大型油輪艏搖混沌現(xiàn)象的仿真與滑?？刂?/h1>
2021-01-18 07:15:54張顯庫(kù)
上海交通大學(xué)學(xué)報(bào) 2021年1期
張顯庫(kù)，韓 旭
(大連海事大學(xué) 航海學(xué)院，遼寧 大連 116026)
在航海實(shí)踐中，有經(jīng)驗(yàn)的駕駛員在操縱大型油輪時(shí)常常發(fā)現(xiàn)，即使在非惡劣海況下也很難讓船舶保持直線航行，船首呈現(xiàn)出一種不規(guī)則的隨機(jī)擺動(dòng)，這種現(xiàn)象用常規(guī)理論來(lái)解釋非常困難.如果對(duì)這種異?，F(xiàn)象不從理論上進(jìn)行深入研究，可能會(huì)對(duì)航行安全和高效航運(yùn)帶來(lái)不良影響，更會(huì)阻礙無(wú)人自主船舶的研究進(jìn)程.相比于其他船舶，大型油輪往往旋回性好而直航性差，很可能是這一特性導(dǎo)致其更容易出現(xiàn)不規(guī)則艏搖的現(xiàn)象.本研究以大型油輪為對(duì)象研究不規(guī)則艏搖現(xiàn)象，所述研究方法也適用于具有類似特性的其他類型船舶.
船舶有6個(gè)自由度，但到目前為止橫搖運(yùn)動(dòng)中的混沌[1]仍是船舶混沌研究的主流，其他維度的研究則相對(duì)較少.文獻(xiàn)[2]總結(jié)了20世紀(jì)船舶非線性運(yùn)動(dòng)的研究狀況，這些研究主要集中在橫搖、垂蕩、系泊以及可能導(dǎo)致傾覆的打橫上.文獻(xiàn)[3-4]運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法研究了小型船在尾迎浪時(shí)的異?？v蕩，并指出船舶在特定海浪頻率與波長(zhǎng)下會(huì)出現(xiàn)混沌瞬態(tài)以及長(zhǎng)期混亂運(yùn)動(dòng).事實(shí)上除橫搖外，航海實(shí)踐上最關(guān)心的是艏搖，因?yàn)轸紦u直接影響航行的效率.考慮到船舶運(yùn)動(dòng)及海況干擾的非線性特性，本研究試圖直接用非線性系統(tǒng)理論中的混沌理論來(lái)解釋航海實(shí)踐中的異常艏搖現(xiàn)象.混沌現(xiàn)象是一種非線性動(dòng)力系統(tǒng)中廣泛存在的確定性、類隨機(jī)的過(guò)程，這種過(guò)程沒(méi)有周期性且不收斂，對(duì)初始值敏感而難以掌控.目前針對(duì)艏搖混沌的研究相對(duì)較少，文獻(xiàn)[5]探討了能否用混沌理論來(lái)解釋異常艏搖，但該研究建立的混沌方程中，阻尼項(xiàng)和剛度參數(shù)范圍與實(shí)船情況差異較大.文獻(xiàn)[6]試圖改進(jìn)文獻(xiàn)[5]中一些不合理的參數(shù)，并設(shè)計(jì)了魯棒控制器來(lái)控制混沌運(yùn)動(dòng).盡管如此，文獻(xiàn)[6]中的個(gè)別參數(shù)，例如海浪頻率與浪高的描述在實(shí)際情況中是極為罕見(jiàn)的，因此其解釋仍無(wú)法讓人信服.文獻(xiàn)[7]嘗試使用Liu混沌系統(tǒng)重新解釋大型油輪的混沌艏搖現(xiàn)象，通過(guò)對(duì)所構(gòu)造的船舶Abkowitz模型進(jìn)行化簡(jiǎn)和變形，發(fā)現(xiàn)所得結(jié)果與Liu混沌系統(tǒng)形似，但在深入分析后，得到的結(jié)果否定了用Liu混沌系統(tǒng)解釋的設(shè)想.