基于Winkler模型的沿空留巷底板變形力學(xué)分析*

劉高林 阮永芬 魏德永 王雨潔 劉克文

(1.昆明理工大學(xué)建筑工程學(xué)院 昆明 650500； 2.云南建投第一勘察設(shè)計(jì)有限公司 昆明 650031)

0 引言

在煤炭開采過(guò)程中，通常采取先挖巷道再逐步開采巷道左右兩側(cè)煤炭的方法，為保證開采巷道的安全，對(duì)采煤巷道底板受力變形的研究尤為重要。龍馭球[1]采用半無(wú)限彈性體理論，即假設(shè)地基為均質(zhì)、連續(xù)、彈性的半無(wú)限體，將地基的計(jì)算分為平面問(wèn)題和空間問(wèn)題進(jìn)行求解。丁敏等[2]假設(shè)彈性地基梁兩端自由，求解出了彈性地基梁在任意荷載作用下的撓度方程。李順群等[3]結(jié)合Winkler彈性地基梁經(jīng)典公式p=kω，將地基梁轉(zhuǎn)化為無(wú)限長(zhǎng)梁，求得其轉(zhuǎn)角θ、彎矩M和剪力Q。華心祝等[4]認(rèn)為上部巖層掉落出現(xiàn)集中應(yīng)力，并傳遞到巷道底板導(dǎo)致底板受力變化，這是產(chǎn)生底臌的主要原因。上述研究并未對(duì)巷道底板的內(nèi)力變化給出確切的計(jì)算公式或計(jì)算公式較為復(fù)雜，本文利用Winkler彈性地基梁理論，建立巷道底板在頂板巖層垮落荷載作用下的受力模型，用解析解推導(dǎo)出巷道底板的內(nèi)力、轉(zhuǎn)角、位移及撓度公式，分析出沿空留巷底板破壞機(jī)理，為相應(yīng)防控措施的提出提供理論依據(jù)，為巷道設(shè)計(jì)及工程施工提供分析計(jì)算公式，確保采煤巷道底板的變形及受力在允許范圍內(nèi)，保證其安全運(yùn)行。

1 沿空留巷受力力學(xué)模型的建立及分析

結(jié)合巷道實(shí)際情況建立力學(xué)模型進(jìn)行分析，為簡(jiǎn)化計(jì)算將底板當(dāng)作彈性體，減去上覆原巖應(yīng)力γh，煤礦邊界處看作固定支座，取單位長(zhǎng)度進(jìn)行分析。按彈性地基梁原理建立力學(xué)模型進(jìn)行分析。圖1為巷道左側(cè)開挖后采空區(qū)頂板巖塊A、巖塊B在重力影響下發(fā)生垮落，若不做防護(hù)措施，垮落巖層將堵塞巷道，影響采煤工作開展。為保證巷道正常工作，可在巷道內(nèi)架設(shè)混凝土支護(hù)，巷道右側(cè)為煤幫，即右側(cè)均布荷載q，頂板將在支護(hù)外側(cè)發(fā)生斷裂，斷裂后垮落在底板上產(chǎn)生的荷載分布如圖2所示，荷載最大值為hq0，其中h為應(yīng)力集中系數(shù)，巷道左側(cè)荷載為q1，左側(cè)邊界處荷載為q0，底板反力為kω，其中k為地基系數(shù)，巷道底板力學(xué)分析模型如圖2所示。在側(cè)墻極限平衡區(qū)取dx段巖體進(jìn)行研究，建立其彈性地基梁力學(xué)分析模型如圖3所示。

圖1 煤礦開采示意

圖2 巷道底板力學(xué)模型

圖3 微元體力學(xué)分析

Winkler對(duì)地基模型提出以下假設(shè)：地基表面任一點(diǎn)的沉降ω與該點(diǎn)所受的壓力p成正比[5]，即

(1)

側(cè)墻微單元體的靜力平衡條件為

V+bpx-V+dV-qxdx=0

(2)

式中,b為側(cè)墻沿隧道縱向的長(zhǎng)度。進(jìn)而可得

(3)

材料在一定荷載作用下，轉(zhuǎn)角與撓度、彎矩、剪力、荷載呈導(dǎo)數(shù)關(guān)系[6]，即

(4)

(5)

(6)

