基于自適應(yīng)分數(shù)階擴展卡爾曼的鋰電池SOC估算

余 鵬，王順利，于春梅

（西南科技大學(xué)信息工程學(xué)院，四川 綿陽621010）

隨著環(huán)保意識的日益增強，無污染、可循環(huán)利用的清潔能源越來越受到推廣。在汽車行業(yè)，鋰電池驅(qū)動的純電動汽車將逐漸取代以汽油為燃料的傳統(tǒng)汽車[1]。然而，精確地估算電池荷電狀態(tài)(SOC)是很困難的，因為電池本身是一個高度非線性的系統(tǒng)，并且電池參數(shù)會隨著SOC值、溫度、電池老化程度等變化[2]。文獻[3]提出一種基于二階RC 模型的SOC辨識方法，未考慮模型參數(shù)隨電池充放電變化的情況。文獻[4]中提出基于分數(shù)階模型的分數(shù)階擴展卡爾曼算法估算SOC，估算結(jié)果展示了分數(shù)階算法具有快速收斂的特性，但由于分數(shù)階算法特性，隨著歷史數(shù)據(jù)的增多而造成計算負荷增大。文獻[5-6]利用擴展卡爾曼算法估算電池SOC，再建立仿真模型進行精度驗證，由于傳統(tǒng)擴展卡爾曼算法(EKF)在進行非線性變換時會造成較大誤差，驗證結(jié)果在SOC較低時誤差更大。針對電池參數(shù)的時變特性、分數(shù)階算法計算量大以及傳統(tǒng)EKF估算精度低的問題，本文作者提出了一種改進分數(shù)階擴展卡爾曼算法(FEKF)，充分考慮鋰電池充放電特性，采用時變參數(shù)等效電路模型表征電池充放電特性。加入記憶長度因子精簡分數(shù)階算法復(fù)雜度，考慮噪聲的實時更新特性提出滑窗模型自適應(yīng)噪聲因子，提高了SOC估算的魯棒性與精度

1 鋰電池模型建立及參數(shù)辨識

1.1 等效電路模型

等效電路模型可用于表征鋰電池外部特性和內(nèi)部參數(shù)之間的關(guān)系。建立準確的電池模型是SOC估算的基礎(chǔ)，等效電路模型的準確性將直接影響SOC估算的準確性。目前，常用的等效電路模型有Rint模 型、Thevenin 模 型 和PNGV 模 型[7]。Thevenin 模型參數(shù)相對較少，曲線擬合時為單指數(shù)數(shù)學(xué)模型，與PNGV 模型相比，后續(xù)估算過程需要較少的計算，更適合嵌入式系統(tǒng)的SOC估算[8]。同時，在傳統(tǒng)Thevenin模型基礎(chǔ)上采用時變函數(shù)刻畫模型參數(shù)隨SOC 的變化，它能在各個SOC 階段為SOC 估算提供準確的模型，估算效果有很高的精度保證。Thevenin模型如圖1所示。

圖1 Thevenin等效電路模型Fig.1 Thevenin equivalent circuit model

圖1 中，Ro為歐姆內(nèi)阻；Cp和Rp分別為極化電容和極化電阻；Up是極化電容上的極化電壓；Uo是電池的開路電壓；UL是電池的負載電壓；IL是負載電流。負載電壓UL的物理方程可以結(jié)合Thevenin等效電路模型求得，如式(1)所示。

利用該電路模型能采用數(shù)學(xué)方法描述鋰電池對外特征，考慮電池的充放電效率的情況下根據(jù)安時積分法和基爾霍夫定律可以分別列出SOC計算式和Thevenin電路方程[9]。

式中，η 為充放電效率；Q0為電池容量，安時積分法采用的是開環(huán)方法估算電池SOC，沒有考慮對估算結(jié)果的有效修正。

1.2 模型參數(shù)辨識

利用HPPC(hybrid pulsepower characteristic)實驗數(shù)據(jù)辨識出Thevenin模型中的參數(shù)值，從而使得采用該模型能有效、準確地表征實際鋰充放電特征。通過HPPC實驗可以獲得不同SOC下的脈沖充放電電壓數(shù)據(jù)，計算得到參數(shù)值見表1。

表1 參數(shù)與SOC對應(yīng)值Table1 The parameter corresponding SOC

根據(jù)以上辨識結(jié)果可以擬合各參數(shù)隨SOC變化的多項式曲線。

各參數(shù)與SOC的多項式關(guān)系可以表征電池使用過程中，隨SOC 變化，鋰電池內(nèi)部結(jié)構(gòu)會發(fā)生變化，從而表現(xiàn)出對外電氣特性的變化。與利用各SOC點參數(shù)平均值建立的等效電路模型相比，考慮了電池特征的時變性，能更加精確地體現(xiàn)鋰電池的對外物理特性。圖2為開路電壓Uo與SOC的多項式擬合關(guān)系圖以及擬合誤差。