文獻(xiàn)[5]在研究操縱閉環(huán)控制時(shí)使用了比例控制器模擬駕駛員的操縱，本文為了更真實(shí)描述有經(jīng)驗(yàn)駕駛員的操縱特性，引入了人的數(shù)學(xué)模型[8-10]，從而再現(xiàn)操縱大型油輪過(guò)程中出現(xiàn)的混沌現(xiàn)象，為進(jìn)一步設(shè)計(jì)有效的混沌抑制控制算法打下基礎(chǔ).文獻(xiàn)[11-12]沿用文獻(xiàn)[6]的思路，給出了Duffing方程形式的混沌模型并使用自適應(yīng)和滑?？刂品椒▽?shí)現(xiàn)了參數(shù)不確定下航向保持的穩(wěn)定控制，但最后未能給出所設(shè)計(jì)控制輸入與操舵舵角的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
反步法是非線性控制中的常見(jiàn)方法，它基于Lyapunov定理設(shè)計(jì)控制器從而保證被控系統(tǒng)的穩(wěn)定[13].但此方法設(shè)計(jì)的控制器通常魯棒性不足，在干擾和參數(shù)攝動(dòng)下控制效果會(huì)大打折扣.滑?？刂剖且环N常見(jiàn)的魯棒控制方法，通過(guò)控制量切換引導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)沿滑模面滑動(dòng)，使系統(tǒng)在外部干擾和參數(shù)攝動(dòng)下具有不變性.但在應(yīng)用時(shí)要注意防止滑動(dòng)模態(tài)上的抖振問(wèn)題，目前代表性的解決方法有準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)方法的邊界層設(shè)計(jì)、更改滑模面的趨近律的方法、濾波方法、觀測(cè)器方法、動(dòng)態(tài)滑模以及智能控制優(yōu)化等方法[14]，本研究由于計(jì)算最終執(zhí)行器輸出(即舵角)時(shí)，必然存在一個(gè)一階慣性項(xiàng)作用于滑模率，所以控制率本身不需要做進(jìn)一步處理，舵角也不會(huì)出現(xiàn)劇烈抖振.從滑?？刂坡蕦?duì)舵角的影響來(lái)看，這相當(dāng)于采用了濾波方法.
1 有經(jīng)驗(yàn)駕駛員的數(shù)學(xué)模型
駕駛員對(duì)系統(tǒng)的影響很復(fù)雜，但若粗獷處理的話可以認(rèn)為主要是一系列延遲和增益的組合，文獻(xiàn)[5]所給出的駕駛員模型為轉(zhuǎn)艏速率誤差的比例模型，并未考慮駕駛員應(yīng)變及操縱所需的時(shí)間，因而精確性和說(shuō)服力相對(duì)不足，這里參照文獻(xiàn)[8]所提出的駕駛員模型，采用傳遞函數(shù)形式描述駕駛員對(duì)系統(tǒng)的影響，輸入和輸出分別為操舵角和航行誤差.
(1)
式中：GH(s)為傳遞函數(shù)形式的駕駛員模型；s為拉普拉斯算子；δ為舵角；Δψ為航向改變量；Kp為靜態(tài)船舶駕駛員增益，取值為1～300；τ為時(shí)滯，反映了駕駛員的固有延時(shí)特性，取值0.1～0.6 s，是駕駛員反應(yīng)與動(dòng)作的必要時(shí)間；e為自然常數(shù)；Tn為人體動(dòng)作慣性常數(shù)，一般取0.1～0.2 s；Tl為大腦滯后補(bǔ)償時(shí)間常數(shù)，一般取1～30 s.
(2)
將式(2)代入式(1)，并忽略低頻時(shí)(s=jω→0，j為虛數(shù)單位，ω為信號(hào)頻率)的二階和三階小量，式(1)可近似為一階模型
(3)
式中：Tp=Tn+τ+Tl.