可簡(jiǎn)化為

ω'=θ

(7)

EIω''=M

(8)

EIω'''=F

(9)

EIω(4)=Q

(10)

式中，ω為撓度；ω、ω、ω、ω(4)為撓度的導(dǎo)數(shù)；θ、M、F、Q分別為底板轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力、荷載；E為彈性模量；I為慣性矩。

根據(jù)巷道底板力學(xué)模型，可得底板各段所受荷載為

(11)

高階線性微分方程的解為通解+特解，即

(12)

ω11x=eαx(A1cosαx+A2sinαx)+e-αx(A3cosα+A4sinαx)

(13)

(14)

式中，g為式(11)中不含ω項(xiàng)；A1～A4、B1～B4、C1～C4、D1～D4為各段中的積分常數(shù)。以0

(15)

由式(2)～(4)可知，分別對(duì)ωx求一、二、三階導(dǎo)數(shù)，可求出巷道底板轉(zhuǎn)角θ、彎矩M及剪力F。

(16)

(17)

(18)

根據(jù)連續(xù)條件和支撐條件確定各段中的積分常數(shù)[7]。根據(jù)巷道底板力學(xué)模型可得

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

利用MATLAB可計(jì)算出積分常數(shù)如下：A1=0.003 04，A2=-0.000 263，A3=-0.046 2，A4=-0.057 1，B1=0.000 035 8，B1=-0.000 446，B3=-0.023 2，B4=-0.435，C1=0.000 007 99，C2=-0.000 006 59，C3=-1.34，C4=-0.488，D1=-0.000 023 8，D2=0.000 897，D3=-1.92，D4=1.66。

2 算例應(yīng)用

將積分常數(shù)代入式(15)～(18)，可求得巷道底板撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力，如圖4～圖7所示。

結(jié)合圖4～圖7與工程經(jīng)驗(yàn)可知，巷道底板的破壞主要由兩方面原因造成：一方面，隨著采空區(qū)不斷增大，上覆巖塊會(huì)慢慢垮落，從而導(dǎo)致底板所受應(yīng)力增加，造成底板剪切破壞，如圖7所示，巷道底板剪力最大約為7 kN；另一方面，巷道開挖與采空區(qū)增大的過(guò)程相當(dāng)于卸載過(guò)程，從而引起巷道底板產(chǎn)生負(fù)彎矩，發(fā)生彎曲破壞，如圖6所示，巷道底板彎矩最大約為16 kN·m。根據(jù)兩種破壞形式可采取以下防護(hù)措施:①排出地下水，設(shè)置豎向排水井，以加快土體固結(jié)的速度；②夯實(shí)或更換表層土體中抗剪強(qiáng)度較小的土層，增加底板承載力；③錨注加固底板，根據(jù)底板不同硬度采取相應(yīng)的加固措施，對(duì)于硬度為中硬及以上的底板可通過(guò)打底板錨桿進(jìn)行防治，對(duì)于松軟底板可進(jìn)行灌漿加固；④綜合考慮整個(gè)結(jié)構(gòu)，盡量使巷旁支護(hù)寬度、剛度與底板的強(qiáng)度相匹配[9]。

圖4 巷道底板撓度曲線

圖5 巷道底板轉(zhuǎn)角曲線

圖6 巷道底板彎矩曲線

圖7 巷道底板剪力曲線

3 結(jié)語(yǔ)

(1)利用Winkler彈性地基梁理論，計(jì)算推導(dǎo)了任意荷載下巷道底板的撓度、彎矩、剪力、轉(zhuǎn)角公式。

(2)結(jié)合大量工程實(shí)例得出，巷道底板破壞形式大多為剪切破壞，主要原因是隨著煤礦的不斷開采，上覆巖層因垮落傳遞給巷道底板的力就會(huì)增加，這時(shí)底板所受剪力也會(huì)增加。為防止巷道底板發(fā)生剪切破壞，可通過(guò)對(duì)底板進(jìn)行灌漿、更換抗剪強(qiáng)度較小的土層等方法，提高巷道底板抗剪強(qiáng)度，預(yù)防因底部剪力過(guò)大而發(fā)生剪切破壞。

(3)此方法計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況大致相符，且計(jì)算簡(jiǎn)單，可為此類工程的設(shè)計(jì)施工提供經(jīng)驗(yàn)。