圖2(a)中藍色曲線Uo-SOC1 是通過HPPC 實驗測得的實際開路電壓Uo與SOC的函數(shù)關(guān)系曲線圖，紅色曲線Uo-SOC2是采用四階多項式函數(shù)關(guān)系擬合得到的Uo與SOC關(guān)系曲線。圖2(b)為擬合曲線與實驗結(jié)果的誤差曲線，從圖中可以看出通過四階多項式擬合結(jié)果誤差不超過0.03 V，說明Thevenin模型能很好地表征鋰電池外特性并且四階多項式也能準確地數(shù)學(xué)描述Uo隨SOC的變化過程。

圖2 Uo-SOC擬合結(jié)果Fig.2 Uo-SOC fitting results

2 改進分數(shù)階算法理論

2.1 EKF理論

EKF算法是對經(jīng)典卡爾曼算法的改進，在該方法中，將非線性空間方程在xk處進行泰勒級數(shù)展開，并且消除二階及以上的高階項，以獲得近似線性空間方程[10]。然后將卡爾曼濾波算法應(yīng)用于線性空間方程，估計當前狀態(tài)值。離散非線性系統(tǒng)空間的狀態(tài)方程和觀測方程如式(4)所示。

式中，xk代表k時刻的系統(tǒng)狀態(tài)變量；yk是k時刻觀測變量；uk作為系統(tǒng)控制變量；A 是狀態(tài)變量的狀態(tài)轉(zhuǎn)化矩陣；B 是輸入矩陣；C 是測量矩陣；ωk是系統(tǒng)的過程噪聲；νk是測量噪聲[11]。采用EKF估算電池SOC時，上述狀態(tài)方程和觀測方程可以寫為式(5)。

觀測方程中的觀測值為電池兩端的端電壓UL，根據(jù)Thevenin 模型中開路電壓Uo、極化電壓Up和內(nèi)阻Ro上電壓的關(guān)系求得觀測方程中端電壓表達式。與式(4)對比可以得出A、B、C的表達式。

然后利用分數(shù)階導(dǎo)數(shù)公式對算法后續(xù)工作進行變形處理。

2.2 分數(shù)階導(dǎo)數(shù)

早在1994年就有學(xué)者提出，當t=0時，將恒定的直流電壓U加載在電容兩端，產(chǎn)生一個電流i(t)=V/(htn)，其中，0＜n＜1，t＞0，h 是和電容容量有關(guān)的恒定值，這意味著電容本質(zhì)是分數(shù)階的[12]。分數(shù)階導(dǎo)數(shù)實際是對整數(shù)導(dǎo)數(shù)的推廣，常見的分數(shù)階導(dǎo)數(shù) 有： Riemann-Liouville (R-L)、 Caputo 以 及Grunwald-Letnikov(G-L)分數(shù)階導(dǎo)數(shù)，本文結(jié)合G-L定義設(shè)計分數(shù)階算法做估算。G-L 定義如式(7)所示。

分數(shù)導(dǎo)數(shù)相較于整數(shù)導(dǎo)數(shù)，具有更好的全局相關(guān)性。式中，h 為位移距離；n 是導(dǎo)數(shù)階數(shù)，可以擴展到任意分數(shù)導(dǎo)數(shù)。

2.3 改進的FEKF算法

使用G-L分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義對EKF狀態(tài)變量求分數(shù)階導(dǎo)數(shù)并取采樣時間為1(h=1)。

Δ 為差分算子，n 為差分階數(shù)，結(jié)合狀態(tài)方程(4)可以得到分數(shù)階線性離散狀態(tài)方程

式中，Ad=A-I(I 為單位矩陣)，式(8)和式(9)是對一維狀態(tài)變量的分數(shù)階表述，由于傳統(tǒng)EKF狀態(tài)方程式(5)采用二維狀態(tài)變量所以將其推廣到高維分數(shù)階狀態(tài)空間方程如式(10)所示。

其中

γ為分數(shù)階；n1，…，nk是分數(shù)階的階數(shù)；N為狀態(tài)變量的維度。由傳統(tǒng)卡爾曼濾波器定義并結(jié)合式(10)可以得到狀態(tài)變量xk的一步最佳線性預(yù)測如式(12)所示。

由于經(jīng)典FEKF 算法對歷史數(shù)據(jù)有很強的依賴性，雖然保證了迭代算法的全局性，但在歷史數(shù)據(jù)過多的情況下會出現(xiàn)數(shù)據(jù)飽和的情況，考慮到實驗采樣時間與實驗時長造成的數(shù)據(jù)冗余，加入記憶長度因子M(當數(shù)據(jù)超過M時遺忘“過時”的老數(shù)據(jù)，保留離當前時刻最近的M 個數(shù)據(jù))。同時考慮相應(yīng)的自適應(yīng)過程噪聲與觀測噪聲，先對其進行數(shù)學(xué)定義。