2 船舶運(yùn)動(dòng)響應(yīng)型非線性數(shù)學(xué)模型
船舶模型有多種形式，其中Nomoto模型因其簡(jiǎn)單實(shí)用的特性而具有很高的使用率，但其推導(dǎo)過(guò)程需要使用昂貴的海試數(shù)據(jù)，否則需要使用Clarke整理的線性流體動(dòng)力導(dǎo)數(shù)[15]，而Clarke的研究發(fā)表于1982年，隨著近幾十年來(lái)船舶的大型化，其精度有所下降.在文獻(xiàn)[6]和[15]中給出了一種非線性的Nomoto模型，非線性項(xiàng)的增加使船舶的運(yùn)動(dòng)得到了更加準(zhǔn)確的描述.具體如下：
(4)
3 船舶廣義數(shù)學(xué)模型混沌分析
Duffing方程是一種典型的混沌方程，其一般形式為
(5)
通過(guò)比較可知，式(5)與式(4)形似，故可以用Duffing方程研究船舶運(yùn)動(dòng)中的混沌現(xiàn)象.
將式(3)變成輸入為航向誤差的微分方程的形式：
(6)
(7)
由于海浪可用正弦波描述，船舶在海浪作用下的艏搖也表現(xiàn)出正弦性質(zhì)，所以此處可用正弦波描述海浪作用下的艏搖，令式(6)中Δψ=Bsin(ω1t)，針對(duì)T3與Tp相近的系統(tǒng)，再將替換后的式(6)代入式(7)，可得：
(8)
式中：B為海浪對(duì)船舶的擺艏增益，取值范圍為0～2π；ω1為艏搖角頻率，其取值范圍依據(jù)海浪常見(jiàn)周期設(shè)定為0.25～1.25 rad/s，這里取ω1=0.25 rad/s；Kp=250，Tp=28，B=2.5.經(jīng)過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，式(8)和(5)形式上很相似，所以預(yù)言當(dāng)參數(shù)配置適當(dāng)，船舶廣義數(shù)學(xué)模型有混沌解，船舶航向保持過(guò)程中存在混沌現(xiàn)象.
表1所示為大型油輪Davis Sea的船舶參數(shù)，計(jì)算得出相應(yīng)參數(shù)為a1=0.087 74，a0=0.000 85，c0=48.864，b1=0.000 91.
表1 大型油輪Davis Sea的船舶參數(shù)Tab.1 Ship parameter of large oil tanker Davis Sea
采用四階-五階Runge-Kutta算法(ode45)對(duì)該系統(tǒng)的狀態(tài)變化求解，初始值為(x1,x2)=(0,0)，系統(tǒng)的相圖及分岔圖分別如圖1和2所示.相圖的橫縱坐標(biāo)皆為狀態(tài)變量，由相圖可以看到系統(tǒng)狀態(tài)變量的變化軌跡.分岔圖則展現(xiàn)的是某一狀態(tài)變量隨系統(tǒng)參數(shù)的變化情況，其中虛點(diǎn)的部分意味著系統(tǒng)狀態(tài)的不穩(wěn)定(不收斂)，蘊(yùn)含著發(fā)生混沌的可能.
表2 三維系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)與系統(tǒng)穩(wěn)定性對(duì)應(yīng)關(guān)系Tab.2 Correspondence between Lyapunov exponent and system stability in 3-dimensional systems
圖1 系統(tǒng)相圖Fig.1 System phase
圖2 B=0～2π時(shí)的系統(tǒng)分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram at B=0—2π
本文采用Jacobi方法求解Lyapunov指數(shù)，其基本原理是首先求解出系統(tǒng)微分方程的近似解，然后對(duì)系統(tǒng)的Jacobi矩陣進(jìn)行QR(正交三角)分解，并計(jì)算其特征值的乘積，從而計(jì)算出系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)，具體的計(jì)算原理如下[17].
對(duì)于微分方程
(9)
(10)
J是F的Jacobi矩陣，式(10)的解可表示為
ε(t)=U(ε(0),t)
(11)
式中：U為ε(0)→ε(t)的映射，ε(0),ε(t)分別指ε在0時(shí)刻和t時(shí)刻的值.U的漸進(jìn)行為可用指數(shù)λ表示為
(12)
系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)可定義為上述重復(fù)過(guò)程的均值，即
(13)
Lyapunov指數(shù)值隨時(shí)間的變化如圖3所示，最終迭代出的結(jié)果為λ1=0.008 718 9,λ2=0,λ3=-0.096 459，符合表2混沌吸引子的特性，故可以確定系統(tǒng)在此狀態(tài)下出現(xiàn)了混沌現(xiàn)象.
