基于FFRLS和AEKF的鋰離子電池SOC在線估計(jì)研究

封居強(qiáng)，伍 龍，黃凱峰，盧 俊，張 星

（1淮南師范學(xué)院機(jī)械與電氣工程學(xué)院，安徽 淮南232038；2淮南市礦用電子技術(shù)研究所，安徽淮南232008）

為了應(yīng)對(duì)氣候變化，推動(dòng)綠色發(fā)展的戰(zhàn)略舉措。我國(guó)自2012 年發(fā)布《節(jié)能與新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展規(guī)劃(2012—2020)》，始終堅(jiān)持以純電驅(qū)動(dòng)為戰(zhàn)略[1]。發(fā)展新能源汽車是我國(guó)從汽車大國(guó)向汽車強(qiáng)國(guó)的必由之路，為了進(jìn)一步推進(jìn)新能源汽車產(chǎn)業(yè)高質(zhì)量發(fā)展，加快建設(shè)汽車強(qiáng)國(guó)，制定了《新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展規(guī)劃(2021—2035 年)(征求意見稿)》，要求提高技術(shù)創(chuàng)新能力、深化“三縱三橫”研究布局[2]。其中優(yōu)化設(shè)計(jì)動(dòng)力電池與管理系統(tǒng)是關(guān)鍵零部件技術(shù)供給體系的首要任務(wù)。動(dòng)力電池作為純電動(dòng)汽車唯一的動(dòng)力源，在電動(dòng)汽車中的工作環(huán)境及狀況極其復(fù)雜。隨著路況和駕駛?cè)藛T操縱方式的改變，動(dòng)力電池需要時(shí)刻適應(yīng)急劇的變化。電池管理系統(tǒng)(battery management system，BMS)通過實(shí)時(shí)采集電池組以及單體的端電壓、工作電流、溫度等信息，以此獲取電池的工作狀態(tài)，比如荷電狀態(tài)(state of charge，SOC)、健康狀態(tài)(state of health，SOH)、能量狀態(tài)(state of energy，SOE)等，從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化控制動(dòng)力電池負(fù)載輸出電流。其中，SOC 的估計(jì)是動(dòng)力電池管理系統(tǒng)的核心技術(shù)之一，精確的估計(jì)SOC 的值對(duì)確保電動(dòng)汽車的可靠安全使用有重要的意義[3]。

現(xiàn)階段已有的SOC 估計(jì)方法比較多，常用的方法大致可分為安時(shí)積分法、開路電壓曲線法、基于模型方法和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法等[4]。根據(jù)SOC 定義可知，安時(shí)積分法較為簡(jiǎn)單，但受到SOC 初始狀態(tài)影響，估計(jì)結(jié)果存在系統(tǒng)誤差，且隨著動(dòng)力系統(tǒng)運(yùn)行過程累加[5]；開路電壓曲線法是實(shí)驗(yàn)室測(cè)試過程常用的方法，該方法主要依據(jù)SOC-OCV關(guān)系曲線確定動(dòng)力電池相關(guān)狀態(tài)，估計(jì)SOC 前需要保證動(dòng)力電池處于開路狀態(tài)，且靜止足夠長(zhǎng)的時(shí)間，該方法不適合SOC 的在線估計(jì)[6]；數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)等，該方法估計(jì)精度較高，但是算法復(fù)雜、難度較大，對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)的依賴性程度高，多以離線數(shù)據(jù)預(yù)處理研究為主，且現(xiàn)有的芯片無(wú)法滿足動(dòng)力汽車的實(shí)時(shí)性[7]；基于模型方法包括電化學(xué)模型[8]和等效電路模型，電化學(xué)模型主要描述動(dòng)力電池正負(fù)極之間動(dòng)態(tài)傳質(zhì)過程，并且依據(jù)內(nèi)部帶電離子的傳遞過程建模，精度較高，但復(fù)雜的電化學(xué)偏微分方程難以分析和計(jì)算，無(wú)法滿足實(shí)時(shí)系統(tǒng)需求。等效電路模型由理想元器件(電源、電阻、電容等)構(gòu)成，采用線性變換參數(shù)方法來(lái)模擬動(dòng)力電池非線性工作特性[9]，具有線性特性，計(jì)算易于實(shí)現(xiàn)。通過上述研究可知，基于等效電路模型的SOC 估計(jì)更適合實(shí)時(shí)在線系統(tǒng)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對(duì)模型系統(tǒng)建立狀態(tài)方程和觀測(cè)方程，采用改進(jìn)卡爾曼濾波(Kalman filtering，KF)算法進(jìn)行SOC 在線估計(jì)是最有效的方法。

