基于幾何向量法的機(jī)器人建模*

鄭力銘，蔡小可，羅偉林

（1.福州大學(xué)海洋學(xué)院，福州 350108；2.福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福州 350108）

0 引言

由于機(jī)器人具有較高的定位精度和較大的靈活性，在日常生活以及工業(yè)生產(chǎn)中的運(yùn)用越來越廣泛[1]。同時(shí)，機(jī)器人的結(jié)構(gòu)也在向復(fù)雜化的方向發(fā)展，對(duì)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分和動(dòng)力學(xué)析也越來越復(fù)雜[2-3]。要對(duì)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，就需要建立機(jī)器人模型[4-5]。進(jìn)行機(jī)器人建模的方法有很多，其中最常用的方法是DH 法則[6]。在建模的過程當(dāng)中，傳統(tǒng)的DH 法則計(jì)算出基座坐標(biāo)系和夾爪坐標(biāo)系的關(guān)系，進(jìn)而分析推導(dǎo)出機(jī)械手臂的的夾爪位姿[7-8]。由于機(jī)器人工作環(huán)境的復(fù)雜化多樣化，使得使用傳統(tǒng)的DH 法則建立機(jī)器人坐標(biāo)系可能會(huì)造成失真的情況，導(dǎo)致建模錯(cuò)誤，嚴(yán)重的話可能會(huì)對(duì)后續(xù)的運(yùn)動(dòng)學(xué)乃至動(dòng)力學(xué)分析產(chǎn)生連鎖性誤差。

本文提出一種建立在DH法則基礎(chǔ)上的機(jī)器人建模改進(jìn)方法——幾何向量法，使用這種方法可以彌補(bǔ)復(fù)雜機(jī)械結(jié)構(gòu)對(duì)模型建立的影響，提高機(jī)器人建模的準(zhǔn)確性。

1 幾何向量法

對(duì)于給定的機(jī)器人，各種坐標(biāo)系的選擇不是唯一的，不同的工程師有可能得到不同的DH參數(shù)表，但是最終得到的運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)果是相同的。機(jī)器人一般由多個(gè)關(guān)節(jié)和連桿按順序鏈接構(gòu)成，關(guān)節(jié)可以是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)也可以是移動(dòng)關(guān)節(jié)。以直觀的方式指定軸z0，z1，…，zn-1，其中將zi指定為關(guān)節(jié)i+1 的驅(qū)動(dòng)軸。即，z0是關(guān)節(jié)1 的驅(qū)動(dòng)軸，z1是關(guān)節(jié)2 的驅(qū)動(dòng)軸，以此類推。此時(shí)，有兩種情況需要考慮：（1）如果關(guān)節(jié)i+1 是旋轉(zhuǎn)的，zi是關(guān)節(jié)i+1的旋轉(zhuǎn)軸；（2）如果關(guān)節(jié)i+1是移動(dòng)的，zi是關(guān)節(jié)i+1 的平移軸。一旦建立了鏈接的z軸，就建立了基架?；艿倪x擇幾乎是任意的?？梢赃x擇基架的原點(diǎn)o0為z0上的任意點(diǎn)。然后以任何方便的方式選擇x0，y0，只要得到的坐標(biāo)系符合右手定則即可。設(shè)置的第0坐標(biāo)系也可以稱為基坐標(biāo)系，一旦第0 個(gè)坐標(biāo)系已經(jīng)建立，就可以開始迭代，在這個(gè)過程中，從第1 個(gè)坐標(biāo)系開始，用第i-1 個(gè)坐標(biāo)系定義第i個(gè)坐標(biāo)系[9]。

在上述基礎(chǔ)條件下，為解決運(yùn)用DH法則進(jìn)行機(jī)器人建模的局限性，提出一種建模方法——幾何向量法，使用這種方法可以提高機(jī)器人建模的準(zhǔn)確性，其建立步驟如下。

（1）按照傳統(tǒng)的DH法則建立DH參數(shù)表。

（2）按照傳統(tǒng)方法判斷扭角（α）和連桿間距（d）和轉(zhuǎn)角（θ）[10-11]。

（3）重新定義桿長a，與傳統(tǒng)DH法不同，這里將桿長定位為一個(gè)向量，長度為其中：l為實(shí)際桿長，d為連桿間距。方向記作γ，為向量oioi-1與向量xi的夾角，定義繞zi順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正。

（4）在運(yùn)動(dòng)學(xué)分析設(shè)置轉(zhuǎn)角參數(shù)的時(shí)候，把該關(guān)節(jié)的參數(shù)均加上γ即可。

2 幾何向量法的具體應(yīng)用

2.1 傳統(tǒng)DH法建模

圖1 所示為一個(gè)兩軸的機(jī)械 手 ， 連 桿 長 度 為l1＝200 mm，l2＝400 mm 。 在第二個(gè)關(guān)節(jié)處建立x方向坐標(biāo)時(shí)有兩種情況，分別表示為x1與x′1。

圖1 兩軸機(jī)械手

運(yùn)用DH 法則分別對(duì)其在Matlab 中建立機(jī)器人模型[12]，針對(duì)x1與x′1兩種情況，DH參數(shù)表如表1 和2 所示。從表2 可以看出，連桿1 的桿長被誤判。

表1x1情況下DH參數(shù)