圖3 系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)Fig.3 Lyapunov exponents of system
功率譜形狀也是判斷混沌的途徑之一.功率譜圖的尖峰意味著周期性，而混沌運(yùn)動(dòng)功率譜不再出現(xiàn)離散的譜線，像噪聲一樣是連續(xù)的過(guò)程.圖4給出了此時(shí)的系統(tǒng)功率譜(PSD)，可見(jiàn)無(wú)法從噪聲中區(qū)分明顯的尖峰，這意味著沒(méi)有顯著的周期性，進(jìn)一步佐證了混沌的發(fā)生.
圖4 系統(tǒng)功率譜Fig.4 Power spectrum of system
為直觀展示混沌與艏搖的關(guān)系，圖5給出了狀態(tài)變量x1(即轉(zhuǎn)艏角速度r)隨時(shí)間的變化情況.可以看到，雖然約每25 s船舶會(huì)完成一輪艏搖，但艏搖的過(guò)程不盡相同，具有非周期性和混沌特點(diǎn).
圖5 狀態(tài)變量x1隨時(shí)間變化曲線Fig.5 Time curve of state variable x1
通過(guò)進(jìn)一步調(diào)整參數(shù)ω1我們發(fā)現(xiàn)，在B的取值范圍內(nèi)，當(dāng)Kp、Tp不變而ω1增大時(shí)，導(dǎo)致混沌發(fā)生的B的初值增大；相應(yīng)地，當(dāng)ω1減小時(shí)會(huì)使能造成混沌的B初值減小.但無(wú)論ω1過(guò)大還是過(guò)小都會(huì)導(dǎo)致混沌現(xiàn)象的消失(ω1取值范圍決定了本例不存在混沌消失下界).就式(8)規(guī)定的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，這一規(guī)律具有普適性，只是針對(duì)不同船舶，ω1和B的臨界值會(huì)有所改變.如圖6所示，經(jīng)過(guò)測(cè)試，油輪Davis Sea可以導(dǎo)致艏搖混沌的海浪區(qū)間為0.25 rad/s≤ω1≤0.38 rad/s.由以上分析可以確定，海況穩(wěn)定時(shí)遇到不規(guī)則艏搖極可能為混沌現(xiàn)象.
圖6 不同角頻率下的系統(tǒng)分叉圖Fig.6 System bifurcation at different angular frequencies
4 基于反步法的滑?？刂?/h2>
為控制式(8)所示系統(tǒng)，在式(8)的第2式后加入一個(gè)控制項(xiàng)u，使被控系統(tǒng)變?yōu)?/p>
(14)
(15)
(16)
式中：x2d為x2的控制目標(biāo)值.定義關(guān)于x2的誤差變量γ，
γ=x2d-x2
(17)
將式(16)、(17)代入式(15)，得到
(18)
而
(19)
(20)
(21)
|f||γ|-ρ|γ|-k1e2-k2γ2≤
ρ|γ|-ρ|γ|-k1e2-k2γ2=
-k1e2-k2γ2
(22)
使用式(7)來(lái)獲取舵角δ，即
(23)
5 仿真結(jié)果
代入相關(guān)數(shù)據(jù)，設(shè)定B=2π(取最大可能值，若此條件能控，更小的值必然能控)，取ρ=0.07，k1=k2=1，控制前后的艏搖速率和控制舵角如圖7和8所示，仿真結(jié)果以角度制表示以便直觀理解.控制作用施加于80 s，舵角限幅20°.
圖7 控制前后轉(zhuǎn)艏速率Fig.7 Turning rate before and after control
由圖7可以看出未加控制時(shí)系統(tǒng)處于混沌艏搖狀態(tài)，應(yīng)用控制后航向迅速穩(wěn)定，|x1|的最大值從6.6°/s降到0.12°/s，積分后可知航向穩(wěn)態(tài)偏差小于0.07°.由圖8可知控制舵角絕對(duì)值最大為17.2°，穩(wěn)定舵角絕對(duì)值最大為5°，控制效果令人滿意.