本文在上述研究的基礎(chǔ)上，選擇3.7 V/70 A·h大容量三元鋰離子電池為研究對(duì)象。首先構(gòu)建可靠的等效電路模型，建立狀態(tài)方程和觀測(cè)方程；以遺忘因子遞推最小二乘法(forgetting factor recursive least square，F(xiàn)FRLS)在線計(jì)算模型參數(shù)；然后采用AEKF(adaptive extended Kalman filte，AEKF)方法進(jìn)行SOC 估計(jì)；最后，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證此方法的可行性和有效性。

1 電池建模及辨識(shí)方法驗(yàn)材

1.1 等效模型建立及離散化處理

等效電路模型對(duì)于動(dòng)力電池的各種工作狀態(tài)有較好的適用性，可以推導(dǎo)出模型的狀態(tài)方程，便于分析和應(yīng)用，在新能源汽車建模仿真研究中得到廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[4, 10]充分考慮離線和在線參數(shù)辨識(shí)方法的優(yōu)缺點(diǎn)，基于赤池信息量準(zhǔn)則(Akaike's information criteion，AIC)提出定量評(píng)價(jià)模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜度和預(yù)測(cè)精度綜合性能函數(shù)，結(jié)果表明一階RC 模型最適合鋰離子動(dòng)力電池精確建模，因此本文采用一階RC 模型，該模型也稱為Thevenin 模型。文獻(xiàn)[9-14]中均對(duì)該類模型的狀態(tài)方程、傳遞函數(shù)建立、離散化處理、待辨識(shí)參數(shù)過程進(jìn)行詳細(xì)的闡述，本文僅對(duì)模型電路結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)單的公式描述，如圖1 所示。

圖1 模型電路結(jié)構(gòu)及原理公式Fig.1 Model circuit structure and principle formula

圖1 中， OCV(t) 為開路電壓(open circuit voltage，OCV)，理想電壓源，表示動(dòng)力電池的熱力學(xué)平衡電勢(shì)；U(t)為端電壓，表示動(dòng)力電池正負(fù)極輸出電動(dòng)勢(shì)；R0為歐姆內(nèi)阻，表示電極材料、電極液、隔膜電阻及各部分零件的接觸電阻；Cp、Rp分別為極化電容和極化電阻，表示動(dòng)力電池的動(dòng)態(tài)特性，包括極化特性和擴(kuò)散效應(yīng)等。

1.2 基于FFRLS 的在線參數(shù)辨識(shí)

遞推最小二乘法能夠定期地實(shí)現(xiàn)參數(shù)校正和更新，可以很好地克服模型參數(shù)的不確定性，從而精確地捕捉系統(tǒng)的實(shí)時(shí)特性。而引入遺忘因子，可以有效地避免數(shù)據(jù)飽和，起到逐漸削弱過去數(shù)據(jù)并加強(qiáng)新數(shù)據(jù)的作用[11]。采用FFRLS 方法對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)能夠根據(jù)電池實(shí)際狀態(tài)自適應(yīng)調(diào)整修正，提高模型的準(zhǔn)確度。

圖1 模型中I(t)和U(t)為觀察變量；OCV(t)為狀態(tài)變量SOC 的表征變量；其他為待辨識(shí)變量。不精確的狀態(tài)觀測(cè)值會(huì)帶來(lái)顯著的觀察誤差，因此首先獲取SOC-OCV 曲線。

本文針對(duì)3.7 V/70 A·h 大容量三元鋰離子電池進(jìn)行了脈沖式充放電測(cè)試實(shí)驗(yàn)。通過觀察充放電電壓、容量和電流隨時(shí)間變化情況，選取SOC 從0～1 共11 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。采用cftool 函數(shù)擬合得到7 階函數(shù)如式(1)所示

式中，Z 表示SOC。擬合結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比圖如圖2 所示。

圖2 SOC-OCV擬合曲線Fig.2 SOC-OCV fitting curve

由圖2 可知，該動(dòng)力電池在相同的SOC 值情況下，充電和放電對(duì)應(yīng)開路電壓存在一定的差異，該現(xiàn)象稱為松弛效應(yīng)。擬合的曲線能夠較好地彌補(bǔ)差異，因此研究過程中忽略了松弛效應(yīng)。

根據(jù)圖1 模型，可變遺忘因子最小二乘法原理的算法具體步驟如表1 所示。

表1 FFRLS在線參數(shù)辨識(shí)方法詳細(xì)流程[11-15]Table 1 Detailed flow of FFRLS online parameter identification method[11-15]