表2x′1情況下DH參數(shù)

圖2 兩軸機(jī)械手模型（x1 情況） 圖3 兩軸機(jī)械手模型（x′1 情況）

圖4 兩軸機(jī)械手賦初值模型（x1 情況）

圖5 兩軸機(jī)械手賦初值模型（x′1 情況）

2.2 幾何向量法建模

將幾何向量法應(yīng)用于圖1 所示的機(jī)械手建模，設(shè)置兩個(gè)關(guān)節(jié)初始參數(shù)為q0＝[0, -π/2]，最終位置為qf＝[π /6, -5π/6]，運(yùn)動(dòng)時(shí)間設(shè)置為4 s。運(yùn)用軌跡生成函數(shù)（jtraj）指令得到數(shù)值仿真結(jié)果，如圖6所示（黑色線條）。

圖6 二軸機(jī)械手末端夾爪位置軌跡

為了檢驗(yàn)幾何向量法的準(zhǔn)確性，運(yùn)用幾何法進(jìn)行求解，幾何法是基于坐標(biāo)軸的之間的幾何關(guān)系，通過三角函數(shù)直接建立夾爪中心點(diǎn)與基座之間的位置表達(dá)式，可以準(zhǔn)確地表達(dá)出夾爪基于基座的空間位置。通過坐標(biāo)變換矩陣得到的夾爪中心點(diǎn)在基座坐標(biāo)系中的表達(dá)式，將表達(dá)式中的關(guān)節(jié)參數(shù)從起始位置到終點(diǎn)位置進(jìn)行平均分割，再一一代入表達(dá)式中求得對(duì)應(yīng)的夾爪中心點(diǎn)位置。取出其中的夾爪中心點(diǎn)的位移量，忽略其中夾爪的朝向，并且將這些離散的位移點(diǎn)光順成曲線。幾何法所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換陣為：

通過計(jì)算，可得夾爪中心點(diǎn)坐標(biāo)為：

進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)，將θ1和θ2分成40 等分進(jìn)行軌跡模擬，每個(gè)角度對(duì)應(yīng)一個(gè)時(shí)刻。計(jì)算得出的夾爪位置軌跡如圖6所示（紅色線條）。從結(jié)果對(duì)比可以看出，應(yīng)用本文提出的幾何向量法其結(jié)果與幾何解一致。其中，x-y的位移圖完全一致說明幾何向量法的可靠性。至于x-t圖和y-t圖的斜率略有偏差是因?yàn)閹缀蜗蛄糠ㄊ褂昧薓atlab 中的軌跡生成函數(shù)（jtraj）指令，jtraj指令對(duì)夾爪始末位置的加速度進(jìn)行了平滑處理，以達(dá)到運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定。而幾何法中并沒有對(duì)始末位置平滑處理，因此x-t圖和y-t圖分別在斜率上略有偏差，但總體運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)一致。

圖7 六軸機(jī)械手模型

再以一個(gè)更復(fù)雜的對(duì)象為例驗(yàn)證幾何向量法的有效性，圖7所示為一個(gè)六軸的機(jī)械手。為了使得裝置正常，分別給第3 個(gè)關(guān)節(jié)和第5 個(gè)關(guān)節(jié)賦初值-p/6、p/6。需要注意的是第3 個(gè)關(guān)節(jié)賦初值是為了使桿長不失真，第5個(gè)關(guān)節(jié)賦值則是為了使其初始處于圖示位置——最后一根桿垂直向下，否則它就會(huì)和前面的桿重疊，無法顯示機(jī)械臂的全部桿件。

采用幾何向量法建立DH參數(shù)，如表3所示。

表3 DH參數(shù)

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換陣為：

夾爪中心點(diǎn)坐標(biāo)：

設(shè)置6 個(gè)關(guān)節(jié)初始參數(shù)為q0＝[5 0, 0, -π/6, 0, π/6, 0]，最終位置為運(yùn)動(dòng)時(shí)間設(shè)置為5 s。運(yùn)用軌跡生成函數(shù)（jtraj）指令可得到幾何向量法的數(shù)值仿真結(jié)果。同理，運(yùn)用幾何法也可計(jì)算得出夾爪的位置軌跡，結(jié)果對(duì)比如圖8所示。

圖8 六軸機(jī)械手末端夾爪位置軌跡

從仿真結(jié)果可以看出，x-y-z圖函數(shù)關(guān)系一致，而x-t、y-t與z-t三圖之間存在一定誤差，但趨勢(shì)相同。誤差是由于Matab當(dāng)中的jtraj指令會(huì)對(duì)夾爪中心點(diǎn)始末的加速度進(jìn)行平滑處理，以達(dá)到運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定。

3 結(jié)束語

針對(duì)使用DH法則進(jìn)行機(jī)器人建模以及運(yùn)動(dòng)分析時(shí)容易產(chǎn)生失真現(xiàn)象而提出一種基于幾何向量法的機(jī)器人建模方法。通過實(shí)例說明了本文提出的建模方法在處理復(fù)雜的機(jī)械結(jié)構(gòu)時(shí)具有良好的普適性和可靠性。該方法可以改進(jìn)使用DH法則時(shí)出現(xiàn)的誤差，且較為簡(jiǎn)便，只需要將DH 參數(shù)中的桿長（a）換一種方式設(shè)定即可。