一類(lèi)具有飽和發(fā)生率和心理作用的隨機(jī)SIR傳染病模型

趙彥軍, 李輝來(lái), 李文軒

(1. 東北師范大學(xué)人文學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 長(zhǎng)春 130117; 2. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130012)

0 引 言

微分方程的數(shù)學(xué)模型在描述動(dòng)態(tài)行為方面具有重要作用, 廣泛應(yīng)用于生物學(xué)、 物理學(xué)和醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域. 為控制傳染病的傳播, 通常通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型研究傳染病的動(dòng)力學(xué)行為. Kermack等[1]首次提出了傳染病倉(cāng)室模型的“閾值理論”, 為傳染病動(dòng)力學(xué)的研究奠定了基礎(chǔ). 目前, 對(duì)傳染病模型的閾值動(dòng)力學(xué)行為研究已有許多成果. Capasso等[2]通過(guò)研究如下確定性SIS傳染病模型：

(1)

其中:S(t)表示t時(shí)刻易感者數(shù)量,I(t)表示t時(shí)刻傳染者數(shù)量, 且N=S(t)+I(t);β表示疾病的接觸率;μ表示疾病的死亡率;γ表示疾病的恢復(fù)率.

(2)

其中，B(t)是定義在完備概率空間(Ω,F,P)上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，σ表示高斯白噪聲的強(qiáng)度. 文獻(xiàn)[5]得到了系統(tǒng)(2)全局閾值動(dòng)力學(xué)行為的結(jié)果.

盡管在經(jīng)典傳染病模型中, 雙線(xiàn)性發(fā)生率被廣泛使用, 但在高傳染水平下, 由于心理作用和社會(huì)因素的影響, 易感者減少與感染者接觸和防護(hù)措施的增強(qiáng), 使易感者和感染者間的有效接觸率會(huì)趨于飽和狀態(tài). Capasso等[2]在研究意大利巴里爆發(fā)霍亂時(shí)最早提出了具有飽和效應(yīng)的非線(xiàn)性發(fā)生率, 得到了與實(shí)際情況吻合的結(jié)果, 此后各種非線(xiàn)性飽和發(fā)生率被廣泛應(yīng)用于傳染病模型研究中, 均得到了較好的結(jié)果.

本文在系統(tǒng)(2)的基礎(chǔ)上, 進(jìn)一步考慮疾病爆發(fā)過(guò)程中“心理作用”導(dǎo)致飽和效應(yīng)發(fā)生率的隨機(jī)SIR傳染病模型：

(3)

(4)

易得

d(S(t)+I(t))=[μN(yùn)-μ(S(t)+I(t))-(δ+ν)I(t)]dt≤[μN(yùn)-μ(S(t)+I(t))]dt,

則

S(t)+I(t)≤N+e-μt(S(0)+I(0)-N).

因此Γ={(S,I):S(t)>0,I(t)>0,S(t)+I(t)≤N}是系統(tǒng)(4)的正向不變集.

1 系統(tǒng)正解的存在唯一性

根據(jù)文獻(xiàn)[6-7], 本文給出如下定理.

定理1對(duì)任意初值(S(0),I(0))∈Γ, 隨機(jī)系統(tǒng)(4)均存在唯一正解(S(t),I(t))(t≥0), 且該解依概率1位于Γ中.

證明： 顯然, 隨機(jī)系統(tǒng)(4)的系數(shù)局部Lipschitz連續(xù), 則對(duì)任意給定初值(S(0),I(0))∈Γ, 系統(tǒng)(4)存在唯一的局部正解(S(t),I(t))∈Γ,t∈[0,te), 即S(t)+I(t)≤N,t∈[0,te) a.s., 其中te為爆破時(shí)間, 要證明解的全局存在性, 只需證明te=∞ a.s.

設(shè)η0>0且滿(mǎn)足S(0)>η0,I(0)>η0, 對(duì)任意η≤η0(η>0), 定義停時(shí)

tη=inf{t∈[0,te):S(t)≤η或I(t)≤η}.

考慮如下Lyapunov函數(shù):

(5)

由于(S(t),I(t))∈Γ, 顯然V(t)正定. 對(duì)式(5), 由It公式得其中

所以

(6)

對(duì)式(6)兩端分別從0到tη∧T積分并取期望, 得

EV(S(tη∧T),I(tη∧T))≤V(S(0),I(0))+KE(tη∧T)≤V(S(0),I(0))+KT.

其中IΩη是Ωη的示性函數(shù). 令η→0, 可得矛盾: ∞>V(S(0),I(0))+KT=∞. 所以t0=∞ a.s., 表明(S(t),I(t))以概率1在有限時(shí)間內(nèi)不會(huì)產(chǎn)生爆破. 證畢.