2 SOC估計(jì)方法

2.1 擴(kuò)展卡爾曼算法

擴(kuò)展卡爾曼（extended Kalman Filter，EKF）作為改進(jìn)的Kalman 濾波算法，利用泰勒展開將動(dòng)力電池模型線性化處理。可以推廣到動(dòng)力電池非線性系統(tǒng)估計(jì)。

對(duì)于任意的非線性離散化系統(tǒng)均可表示如式(2)所示

式2 中，f (xk-1,uk-1)為系統(tǒng)狀態(tài)方程函數(shù)；h(xk,uk)為系統(tǒng)觀測(cè)方程函數(shù)；x為n 維系統(tǒng)狀態(tài)向量；u 為r 維系統(tǒng)輸入向量；y 為m 維系統(tǒng)觀測(cè)值；ωk-1和vk為系統(tǒng)的相互獨(dú)立的白噪聲，均值為0，協(xié)方差分別為Qk和Rk。

對(duì)圖1動(dòng)力電池模型進(jìn)行泰勒展開，式(2)化簡(jiǎn)為式(3)

式(3)中，x =[UDZ]T，u = I，y = Ut

EKF 算法的具體操作步驟的詳細(xì)流程如表2所示。

表2 EKF算法詳細(xì)流程[12-14]Table 2 Detailed flow of EKF algorithm[12-14]

2.2 自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼算法

EKF 算法在動(dòng)力電池非線性系統(tǒng)SOC 的估計(jì)得到廣泛應(yīng)用。但線性化的過程會(huì)帶來(lái)截?cái)嗾`差，在初值設(shè)置不當(dāng)?shù)那闆r下會(huì)造成發(fā)散。另外EKF算法優(yōu)化估計(jì)過程中假設(shè)噪聲不變，而動(dòng)力電池系統(tǒng)受到溫度、倍率、震動(dòng)等因素的影響，噪聲統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)是未知且變化。

自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波算法在EKF算法基礎(chǔ)上增加Sage-Husa 自適應(yīng)濾波方法，使得濾波算法中的噪聲統(tǒng)計(jì)特性能夠隨估計(jì)結(jié)果的變化而自適應(yīng)更新。

在表2中第(4)步后增加自適應(yīng)噪聲協(xié)方差匹配過程[4,16]，方程為(4)～(5)。

式(4)中，M為觀測(cè)值維度，表示開窗大小，是對(duì)前M 次新息方差做加權(quán)平均。其中ek為新息矩陣，如式(6)所示。

根據(jù)開窗估計(jì)原理可知，M 取值較小計(jì)算量小，但估計(jì)效果較差；取值較大估計(jì)效果明顯提高，但不適應(yīng)在線估計(jì)。本文采用自適應(yīng)窗口因子d表示估計(jì)殘余價(jià)值[14]。如式(7)所示

M大小判斷依據(jù)如式(8)所示。其中η表示窗口收斂率，為任一小于1的小數(shù)。

2.3 FFRLS和AEKF的SOC估計(jì)算法

上述1.2、2.1 和2.2 部分詳細(xì)論述了帶遺忘因子的最小二乘遞推算法(FFRLS)和自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波算法(AEKF)實(shí)現(xiàn)步驟。通過分析發(fā)現(xiàn)以下結(jié)果。

（1）在線辨識(shí)過程中，輸入向量h(k)不僅受到U(t)的影響，還受到SOC的影響。動(dòng)力電池系統(tǒng)的SOC 值隨工況變化而變化，不準(zhǔn)確的SOC 值直接影響FFRLS辨識(shí)的結(jié)果。本文將AEKF算法進(jìn)行的狀態(tài)估計(jì)值引入到辨識(shí)算法中，為在線辨識(shí)提供準(zhǔn)確的SOC 值，通過SOC-OCV 曲線映射關(guān)系獲取OCV的值，最終降低模型誤差，提高模型準(zhǔn)確度。

（2）在SOC 估計(jì)過程中，每次循環(huán)辨識(shí)過程都可以為AEKF算法提供準(zhǔn)確的模型參數(shù)。針對(duì)基于模型估計(jì)SOC算法而言，準(zhǔn)確的模型是提高狀態(tài)估計(jì)系統(tǒng)精度和魯棒性的前提。

