雙調(diào)和算子組高階譜的估計(jì)式

黃振明

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部， 江蘇 蘇州 215104)

在描述弦振動(dòng)、熱傳導(dǎo)等許多物理現(xiàn)象時(shí)，最終都會(huì)歸結(jié)到包含調(diào)和算子Δ的微分方程或方程組的譜問題。由于不同問題的離散譜代表了諸如物體振動(dòng)的頻率、粒子運(yùn)動(dòng)的勢(shì)能等實(shí)際意義，因此，譜問題一直是微分方程理論研究的重點(diǎn)內(nèi)容。近年來，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者采用各種方法，對(duì)各自研究領(lǐng)域中含基本算子Δ的微分方程(組)的譜問題進(jìn)行討論，取得了諸多的理論成果[1-11]。文獻(xiàn)[1]討論了雙調(diào)和算子的譜問題(也稱作clamped plate問題)：(Δ2+v)u=Γρu，其中v是所論空間上的有界連續(xù)函數(shù)，ρ>0是權(quán)函數(shù)，Γ是離散譜，并得到了估計(jì)譜的一個(gè)隱式不等式。盡管雙調(diào)和算子的譜問題研究成為熱點(diǎn)已有幾十年的歷史了，但未見有學(xué)者對(duì)雙調(diào)和算子組的譜問題進(jìn)行討論。因此，在文獻(xiàn)[1]研究成果的基礎(chǔ)上，筆者嘗試探討如下雙調(diào)和算子組的譜問題：

(1)

其中i=1,2,…,l(l為大于或等于1的整數(shù))，Ω?Rm(m≥2)是一個(gè)邊界逐片光滑的有界區(qū)域，v是邊界?Ω的單位外法向量，x=(x1,x2,…,xm)，常數(shù)aij=aji，函數(shù)bij(x)=bji(x)(i,j=1,2,…,l)，且滿足對(duì)任意l維向量ξ=(ξ1,ξ2,…,ξl)T，成立

(2)

(3)

μ1≤ρ(x)≤μ2，

(4)

上述v1、v2、μ1、μ2均為正實(shí)數(shù)。為推導(dǎo)方便，將下列一組l階對(duì)角算子矩陣記為R1()=diag[,,…,]，R1(Δ)=diag[Δ,Δ,…,Δ]，R2(Δ)=diag[Δ2,Δ2,…,Δ2]，l階對(duì)稱系數(shù)矩陣維函數(shù)列向量則可將問題(1)寫成下列矩陣形式：

(5)

1 準(zhǔn)備知識(shí)

(6)

即有

(7)

(8)

利用算子Δ的運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算得

(9)

(10)

(11)

利用式(8)和(11)有

(12)

因?yàn)閷?duì)i=1,2,…,n-1，成立Γi≤Γn，所以在式(12)中，用Γn替代所有的Γi(i=1,2,…,n-1)，有

(Γn+1-Γn)U≤4I。

(13)

2 引理

引理1 設(shè)ui是問題(5)對(duì)應(yīng)譜Γi(i=1,2,…,n)的特征函數(shù)，則

(14)

證明利用分部積分、問題(5)的邊界條件、Schwarz不等式和式(7)，得

即為引理1。

引理2 設(shè)ui是問題(5)對(duì)應(yīng)譜Γi(i=1,2,…,n)的特征函數(shù)，則

證明利用分部積分，有

移項(xiàng)得

(15)

利用分部積分和式(2)，可得式(15)右端第二項(xiàng)

(16)

最后，利用式(2)、(15)、(16)和引理1，有

引理2得證。

引理3 對(duì)于I，有如下的估計(jì)上界

證明將φik的定義式代入Iik可得

由引理2得

引理3證畢。

引理4 對(duì)于U和Γi(i=1,2,…,n)，有下列不等式成立

證明由φik的定義，有

(17)

(18)

利用式(6)、(17)、(18)得

(19)

根據(jù)式(4)、Schwarz不等式和式(19)，有

(20)

最后，利用式(20)和引理1，得

化簡(jiǎn)即得引理4。

3 主要結(jié)果

定理1 設(shè)Γi(i=1,2,…,n+1)是問題(5)的前n+1個(gè)譜，則有高階譜的顯式估計(jì)式

(21)

(22)

證明利用引理3和引理4，從式(13)可得式(21)，在式(21)中用Γn來替代Γi(i=1,2,…,n-1)，即可得式(22)。

定理2 對(duì)于任意整數(shù)m≥2、n≥1，有譜的隱式估計(jì)不等式

證明選擇參數(shù)σ>Γn，利用式(12)和U的定義，有

(23)

根據(jù)式(4)、(19)和Young不等式，有

(24)

(Γn+1-σ)U≤4I-V,

(25)

(26)

利用引理1和式(26)，有

(27)

(28)

根據(jù)式(27)和(28)，有

(29)

將式(29)和引理3中的估計(jì)式代入(25)，得

(30)

選取恰當(dāng)?shù)摩?，使?30)右端等于零，并用Γn+1替代其中的σ，化簡(jiǎn)即得定理2。

4 一般情形

將定理1、2的結(jié)論推廣至如下任意階調(diào)和算子組的離散譜問題

(31)

其中i=1,2,…,l,t≥2，且滿足式(2)—(4)。采用與上述類似的討論方法，通過推導(dǎo)，可得到問題(31)的離散譜與特征向量間的不等式關(guān)系，并最終推得如下的兩個(gè)估計(jì)結(jié)論，證明在此省略。

定理3 設(shè)Γi(i=1,2,…,n+1)是問題(31)的離散譜，則有估計(jì)第n+1個(gè)譜Γn+1上界的顯式不等式

定理4 對(duì)于問題(31)的第n+1個(gè)譜Γn+1，有下列隱式估計(jì)不等式

5 小結(jié)

筆者運(yùn)用Rayleigh定理對(duì)問題(5)的高階譜Γi(i為任意整數(shù))進(jìn)行討論，得到用前n個(gè)譜來估計(jì)第n+1個(gè)譜上界的解析不等式，其估計(jì)系數(shù)與區(qū)域的度量無關(guān)。文獻(xiàn)[1]討論的問題恰是本文問題當(dāng)l=1,a11=1時(shí)的特例，因此，本文結(jié)論是文獻(xiàn)[1]結(jié)論的進(jìn)一步推廣，在力學(xué)和物理學(xué)中有更廣的應(yīng)用價(jià)值。