圖8 控制舵角Fig.8 Controlling rudder angle
6 結(jié)語(yǔ)
大型油輪的不規(guī)則艏搖確實(shí)可以用混沌理論解釋.由于船舶性能與迎浪幅頻的差異，艏搖模型參數(shù)存在著變動(dòng)區(qū)間，變動(dòng)區(qū)間內(nèi)存在能造成混沌的部分，因此這種不規(guī)則艏搖是可能發(fā)生的.不規(guī)則艏搖現(xiàn)象得到了相對(duì)合理的解釋，造成混沌的參數(shù)區(qū)間也已得出.為避免不規(guī)則艏搖，又針對(duì)所建模型提出了相應(yīng)的滑?？刂坡?，避免了測(cè)量海浪頻率的同時(shí)改善了控制系統(tǒng)的魯棒性，為消除混沌艏搖的不利影響給出了一種不錯(cuò)的思路和方案.
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船舶有6個(gè)自由度，但到目前為止橫搖運(yùn)動(dòng)中的混沌[1]仍是船舶混沌研究的主流，其他維度的研究則相對(duì)較少.文獻(xiàn)[2]總結(jié)了20世紀(jì)船舶非線性運(yùn)動(dòng)的研究狀況，這些研究主要集中在橫搖、垂蕩、系泊以及可能導(dǎo)致傾覆的打橫上.文獻(xiàn)[3-4]運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法研究了小型船在尾迎浪時(shí)的異?？v蕩，并指出船舶在特定海浪頻率與波長(zhǎng)下會(huì)出現(xiàn)混沌瞬態(tài)以及長(zhǎng)期混亂運(yùn)動(dòng).事實(shí)上除橫搖外，航海實(shí)踐上最關(guān)心的是艏搖，因?yàn)轸紦u直接影響航行的效率.考慮到船舶運(yùn)動(dòng)及海況干擾的非線性特性，本研究試圖直接用非線性系統(tǒng)理論中的混沌理論來(lái)解釋航海實(shí)踐中的異常艏搖現(xiàn)象.混沌現(xiàn)象是一種非線性動(dòng)力系統(tǒng)中廣泛存在的確定性、類隨機(jī)的過(guò)程，這種過(guò)程沒(méi)有周期性且不收斂，對(duì)初始值敏感而難以掌控.目前針對(duì)艏搖混沌的研究相對(duì)較少，文獻(xiàn)[5]探討了能否用混沌理論來(lái)解釋異常艏搖，但該研究建立的混沌方程中，阻尼項(xiàng)和剛度參數(shù)范圍與實(shí)船情況差異較大.文獻(xiàn)[6]試圖改進(jìn)文獻(xiàn)[5]中一些不合理的參數(shù)，并設(shè)計(jì)了魯棒控制器來(lái)控制混沌運(yùn)動(dòng).盡管如此，文獻(xiàn)[6]中的個(gè)別參數(shù)，例如海浪頻率與浪高的描述在實(shí)際情況中是極為罕見(jiàn)的，因此其解釋仍無(wú)法讓人信服.文獻(xiàn)[7]嘗試使用Liu混沌系統(tǒng)重新解釋大型油輪的混沌艏搖現(xiàn)象，通過(guò)對(duì)所構(gòu)造的船舶Abkowitz模型進(jìn)行化簡(jiǎn)和變形，發(fā)現(xiàn)所得結(jié)果與Liu混沌系統(tǒng)形似，但在深入分析后，得到的結(jié)果否定了用Liu混沌系統(tǒng)解釋的設(shè)想.文獻(xiàn)[5]在研究操縱閉環(huán)控制時(shí)使用了比例控制器模擬駕駛員的操縱，本文為了更真實(shí)描述有經(jīng)驗(yàn)駕駛員的操縱特性，引入了人的數(shù)學(xué)模型[8-10]，從而再現(xiàn)操縱大型油輪過(guò)程中出現(xiàn)的混沌現(xiàn)象，為進(jìn)一步設(shè)計(jì)有效的混沌抑制控制算法打下基礎(chǔ).文獻(xiàn)[11-12]沿用文獻(xiàn)[6]的思路，給出了Duffing方程形式的混沌模型并使用自適應(yīng)和滑?？刂品椒▽?shí)現(xiàn)了參數(shù)不確定下航向保持的穩(wěn)定控制，但最后未能給出所設(shè)計(jì)控制輸入與操舵舵角的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
