Banach空間分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的存在性

張凱斌, 陳鵬玉

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 蘭州 730070)

0 引 言

分?jǐn)?shù)階微分方程在物理、 電解化學(xué)、 力學(xué)和聚合物流變學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛, 文獻(xiàn)[1-6]應(yīng)用錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理、 Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理、 上下解方法等非線性技巧研究了分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題和邊值問題解的存在性結(jié)果. 但文獻(xiàn)[1-6]所討論的問題都局限在實(shí)數(shù)空間中, 在一般的Banach空間中對(duì)該類問題的研究目前報(bào)道較少. 與普通的常微分方程相比, 抽象空間常微分方程的難點(diǎn)在于積分算子不再具有緊性, 為了對(duì)相應(yīng)的算子應(yīng)用凝聚映射的拓?fù)涠壤碚? 通常要給非線性項(xiàng)附加非緊性條件. 文獻(xiàn)[6]應(yīng)用錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理研究了實(shí)數(shù)空間中分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題:

(1)

(2)

(3)

1 預(yù)備知識(shí)

C(I,P)={u∈C(I,E)|u(t)∈P,t∈I},

則C(I,P)為C(I,E)中的正規(guī)錐. 下面使用的半序“≤”由C(I,P)引出.

定義1[4]函數(shù)f: (0,∞)→的α>0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)積分定義為

其中等式右端在(0,+∞)內(nèi)有定義.

定義2[4]連續(xù)函數(shù)f: (0,+∞)→的α>0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

其中： 等式右端在(0,+∞)內(nèi)有定義;n=[α]+1, [α]表示α的整數(shù)部分.

u(t)=C1tα-1+C2tα-2+…+CNtα-N,Ci∈,i=1,2,…,N,

其中N是大于或等于α的最小整數(shù).

引理2[6]若u>0且u∈C(0,1)∩L(0,1), 則下列等式成立:

其中N是大于或等于α的最小整數(shù).

引理3[6]設(shè)2<α≤3,h∈C(I,E), Banach空間E中的線性分?jǐn)?shù)階邊值問題:

(4)

存在唯一解

(5)

其中

證明: 由式(5)知,

算子T:C(I,E)→C(I,E)顯然為正的線性連續(xù)算子,T有第一特征值λ1對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)u*, 即λ1Tu*=u*. 本文E與C(I,E)中有界集的Kuratowski非緊性測(cè)度均用α(·)表示. 對(duì)B?C(I,E), 記B(t)={u(t)|u∈B}?E,t∈I.

引理5[8]設(shè)B?C(I,E)為等度連續(xù)的有界函數(shù)族, 則α(B(t))在I上連續(xù), 且

引理7[10]設(shè)D?E有界, 則存在D的可列子集D0, 使得α(D)≤2α(D0).

定義算子Q:C(I,P)→C(I,P)為

(6)

則Q:C(I,P)→C(I,P)連續(xù), 且方程(3)的解等價(jià)于積分算子Q的不動(dòng)點(diǎn).

對(duì)f:I×P→P, 假設(shè):

引理8設(shè)f:I×P→P滿足假設(shè)條件(H1), 則由式(6)定義的算子Q:C(I,P)→C(I,P)為凝聚映射.

因?yàn)镼(B1)等度連續(xù), 故由引理5知

于是有

因此Q:C(I,P)→C(I,P)為凝聚映射. 證畢.

取C(I,P)的子錐K={u∈C(I,P)|u(t)≥θ, ?t∈I}, 易證Q(C(I,P))?K, 從而當(dāng)f:I×P→P時(shí),Q:K→K為凝聚映射, 方程(3)上的正解等價(jià)于Q在K中的不動(dòng)點(diǎn).

i(θ,K∩Ω,K)=1.

(7)

2 主要結(jié)果

假設(shè)f:I×P→P滿足下列條件：

2) 存在η>λ1及h0∈C(I,P), 使得當(dāng)x∈P時(shí),f(t,x)≤ηx-h0(t).

(H3) 1) 存在ε>λ1及δ>0, 使得當(dāng)x∈Pδ時(shí),f(t,x)≥εx;

定理1設(shè)E為Banach空間,K為E中的錐, 其正元錐P為正規(guī)錐,f:I×P→P連續(xù)且滿足條件(H1), 如果其還滿足條件(H2)和(H3)之一, 則邊值問題(3)至少存在一個(gè)正解.

證明： 只需證由式(6)定義的凝聚映射Q:K→K存在非零的不動(dòng)點(diǎn). 取0

Ωr={u∈K|‖u‖

情形1) 若f滿足假設(shè)條件(H2), 取0

u≠λQu, ?u∈K∩?Ωr, 0<λ≤1.

(8)

反設(shè)式(8)不成立, 則存在u0∈K∩?Ωr, 0<λ≤1, 使得u0=λ0Qu0. 由Q的定義及條件(H2)中1)得

(9)

多次運(yùn)用式(9), 則有

u0(t)≤εTu0(t)≤…≤εnTnu0(t), ?t∈I,n∈N.

由錐K的正規(guī)性和引理4知,

其中N為正規(guī)常數(shù), 故‖u0‖=0, 與u0∈K∩?Ωr矛盾. 于是式(8)成立, 再由引理9知式(7)成立. 下面證明當(dāng)R充分大時(shí), 有

u-Qu≠τu*, ?u∈K∩?ΩR,τ≥0.

(10)

反設(shè)存在u0∈K∩?ΩR,τ≥0, 使得u0-Qu0=τ0u*, 則u0=Qu0+τ0u*. 由算子Q的定義及條件(H2)中2)得

從而有

由η>λ1知(ηT-I)為正算子, 故逆算子(ηT-I)-1存在, 又由錐K的正規(guī)性有

情形2) 若f滿足假設(shè)條件(H3), 取0

u-Qu≠τu*, ?u∈K∩?Ωr,τ≥0.

(11)

反設(shè)式(11)不成立, 則存在u0∈K∩?Ωr,τ≥0, 使得u0-Qu0=τ0u*, 從而u0=Qu0+τ0u*≥τ0u*. 令τ*=sup{τ|u0≥τu*}, 即0<τ0<τ*<+∞, 且u0≥τ*u*. 由T的正性知,

λ1Tu0≥τ*λ1Tu*=τ*u*.

由條件(H3)中1)有

與τ*的定義矛盾. 故根據(jù)引理10有

i(θ,K∩Ωr,K)=0.

(12)

再證當(dāng)R充分大時(shí), 有

u≠λQu, ?u∈K∩?ΩR, 0<λ<1.

(13)

假設(shè)存在u0∈K, 0<λ0≤1, 使得u0=λ0Qu0, 則由條件(H3)中2)有