采用滑窗思想對固定長度的輸出電壓誤差求取均方誤差，當新數(shù)據(jù)到來則替換窗口停留時間最長的老數(shù)據(jù)。根據(jù)記憶長度M=20，取窗口長度也為20，輸出端電壓誤差計算式見式(14)。

式中，dk為噪聲自適應(yīng)過程中權(quán)值因子；ek是端電壓的新息序列，通過定長度的歷史數(shù)據(jù)計算與分數(shù)階微分歷史數(shù)據(jù)相對應(yīng)的平均誤差。然后計算預(yù)測協(xié)方差矩陣Pk|k-1并根據(jù)最小均方差原則計算卡爾曼增益Kk。

根據(jù)狀態(tài)變量xk和一步最佳線性預(yù)測x^k|k-1，在獲得協(xié)方差矩陣預(yù)測值和卡爾曼增益之后，更新狀態(tài)變量以獲得最佳狀態(tài)變量值即最小均方誤差估計值，同時加入自適應(yīng)因子對協(xié)方差矩陣進行更新，如式(16)所示。

用分數(shù)階算法實現(xiàn)電池SOC估計能使用觀測值和狀態(tài)變量的預(yù)測值不斷更新系統(tǒng)狀態(tài)變量，并通過迭代計算方法獲得最優(yōu)狀態(tài)變量，同時加入自適應(yīng)噪聲因子達到噪聲濾波的效果，圖3為該算法流程圖。

圖3 算法流程圖Fig.3 Algorithm flow chart

算法以擴展卡爾曼為基礎(chǔ)，利用分數(shù)階導(dǎo)數(shù)具有記憶性的特點對狀態(tài)預(yù)測方程進行分數(shù)階積分增加狀態(tài)預(yù)測的全局相關(guān)性，提高狀態(tài)預(yù)測的準確度。同時利用滑窗模型思想計算自適應(yīng)因子Rk，將自適應(yīng)因子轉(zhuǎn)化到協(xié)方差矩陣以及卡爾曼增益中，提高算法精度。

3 實驗驗證

3.1 等效電路模型精度驗證

在Matlab/Simulink 中，將模型和算法相結(jié)合，建立Thevenin 等效電路模型和SOC 估算算法，將參數(shù)數(shù)據(jù)代入算法，通過自適應(yīng)迭代運算求解SOC值。圖4 是對提出的Thenvenin 模型進行DST(dynamic stress test)工況驗證。

圖4(a)是在DST工況下模型輸出電壓和電池兩端實際電壓的對比，其中U1是實際端電壓，U2是模型仿真電壓。圖4(b)是模型電壓和真實電壓的差值，從圖中可以看出在DST工況中該Thevenin模型的電壓誤差不超過0.03 V，在電池放電末期，由于電池本身化學(xué)特性會出現(xiàn)較大的壓降，所以電壓差達到0.04 V。結(jié)果表明提出的Thevenin模型和參數(shù)辨識的結(jié)果對鋰電池的表征有很高的準確度和可靠性。

3.2 算法精度驗證

以上構(gòu)建的時變等效電路模型可以為算法提供精確的模型基礎(chǔ)，有效避免由于模型精度誤差引起的算法估算誤差。圖5 是改進的FEKF 算法和EKF算法在鋰電池環(huán)境溫度為25 ℃時的恒流工況和DST工況下的SOC估算結(jié)果。

圖4 等效模型驗證Fig.4 Equivalent model verification

圖5(a)、5(c)分別是恒流工況和DST 工況下使用兩種算法對SOC進行估算的結(jié)果，SOC_Re是標準參考SOC 值。圖5(b)、5(d)分別是兩種工況下SOC 估算的誤差，可以看出兩種工況下改進的FEKF 算法相較于EKF 算法的估計精度更高，誤差在2%以下。并且由于改進算法加入了自適應(yīng)噪聲，誤差波動更加平滑，可以看出，該算法對SOC估算精度很高噪聲濾波效果更好，對移動端的電池SOC估算具有積極意義。

圖5 不同工況下FEKF估算結(jié)果Fig.5 FEKF Estimation Results under differrent Condition

4 結(jié) 論

為了建立更精確的等效電路模型，保證SOC估計的準確性，本文提出了一種改進的參數(shù)辨識方法，采用時變的參數(shù)值表征實際鋰電池特性時變的化學(xué)本質(zhì)，利用參數(shù)值與SOC的多項式關(guān)系建立精確的等效電路模型。實驗表明，該方法得到的等效電路模型與實際電路之間的誤差小于0.03 V。采用改進FEKF 方法估算SOC，在復(fù)雜工況下的估計誤差不超過2%。由于加入了記憶長度因子M 和滑窗模型，不僅計算量小而且具有較高的魯棒性，對于鋰電池狀態(tài)精確估算有指導(dǎo)意義。