反步法是非線性控制中的常見(jiàn)方法，它基于Lyapunov定理設(shè)計(jì)控制器從而保證被控系統(tǒng)的穩(wěn)定[13].但此方法設(shè)計(jì)的控制器通常魯棒性不足，在干擾和參數(shù)攝動(dòng)下控制效果會(huì)大打折扣.滑?？刂剖且环N常見(jiàn)的魯棒控制方法，通過(guò)控制量切換引導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)沿滑模面滑動(dòng)，使系統(tǒng)在外部干擾和參數(shù)攝動(dòng)下具有不變性.但在應(yīng)用時(shí)要注意防止滑動(dòng)模態(tài)上的抖振問(wèn)題，目前代表性的解決方法有準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)方法的邊界層設(shè)計(jì)、更改滑模面的趨近律的方法、濾波方法、觀測(cè)器方法、動(dòng)態(tài)滑模以及智能控制優(yōu)化等方法[14]，本研究由于計(jì)算最終執(zhí)行器輸出(即舵角)時(shí)，必然存在一個(gè)一階慣性項(xiàng)作用于滑模率，所以控制率本身不需要做進(jìn)一步處理，舵角也不會(huì)出現(xiàn)劇烈抖振.從滑?？刂坡蕦?duì)舵角的影響來(lái)看，這相當(dāng)于采用了濾波方法.
1 有經(jīng)驗(yàn)駕駛員的數(shù)學(xué)模型
駕駛員對(duì)系統(tǒng)的影響很復(fù)雜，但若粗獷處理的話可以認(rèn)為主要是一系列延遲和增益的組合，文獻(xiàn)[5]所給出的駕駛員模型為轉(zhuǎn)艏速率誤差的比例模型，并未考慮駕駛員應(yīng)變及操縱所需的時(shí)間，因而精確性和說(shuō)服力相對(duì)不足，這里參照文獻(xiàn)[8]所提出的駕駛員模型，采用傳遞函數(shù)形式描述駕駛員對(duì)系統(tǒng)的影響，輸入和輸出分別為操舵角和航行誤差.
(1)
式中：GH(s)為傳遞函數(shù)形式的駕駛員模型；s為拉普拉斯算子；δ為舵角；Δψ為航向改變量；Kp為靜態(tài)船舶駕駛員增益，取值為1～300；τ為時(shí)滯，反映了駕駛員的固有延時(shí)特性，取值0.1～0.6 s，是駕駛員反應(yīng)與動(dòng)作的必要時(shí)間；e為自然常數(shù)；Tn為人體動(dòng)作慣性常數(shù)，一般取0.1～0.2 s；Tl為大腦滯后補(bǔ)償時(shí)間常數(shù)，一般取1～30 s.
(2)
將式(2)代入式(1)，并忽略低頻時(shí)(s=jω→0，j為虛數(shù)單位，ω為信號(hào)頻率)的二階和三階小量，式(1)可近似為一階模型
(3)
式中：Tp=Tn+τ+Tl.
2 船舶運(yùn)動(dòng)響應(yīng)型非線性數(shù)學(xué)模型
船舶模型有多種形式，其中Nomoto模型因其簡(jiǎn)單實(shí)用的特性而具有很高的使用率，但其推導(dǎo)過(guò)程需要使用昂貴的海試數(shù)據(jù)，否則需要使用Clarke整理的線性流體動(dòng)力導(dǎo)數(shù)[15]，而Clarke的研究發(fā)表于1982年，隨著近幾十年來(lái)船舶的大型化，其精度有所下降.在文獻(xiàn)[6]和[15]中給出了一種非線性的Nomoto模型，非線性項(xiàng)的增加使船舶的運(yùn)動(dòng)得到了更加準(zhǔn)確的描述.具體如下：
(4)
3 船舶廣義數(shù)學(xué)模型混沌分析
Duffing方程是一種典型的混沌方程，其一般形式為
(5)
通過(guò)比較可知，式(5)與式(4)形似，故可以用Duffing方程研究船舶運(yùn)動(dòng)中的混沌現(xiàn)象.
