)，實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)交互，極大地提高了教學(xué)質(zhì)量與效果。

Manipulate[ Plot[{f,g},{x,-a,a}],

Item["以下體會(huì)等價(jià)無(wú)窮小概念",Alignment-＞Center]，

Item [" 請(qǐng)?jiān)趂 [x] 與g [x] 中輸入兩個(gè)函數(shù)"，Alignment-＞Left],

Item [" 然后拖動(dòng)滑塊，觀察兩條曲線"，Alignment-＞Left],

Item["g(x)中還可輸入Tan(x) ArcSin[x] ArcTan[x] Log[1+x] Exp[x]-1 等函數(shù)"，Alignment-＞Left]，{{f,x,"f[x]="}，ControlType-＞InputField}，

{{g,Sin[x],"g[x]="}，ControlType-＞InputField}，

{{a,2,"區(qū)間調(diào)節(jié)"}，2，10^(-5),-10^(-6)}

]

圖2 等價(jià)無(wú)窮小概念理解

4 結(jié)語(yǔ)

限于篇幅，以上只是精選了兩則案例，其實(shí)大學(xué)數(shù)學(xué)課程中的許多概念，都可以編制出交互式操作的課件。數(shù)學(xué)的思想方法以算法的語(yǔ)言方式表現(xiàn)在代碼段，想調(diào)節(jié)哪個(gè)參數(shù)對(duì)象或?qū)傩?，只要在控件區(qū)設(shè)置好，一個(gè)簡(jiǎn)單的Shift+回車鍵，具有交互式操作的圖形用戶立即生成。Mathematica 數(shù)學(xué)軟件中的Manipulate 命令，極大地降低了開(kāi)發(fā)交互式數(shù)學(xué)課件的難度，廣大教師早已把它融入到打造模塊化課程的教學(xué)改革之中，并已取得了良好的教學(xué)效果。