高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂考察

摘要：自2017年數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提出以來，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對(duì)于教育實(shí)踐工作者的備課上課講課都具有極大的好處，明確課程目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)。但在課中，課后對(duì)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考察，卻陷入困境。在這種思維意識(shí)上的價(jià)值判斷難以直觀的表現(xiàn)出來。筆者從集合概念教學(xué)設(shè)計(jì)出發(fā)來探討對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考察。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);集合概念教學(xué)

什么是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的[1]。其內(nèi)容包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng)，具體表現(xiàn)為人們學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)之后，會(huì)用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)思維以及數(shù)學(xué)的方法去觀察，認(rèn)識(shí)，改造客觀現(xiàn)實(shí)世界并解決現(xiàn)實(shí)問題或者抽象問題的過程。數(shù)學(xué)抽象無處不在，人在社會(huì)實(shí)踐的過程中，會(huì)無數(shù)次把身邊的環(huán)境或者是現(xiàn)實(shí)問題提取、簡(jiǎn)化并轉(zhuǎn)化為一種簡(jiǎn)易的可操作、易操作的一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)。在原始概念教學(xué)時(shí)，這種轉(zhuǎn)化會(huì)不斷地發(fā)生。數(shù)學(xué)建模是將人們從現(xiàn)實(shí)世界抽象出來的或者從抽象領(lǐng)域抽象出來的共有特征用一個(gè)具體的變量來表示，并體現(xiàn)出一定的因果關(guān)系。

本文以APOS理論和引導(dǎo)—發(fā)現(xiàn)教學(xué)模式來設(shè)計(jì)集合概念教學(xué)，并主要考察數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模。

【集合教學(xué)案例】

一、課堂引入：

將采用動(dòng)物世界的幾幅圖片，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖片。圖中，有天上的動(dòng)物、地上的動(dòng)物、水中的動(dòng)物、食草動(dòng)物、食肉動(dòng)物等等。

師：那剛剛我們對(duì)這些動(dòng)物的劃分的依據(jù)是什么呢？

生：生活的環(huán)境、吃的食物…

師：通過一些條件來劃分范圍的。

【設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)我們熟悉的動(dòng)物世界來進(jìn)行對(duì)動(dòng)物的分類，用分類和范圍這個(gè)先行組織者讓學(xué)生意識(shí)到本節(jié)課學(xué)習(xí)的東西和范圍有著一定的關(guān)系，由此，引入對(duì)于集合的學(xué)習(xí)】

二、活動(dòng)操作階段、獲得概念：

（一）

例1：觀察下面的例子，是否劃定范圍？若有，范圍是什么？

（1）1～10之間的所有的偶數(shù);

（2）高一4班全體同;

（3）方程x^2-3x+2=0的所有實(shí)數(shù)根;

（4）平面直角坐標(biāo)系中到原點(diǎn)距離為2的所有點(diǎn)的整體;

思考1：以上例子劃分時(shí)候是否一個(gè)的標(biāo)準(zhǔn)？或者劃定一個(gè)范圍？

教師講解分析以上四個(gè)例子，學(xué)生討論分析結(jié)束后。

師：像上面這樣的例子，我們就把他叫做集合。我們學(xué)習(xí)一個(gè)研究對(duì)象，要去找到這些概念的特征，請(qǐng)問同學(xué)們，根據(jù)上面這些例子，集合有什么樣的特征呢？

生：他們都有一個(gè)確定的范圍。

師：非常準(zhǔn)確，有一個(gè)確定的范圍，并且范圍里面有我們的研究對(duì)象。那請(qǐng)同學(xué)們來對(duì)集合進(jìn)行歸納一下？

生：具有確定范圍的對(duì)象稱為集合。

師：同學(xué)們都有了自己的認(rèn)識(shí)理解，那我們來看看課本上是怎么定義的呢？

一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。

師：元素用小寫字母表示，集合用大寫字母表示。那么在這個(gè)表示的過程中，我們約定俗成對(duì)一些特殊的集合進(jìn)行表示：

全體非負(fù)整數(shù)組成的集合稱為非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N

全體正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集，記作N^*或N_+

全體整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記作Z

全體有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集，記作Q

全體實(shí)數(shù)組成的集合稱為實(shí)數(shù)集，記作R

集合的相等：若兩集合里面的所有元素一模一樣，就稱這兩個(gè)集合相

【設(shè)計(jì)意圖：通過上訴例子，讓學(xué)生自主思考、合作討論，認(rèn)識(shí)到集合的內(nèi)涵和外延，總結(jié)出對(duì)于研究對(duì)象的一般特征，從而得出集合的概念】

核心素養(yǎng)考察：通過上述教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生從具體的例子當(dāng)中抽象出集合這個(gè)原始概念的內(nèi)涵——一定范圍內(nèi)的確定對(duì)象，并用大寫字母與小寫字母來表示集合與元素，用模型予以表示。集合外延可以具體化到生活中的各個(gè)角落，如家里的碗筷、化學(xué)中的元素周期表中的元素、生物中構(gòu)成細(xì)胞的細(xì)胞器等等。其考查方式讓班里的同學(xué)在各種角度舉例，并明確集合及其元素，以模型、符號(hào)的形式來表示。在系統(tǒng)的學(xué)習(xí)中通過體驗(yàn)、認(rèn)識(shí)及內(nèi)化等過程逐步形成相對(duì)穩(wěn)定的思考問題、解決問題的思維方法和價(jià)值觀，實(shí)質(zhì)上是初步得到學(xué)科特定的認(rèn)識(shí)世界和改造世界的世界觀和方法論[2]