將式(3)變成輸入為航向誤差的微分方程的形式：
(6)
(7)
由于海浪可用正弦波描述，船舶在海浪作用下的艏搖也表現(xiàn)出正弦性質(zhì)，所以此處可用正弦波描述海浪作用下的艏搖，令式(6)中Δψ=Bsin(ω1t)，針對(duì)T3與Tp相近的系統(tǒng)，再將替換后的式(6)代入式(7)，可得：
(8)
式中：B為海浪對(duì)船舶的擺艏增益，取值范圍為0～2π；ω1為艏搖角頻率，其取值范圍依據(jù)海浪常見(jiàn)周期設(shè)定為0.25～1.25 rad/s，這里取ω1=0.25 rad/s；Kp=250，Tp=28，B=2.5.經(jīng)過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，式(8)和(5)形式上很相似，所以預(yù)言當(dāng)參數(shù)配置適當(dāng)，船舶廣義數(shù)學(xué)模型有混沌解，船舶航向保持過(guò)程中存在混沌現(xiàn)象.
表1所示為大型油輪Davis Sea的船舶參數(shù)，計(jì)算得出相應(yīng)參數(shù)為a1=0.087 74，a0=0.000 85，c0=48.864，b1=0.000 91.
表1 大型油輪Davis Sea的船舶參數(shù)Tab.1 Ship parameter of large oil tanker Davis Sea
采用四階-五階Runge-Kutta算法(ode45)對(duì)該系統(tǒng)的狀態(tài)變化求解，初始值為(x1,x2)=(0,0)，系統(tǒng)的相圖及分岔圖分別如圖1和2所示.相圖的橫縱坐標(biāo)皆為狀態(tài)變量，由相圖可以看到系統(tǒng)狀態(tài)變量的變化軌跡.分岔圖則展現(xiàn)的是某一狀態(tài)變量隨系統(tǒng)參數(shù)的變化情況，其中虛點(diǎn)的部分意味著系統(tǒng)狀態(tài)的不穩(wěn)定(不收斂)，蘊(yùn)含著發(fā)生混沌的可能.
表2 三維系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)與系統(tǒng)穩(wěn)定性對(duì)應(yīng)關(guān)系Tab.2 Correspondence between Lyapunov exponent and system stability in 3-dimensional systems
圖1 系統(tǒng)相圖Fig.1 System phase
圖2 B=0～2π時(shí)的系統(tǒng)分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram at B=0—2π
本文采用Jacobi方法求解Lyapunov指數(shù)，其基本原理是首先求解出系統(tǒng)微分方程的近似解，然后對(duì)系統(tǒng)的Jacobi矩陣進(jìn)行QR(正交三角)分解，并計(jì)算其特征值的乘積，從而計(jì)算出系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)，具體的計(jì)算原理如下[17].
對(duì)于微分方程
(9)
(10)
J是F的Jacobi矩陣，式(10)的解可表示為
ε(t)=U(ε(0),t)
(11)
式中：U為ε(0)→ε(t)的映射，ε(0),ε(t)分別指ε在0時(shí)刻和t時(shí)刻的值.U的漸進(jìn)行為可用指數(shù)λ表示為
(12)
系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)可定義為上述重復(fù)過(guò)程的均值，即
(13)
Lyapunov指數(shù)值隨時(shí)間的變化如圖3所示，最終迭代出的結(jié)果為λ1=0.008 718 9,λ2=0,λ3=-0.096 459，符合表2混沌吸引子的特性，故可以確定系統(tǒng)在此狀態(tài)下出現(xiàn)了混沌現(xiàn)象.
圖3 系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)Fig.3 Lyapunov exponents of system
功率譜形狀也是判斷混沌的途徑之一.功率譜圖的尖峰意味著周期性，而混沌運(yùn)動(dòng)功率譜不再出現(xiàn)離散的譜線，像噪聲一樣是連續(xù)的過(guò)程.圖4給出了此時(shí)的系統(tǒng)功率譜(PSD)，可見(jiàn)無(wú)法從噪聲中區(qū)分明顯的尖峰，這意味著沒(méi)有顯著的周期性，進(jìn)一步佐證了混沌的發(fā)生.