2 疾病滅絕性的充分條件

證明： 設(shè)(S(t),I(t))是系統(tǒng)(4)滿(mǎn)足初值(S(0),I(0))∈Γ的解, 對(duì)系統(tǒng)(4)應(yīng)用It公式, 有

(7)

對(duì)式(7)兩邊從0到t積分, 有

證明： 對(duì)式(7)兩邊從0到t積分, 有

對(duì)式(9)兩端取上確界的極限, 有

定理2和定理3表明, 當(dāng)白噪聲擾動(dòng)較大或R*≤1且白噪聲擾動(dòng)不大時(shí), 疾病即滅絕.

3 疾病在均值意義下的持久性

定理4設(shè)(S(t),I(t))是系統(tǒng)(4)關(guān)于初值(S(0),I(0))的解, 若R*>1, 則系統(tǒng)(4)的疾病將持續(xù)存在, 且滿(mǎn)足

Θ(t)=μN(yùn)-μ〈S(t)〉-(μ+δ+ν)〈I(t)〉,

對(duì)式(10)從0到t積分, 有

當(dāng)R*>1, 可得

證畢.

定理4表明, 當(dāng)白噪聲擾動(dòng)足夠小, 使得R*>1時(shí), 疾病將持續(xù)存在.

4 數(shù)值模擬

下面基于文獻(xiàn)[6-8,10-16]的模擬數(shù)據(jù), 利用MATLAB工具進(jìn)行數(shù)值模擬, 以驗(yàn)證本文結(jié)論的正確性. 根據(jù)Milstein方法, 利用MATLAB對(duì)具有飽和發(fā)生率和心理作用的隨機(jī)SIR傳染病系統(tǒng)(4)進(jìn)行模擬, 系統(tǒng)(4)的離散格式如下：

其中ξk(k=1,2,…,n)是獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量.

1) 取N=10,μ=0.2,β=0.06,α=1.6,γ=0.05,θ=0.05,σ=0.1,δ=0.000 1,ν=0.001,S(0)=21,I(0)=4, 使得R*=0.332 1≤1, 且滿(mǎn)足定理2的條件. 由定理2可知, 此時(shí)疾病將趨于滅絕, 模擬結(jié)果如圖1所示.

圖1 當(dāng)環(huán)境擾動(dòng)較大且R*≤1時(shí), S(t),I(t)隨時(shí)間的變化曲線(xiàn)Fig.1 Change curves of S(t) and I(t) with time whenenvironmental disturbance is large and R*≤1

2) 取N=10,μ=0.2,β=0.06,α=1.6,γ=0.05,θ=0.05,σ=0.077 46,δ=0.000 01,ν=0.000 01,S(0)=21,I(0)=4, 使得R*=1.000 1>1, 且滿(mǎn)足定理2的條件. 由定理2可知, 此時(shí)疾病將趨于滅絕, 模擬結(jié)果如圖2所示.

圖2 當(dāng)環(huán)境擾動(dòng)較大且R*>1時(shí), S(t),I(t)隨時(shí)間的變化曲線(xiàn)Fig.2 Change curves of S(t) and I(t) with time when environmental disturbance is large and R*>1

對(duì)比圖1和圖2可見(jiàn), 無(wú)論R*小于等于1還是大于1, 只要滿(mǎn)足定理2的條件, 系統(tǒng)(4)的疾病均趨于滅絕, 與定理2的結(jié)論相符.

3) 取N=10,μ=0.2,β=0.065,α=1.6,γ=0.05,θ=0.05,σ=0.055,δ=0.1,ν=0.1,S(0)=21,I(0)=4, 使得R*=0.997 5≤1, 且滿(mǎn)足定理3的條件. 由定理3可知, 此時(shí)系統(tǒng)(4)的疾病將趨于滅絕, 與定理3的結(jié)論相符, 模擬結(jié)果如圖3所示.

圖3 當(dāng)環(huán)境擾動(dòng)較小且R*≤1時(shí), S(t),I(t)隨時(shí)間的變化曲線(xiàn)Fig.3 Change curves of S(t) and I(t) with time when environmental disturbance is small and R*≤1

4) 取N=10,μ=0.2,β=0.065,α=1.6,γ=0.05,θ=0.05,σ=0.035,δ=0.000 1,ν=0.001,S(0)=21,I(0)=4, 使得R*=1.955 3>1, 且滿(mǎn)足定理4的條件. 由定理4可知, 此時(shí)系統(tǒng)(4)的疾病將持續(xù)存在, 與定理4的結(jié)論相符, 模擬結(jié)果如圖4所示.

圖4 當(dāng)環(huán)境擾動(dòng)較小且R*>1時(shí), S(t),I(t)隨時(shí)間的變化曲線(xiàn)Fig.4 Change curves of S(t) and I(t) with time when environmental disturbance is small and R*>1

綜上所述, 本文研究了一類(lèi)利用白噪聲描述環(huán)境對(duì)疾病傳播影響的隨機(jī)SIR傳染病模型, 得到了模型全局正解的存在唯一性、 滅絕性和持續(xù)存在性, 并通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了所得結(jié)果的正確性.