（二）

師：現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了集合、元素，大家再說說集合表示什么意思呢？

生回答

師：那大家根據(jù)集合的特征，能不能舉個(gè)不是集合的例子呢

師生共同討論（如果已經(jīng)得出結(jié)論，使用下列例子加強(qiáng)認(rèn)識(shí);否則，由下列例子進(jìn)行討論性質(zhì)）

思考2：學(xué)習(xí)了集合之后，你是否能舉出不是集合的例子？

例2：（1）高一4班長(zhǎng)得高的同學(xué)

（2）方程x^2-4x+4=0的所有實(shí)數(shù)根

A={2，2}

（3）1～10之間的所有的偶數(shù)

與B={2、8、10、6、4}

元素的性質(zhì)：確定性、互異性、無序性

【設(shè)計(jì)意圖：同上】

（三）

師：通過剛才的學(xué)習(xí)，我們知道集合是由元素所組成的，那根據(jù)剛才的例1，元素與集合是什么樣的關(guān)系呢？

生：元素構(gòu)成的集合

師：是的，那么在數(shù)學(xué)上，我們有專業(yè)的描述：（由具體實(shí)例到一般化）

若a是集合A的元素，則a屬于A，記作a∈A

若a不是集合A的元素，則a不屬于A，記作a?A

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察例1，他們的元素是不是同一類，若不是，分別屬于哪一類？

由師生共同討論出集合的分類

（1）按元素屬性：數(shù)集、點(diǎn)集、方程的集合等等

（2）按元素個(gè)數(shù)：有限集合、無限集合

（四）

師：剛才由上述幾個(gè)集合，我們可以通過語(yǔ)言來描述，也可以通過圖形的方式來表示。大家知道，在數(shù)學(xué)的世界中，最為突出的是符號(hào)語(yǔ)言，那么如何用符號(hào)語(yǔ)言來表示集合呢？

師生共同討論

例2：（1）“地球上的四大洋”組成的集合可以表示為

{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

（2）“方程x^2-3x+2=0的所有實(shí)數(shù)根”組成的集合可以表示為{1，2}

把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號(hào)“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法.

把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號(hào)“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法.

練習(xí)1：用列舉法表示下列集合：

（1）小于10的所有白然數(shù)組成的集合;

（2）方程x^2=x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合.

思考3：剛才都是能數(shù)出個(gè)數(shù)的集合，要是數(shù)不出能一一列舉嗎？比如：不等式x<10

例3：不等式x<10，因?yàn)闈M足x<10的實(shí)數(shù)有無數(shù)個(gè)，所以無法用列舉法表示.利用元素的共同特征，即： x是實(shí)數(shù)，且x<10，把解集表示為{x∈R|x <10}

一般地，A是一個(gè)集合，我們把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P（x）}寫成這種表示集合的方法稱為描述法.

練習(xí)2：試分別用描述法和列舉法表示下列集合：

（1）方程x^2-2=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合A

（2）由大于10且小于20的所有整數(shù)組成的集合B

師：根據(jù)描述法來表示下列集合

奇數(shù)集：A={x|x=2n-1，n∈N}

偶數(shù)集：B={x|x=2n，n∈N}

9，99，999，9999，…：C={x|x=〖10〗^n-1，n∈N^*}

三、圖示練習(xí)階段

練習(xí)：

1.判斷下列元素的全體是否組成集合，并說明理由：

（1）與定點(diǎn)A. B等距離的點(diǎn)

（2）高中學(xué)生中的游泳能手

（3）上課專心聽講的學(xué)生

2.用符號(hào)“∈”或“?”填空：

0_（-_N ）; 3_（-_N ）; 〖0.5〗_（=_Z ）;√2 Z;〖1/3〗_（-_Q ）; π_（-_R ）.

3.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

（1）由方程x^2-9=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合;

（2）一次函數(shù)y=x+3與y=-2x+6圖象的交點(diǎn)組成的集合;

（3）不等式4x-5<3的解集.

通過過程階段、對(duì)象階段和圖式階段的教學(xué)和學(xué)習(xí)過程，在學(xué)生大腦中建立了一個(gè)集合的心智模型，讓學(xué)生對(duì)集合有了一個(gè)具體的認(rèn)知，了解集合的內(nèi)涵和外延，以及集合的數(shù)學(xué)表示。在教學(xué)過程中，對(duì)學(xué)生的知識(shí)教學(xué)固然重要，但其更重要的是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，凸顯出過程中情感、態(tài)度、價(jià)值觀在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的重要性，并強(qiáng)調(diào)知識(shí)與技能、過程與方法、情感態(tài)度三者之間的整合以及與情境之間的互動(dòng)[3]。在教學(xué)過程中，不僅得融入數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)，還得在關(guān)鍵時(shí)候進(jìn)行相應(yīng)的、及時(shí)的考察，判斷學(xué)生是否真正領(lǐng)會(huì)了集合概念的內(nèi)涵和外延。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修定）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]李藝，鐘柏昌.談“核心素養(yǎng)”[J].教育研究，2015（9）：17-23.

[3]呂世虎，吳振英.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵及其體系構(gòu)建[J].課程·教材·教法，2017（9）：12-14.

作者簡(jiǎn)介：姓名：潘濤（1998.04--）;性別：男，籍貫：貴州鳳岡，民族：漢族，學(xué)歷：本科，畢業(yè)于重慶師范大學(xué)，重慶師范大學(xué)，學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)研究生在讀;單位及郵編：重慶師范大學(xué)401331。