圖3 本文算法流程框圖Fig.3 The flow chart of the algorithm in this paper

根據(jù)以上分析，本文首先根據(jù)FFRLS算法在線辨識(shí)參數(shù)[R0(k)、Rp(k)、Cp(k)]；其次根據(jù)辨識(shí)參數(shù)完成AEKF 算法的初始化；再根據(jù)AEKF 算法實(shí)現(xiàn)SOC 估計(jì)；最后將SOC 估計(jì)值引入到FFRLS算法中UOC(k)的初始化。整個(gè)過程實(shí)現(xiàn)了模型參數(shù)辨識(shí)和SOC 估計(jì)閉環(huán)修正。具體算法的流程框圖如圖3所示。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證和仿真分析

3.1 實(shí)驗(yàn)過程

為了驗(yàn)證本文所提FFRLS和AEKF的鋰離子電池SOC在線估計(jì)算法可行性和精確性，本文設(shè)計(jì)了常溫環(huán)境下的混合動(dòng)力脈沖能力測(cè)試(hybrid pulse power characteristic，HPPC)實(shí)驗(yàn)和基于北京公交的純電動(dòng)客車用動(dòng)力動(dòng)態(tài)測(cè)試工況(Beijing bus dynamic stress test，BBDST)實(shí)驗(yàn)。

（1）HPPC 實(shí)驗(yàn)步驟：首先采用恒流(70 A)恒壓(4.1992 V)充電，截至電流為2.5 A，擱置40 min；以恒流70 A放電10 s，擱置10 min；以恒流70 A充電10 s，擱置10 min；再以恒流70 A 放電6 min，擱置40 min；最后依次按照以上步驟循環(huán)10次。

（2）BBDST實(shí)驗(yàn)步驟：該實(shí)驗(yàn)是參照汽車形式過程中加速、均速、減速、怠速等形式過程。將上述的工況進(jìn)行拆分，再相互間隔組合一起[17]。實(shí)驗(yàn)首先恒流(70 A)恒壓(4.1992 V)充電，截至電流為2.5 A，擱置40 min；再根據(jù)BBDST 循環(huán)工況進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試，如表3所示。進(jìn)行45次循環(huán)后動(dòng)力電池SOC趨向于0，工況電流曲線圖如圖4所示。

3.2 實(shí)驗(yàn)和仿真結(jié)果分析

為了對(duì)比FFRLS 算法與本算法對(duì)Thevenin 模型的端電壓估計(jì)結(jié)果，同時(shí)驗(yàn)證本算法實(shí)現(xiàn)在線SOC估計(jì)過程中的閉環(huán)修正的有效性。在Matlab里搭建基于Thevenin的Simulink仿真模型，并構(gòu)建了基于FFRLS算法的模型參數(shù)在線辨識(shí)仿真環(huán)境，以及本文算法的SOC 在線估計(jì)仿真環(huán)境。圖5 是BBDST 整個(gè)工況環(huán)境下，F(xiàn)FRLS 算法和本文算法在線估計(jì)的端電壓與真實(shí)端電壓的比較。其中，考慮到電池端電壓和SOC隨時(shí)間變化較快，兩種算法的 遺 忘 因 子 均 為0.99。圖6 為5000～7000 s 段BBDST工況的局部放大。圖7為兩種算法與真實(shí)值誤差對(duì)比圖。

表3 BBDST循環(huán)工況Table 3 Drive cycle of BBDST

圖4 BBDST工況電流曲線Fig.4 Current curve of BBDST operating

其中，圖5 和圖6 橫軸應(yīng)表示采樣點(diǎn)數(shù)，為了表達(dá)BBDST 工況隨時(shí)間的變化情況，本文采用以0.1 s為單位的時(shí)間軸表示。由圖5可知，F(xiàn)FRLS算法和本文算法都能夠?qū)崟r(shí)跟蹤輸出端電壓；由圖6可知，通過局部放大后，本文算法的跟蹤效果明顯優(yōu)于FFRLS算法。

圖5 BBDST端電壓估計(jì)對(duì)比圖Fig.5 BBDST terminal voltage estimation comparison diagram

圖6 端電壓局部放大對(duì)比圖Fig.6 Local magnification of terminal voltage contrast diagram

圖7 估計(jì)誤差對(duì)比圖Fig.7 Estimation error comparison diagram

由圖7可知，由于SOC=1已知，兩種算法的收斂速度都比較快；收斂后可知，F(xiàn)FRLS算法的最大誤差為0.307，平均誤差為3×10-4；本文算法的最大誤差為0.04，平均誤差為5.16×10-5，精度提高了85%。動(dòng)力電池在隨著BBDST 工況變化過程中，停止和啟動(dòng)的時(shí)間較短，在此期間的端電壓估計(jì)誤差最大，因此兩種算法的誤差曲線出現(xiàn)周期變化。SOC=0.2之前，F(xiàn)FRLS算法的跟蹤較為穩(wěn)定，但在后500 s 時(shí)間段內(nèi)，電池的端電壓變化靈敏、穩(wěn)定性較差，遺忘因子較大，出現(xiàn)較大波動(dòng)。而本文算法通過SOC值的反饋，實(shí)現(xiàn)閉環(huán)修正，整體誤差曲線波動(dòng)較FFRLS都好。