圖4 系統(tǒng)功率譜Fig.4 Power spectrum of system
為直觀展示混沌與艏搖的關(guān)系，圖5給出了狀態(tài)變量x1(即轉(zhuǎn)艏角速度r)隨時(shí)間的變化情況.可以看到，雖然約每25 s船舶會(huì)完成一輪艏搖，但艏搖的過(guò)程不盡相同，具有非周期性和混沌特點(diǎn).
圖5 狀態(tài)變量x1隨時(shí)間變化曲線Fig.5 Time curve of state variable x1
通過(guò)進(jìn)一步調(diào)整參數(shù)ω1我們發(fā)現(xiàn)，在B的取值范圍內(nèi)，當(dāng)Kp、Tp不變而ω1增大時(shí)，導(dǎo)致混沌發(fā)生的B的初值增大；相應(yīng)地，當(dāng)ω1減小時(shí)會(huì)使能造成混沌的B初值減小.但無(wú)論ω1過(guò)大還是過(guò)小都會(huì)導(dǎo)致混沌現(xiàn)象的消失(ω1取值范圍決定了本例不存在混沌消失下界).就式(8)規(guī)定的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，這一規(guī)律具有普適性，只是針對(duì)不同船舶，ω1和B的臨界值會(huì)有所改變.如圖6所示，經(jīng)過(guò)測(cè)試，油輪Davis Sea可以導(dǎo)致艏搖混沌的海浪區(qū)間為0.25 rad/s≤ω1≤0.38 rad/s.由以上分析可以確定，海況穩(wěn)定時(shí)遇到不規(guī)則艏搖極可能為混沌現(xiàn)象.
圖6 不同角頻率下的系統(tǒng)分叉圖Fig.6 System bifurcation at different angular frequencies
4 基于反步法的滑?？刂?/h2>
為控制式(8)所示系統(tǒng)，在式(8)的第2式后加入一個(gè)控制項(xiàng)u，使被控系統(tǒng)變?yōu)?/p>
(14)
(15)
(16)
式中：x2d為x2的控制目標(biāo)值.定義關(guān)于x2的誤差變量γ，
γ=x2d-x2
(17)
將式(16)、(17)代入式(15)，得到
(18)
而
(19)
(20)
(21)
|f||γ|-ρ|γ|-k1e2-k2γ2≤
ρ|γ|-ρ|γ|-k1e2-k2γ2=
-k1e2-k2γ2
(22)
使用式(7)來(lái)獲取舵角δ，即
(23)
5 仿真結(jié)果
代入相關(guān)數(shù)據(jù)，設(shè)定B=2π(取最大可能值，若此條件能控，更小的值必然能控)，取ρ=0.07，k1=k2=1，控制前后的艏搖速率和控制舵角如圖7和8所示，仿真結(jié)果以角度制表示以便直觀理解.控制作用施加于80 s，舵角限幅20°.
圖7 控制前后轉(zhuǎn)艏速率Fig.7 Turning rate before and after control
由圖7可以看出未加控制時(shí)系統(tǒng)處于混沌艏搖狀態(tài)，應(yīng)用控制后航向迅速穩(wěn)定，|x1|的最大值從6.6°/s降到0.12°/s，積分后可知航向穩(wěn)態(tài)偏差小于0.07°.由圖8可知控制舵角絕對(duì)值最大為17.2°，穩(wěn)定舵角絕對(duì)值最大為5°，控制效果令人滿意.
圖8 控制舵角Fig.8 Controlling rudder angle
6 結(jié)語(yǔ)
大型油輪的不規(guī)則艏搖確實(shí)可以用混沌理論解釋.由于船舶性能與迎浪幅頻的差異，艏搖模型參數(shù)存在著變動(dòng)區(qū)間，變動(dòng)區(qū)間內(nèi)存在能造成混沌的部分，因此這種不規(guī)則艏搖是可能發(fā)生的.不規(guī)則艏搖現(xiàn)象得到了相對(duì)合理的解釋，造成混沌的參數(shù)區(qū)間也已得出.為避免不規(guī)則艏搖，又針對(duì)所建模型提出了相應(yīng)的滑?？刂坡?，避免了測(cè)量海浪頻率的同時(shí)改善了控制系統(tǒng)的魯棒性，為消除混沌艏搖的不利影響給出了一種不錯(cuò)的思路和方案.
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