保積n元-Hom-李超代數(shù)的對偶表示

田麗軍, 關(guān)寶玲

(1. 齊齊哈爾大學(xué) 通信學(xué)院, 黑龍江 齊齊哈爾 161006; 2. 齊齊哈爾大學(xué) 理學(xué)院, 黑龍江 齊齊哈爾 161006)

n-李超代數(shù)[1-2]是一類更廣的結(jié)構(gòu), 包括n-李代數(shù) (n元-Nambu-李代數(shù))、n元-Nambu-李超代數(shù)和李超代數(shù). 一般的Hom-代數(shù)結(jié)構(gòu)與向量域上的擬形變和離散化有聯(lián)系. 這些擬形變產(chǎn)生了擬李代數(shù)---- 一個斜對稱性和Jacobi等式被扭的廣義李代數(shù)結(jié)構(gòu). 文獻(xiàn)[3-8]分別討論了Hom-李代數(shù)、 Hom-李超代數(shù)、 Hom-李雙代數(shù)、 Hom-李2-代數(shù)和擬Hom-李代數(shù); 文獻(xiàn)[9]介紹了n元-Hom-Nambu-李代數(shù), 它是線性映射扭恒等式李型n元-代數(shù)的推廣, 包括廣義李型n元代數(shù), 如n元-Nambu代數(shù)、n-ary-Nambu-李代數(shù)和n元-李代數(shù)[10-12]. 本文考慮保積n元-Hom-李超代數(shù), 把保積n元-Hom-李代數(shù)的對偶表示推廣到保積n元-Hom-李超代數(shù)的情形.

1 預(yù)備知識

|[x1,…,xn]|=|x1|+…+|xn|,

(1)

[x1,…,xi,xi+1,…,xn]=-(-1)|xi||xi+1|[x1,…,xi+1,xi,…,xn],

(2)

其中|x|表示g中齊次元素x的2-次數(shù), 則三元組稱為n元-Hom-李超代數(shù).

定義2[13]設(shè)(g,[·,…,·],α)是n元-Hom-李超代數(shù),X=x1∧…∧xn-1∈∧n-1稱為g的基本物體. 對所有的z∈g,X·z∶=[x1,…,xn-1,z], 顯然有|X|=|x1|+…+|xn-1|. 設(shè)X=x1∧…∧xn-1和Y=y1∧…∧yn-1是g的基本物體. 一個雙線性映射[·,·]α: ∧n-1×∧n-1→∧n-1定義如下:

(4)

ρ(X)·Vβ?Vβ+|X|, ?β∈2,

(5)

(6)

則稱ρ為V上g的階化表示,2-階化表示空間(V,ν)稱為階化g-模. 其中：表示其下的元省略.

2 主要結(jié)果

下面考慮保積n元-Hom-李超代數(shù)的對偶表示. 保積n元-Hom-李代數(shù)的對偶表示可參見文獻(xiàn)[14]. 設(shè)(V,ρ,β)是保積n元-Hom-李超代數(shù)(g,[·,…,·]g,α)的表示, 其中β是可逆的, 即β∈GL(V). 定義ρ*: ∧n-1g→gl(V*)為

〈ρ*(X)(ξ),u〉=-(-1)|X||ξ|〈ξ,ρ(X)(u)〉, ?X∈∧n-1g,u∈V,ξ∈V*.

(8)

定義ρ★: ∧n-1g→gl(V*)為

(9)

如果(V*,ρ★,(β-1)*)是(g,[·,…,·]g,α)的一個表示, 則稱其為(V,ρ,β)的對偶表示.

定理1設(shè)(V,ρ,β)是保積n元-Hom-李超代數(shù)(g,[·,…,·]g,α)的表示, 其中β是可逆的. 則(V*,ρ★,(β-1)*)是g在V*上的對偶表示當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立:

(10)

?xi,yi∈g, 1≤i≤n-1,u∈V.

直接計(jì)算可得

因此有

即

通過計(jì)算可得

由式(10),(11), 有

又有

因此(V*,ρ★,(β-1)*)是保積n元-Hom-李超代數(shù)(g,[·,…,·]g,α)的一個表示.

必要性. 由于(V*,ρ★,(β-1)*)是g的表示, 根據(jù)定義有

由充分性的證明可知, 對?xi,yi∈g, 1≤i≤n-1,u∈V, 有

比較式(12)和式(13)可得

證畢.