SOC 的真實(shí)值是難以獲得的，本文以端電壓4.188 V 表示SOC=1；以2.5 V 表示SOC=0。初值SOC=1，基于BBDST 工況的電流變化，利用安時(shí)積分法計(jì)算SOC 值，該值是最有效的，因此視為真實(shí)值。利用本算法實(shí)現(xiàn)BBDST 工況由SOC=1 至0 過程的在線估計(jì)，并與真實(shí)值進(jìn)行比較，結(jié)果如圖8 所示，圖9 為本文算法的SOC 估計(jì)誤差曲線圖。

圖8 SOC估計(jì)結(jié)果對(duì)比圖Fig.8 Comparison graph of SOC estimation results

圖9 SOC估計(jì)誤差Fig.9 SOC estimation error

由圖8 及局部放大圖可知，在BBDST 工況下，SOC 估計(jì)值隨真實(shí)值的變化而變化，同時(shí)伴隨波動(dòng)，但沒有累計(jì)誤差。由于本文使用電池標(biāo)稱容量為70 A·h，實(shí)測(cè)容量為72.18 A·h；算法中默認(rèn)的SOC 初始值為1，實(shí)際電池的SOC 并不為1，造成新息誤差矩陣較大。因此造成前40 次迭代誤差較大，且出現(xiàn)SOC＞1 的現(xiàn)象。在實(shí)際工況中，隨著電池老化程度的變化，SOC初值的不確定都會(huì)引起SOC估算初期的波動(dòng)。

由圖9及局部放大圖可知，開始估計(jì)時(shí)，誤差最大為11.3%，4 s 后達(dá)到3%，主要是受到初始值不確定性影響。隨著迭代次數(shù)的增加、閉環(huán)修正系數(shù)不斷的更新，誤差基本穩(wěn)定在1.5%～2%。本文以BBDST 復(fù)雜工況為研究過程，單一的循環(huán)包含19步，不同倍率充、放電及擱置，使得動(dòng)力電池內(nèi)部化學(xué)反應(yīng)變化劇烈，對(duì)等效模型參數(shù)更新速度和精度提出較高要求，本文得到SOC估計(jì)精度符合現(xiàn)階段BMS設(shè)計(jì)要求，且收斂效果較好。

3 結(jié) 論

新能源汽車產(chǎn)業(yè)是我國(guó)戰(zhàn)略性發(fā)展需要，SOC的精確估計(jì)又是新能源汽車關(guān)鍵技術(shù)，實(shí)現(xiàn)在線的SOC精確估計(jì)是推動(dòng)我國(guó)實(shí)現(xiàn)汽車強(qiáng)國(guó)夢(mèng)的必經(jīng)之路。本文根據(jù)大容量三元鋰離子電池等效模型特性，以Thevenin模型構(gòu)建狀態(tài)方程和觀測(cè)方程。分析FFRLS 算法和AEKF 算法特點(diǎn)，以FFRLS 和AEKF 聯(lián)合算法實(shí)現(xiàn)了BBDST 工況下的SOC 在線估計(jì)，并與傳統(tǒng)方法進(jìn)行了比較，得出以下結(jié)論。

（1）針對(duì)BBDST 工況，相同的初始值下。本算法較FFRLS 算法在更新端電壓數(shù)據(jù)時(shí)收斂更快；端電壓辨識(shí)準(zhǔn)確度更高；能夠?qū)崿F(xiàn)實(shí)時(shí)辨識(shí)跟蹤。

（2）SOC 初值已知時(shí)，利用安時(shí)積分法實(shí)現(xiàn)SOC真值計(jì)算。雖受初值影響，本算法仍能實(shí)現(xiàn)較快的收斂，且確保在線的SOC的精確估計(jì)。

本文重點(diǎn)描述了FFRLS和AEKF的鋰離子電池SOC 在線辨識(shí)和估計(jì)問題，而動(dòng)力電池包的溫度、不一致性、健康狀態(tài)等都是新能源汽車研究的關(guān)鍵技術(shù)，下一步主要研究受溫度影響的SOC 在線估計(jì)。