基于水平集函數(shù)的隨機(jī)不確定性結(jié)構(gòu)可靠性拓?fù)鋬?yōu)化

海軍裝備部駐廣州地區(qū)軍事代表局駐昆明地區(qū)第二軍事代表室 云南 昆明 650032

1 引言

在實(shí)際工程中，由于制造精度和測量誤差等因素的影響，結(jié)構(gòu)的材料屬性、幾何尺寸和載荷等不可避免的存在不確定性，因此傳統(tǒng)的確定性設(shè)計(jì)方法難以準(zhǔn)確的描述結(jié)構(gòu)的實(shí)際情況。在復(fù)雜的工程問題中，確定性設(shè)計(jì)得到的設(shè)計(jì)結(jié)果往往缺乏可靠性保障，為了保證結(jié)構(gòu)的可靠，工程師使用較大的安全系數(shù)來進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，這種設(shè)計(jì)一定程度上可以提高結(jié)構(gòu)的可靠性，但是卻造成了材料的浪費(fèi)。為了實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)安全性和經(jīng)濟(jì)性的平衡，文獻(xiàn)[1]提出了結(jié)構(gòu)可靠性拓?fù)鋬?yōu)化(Reliability-based Topology Optimization，RBTO)方法，在結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化過程中考慮不確定性因素的影響，引入可靠性約束，開展可靠性拓?fù)鋬?yōu)化，使設(shè)計(jì)結(jié)果更接近工程實(shí)況。

近年來，考慮不確定性的拓?fù)鋬?yōu)化問題已經(jīng)得到了越來越多的關(guān)注，眾多學(xué)者針對可靠性分析和拓?fù)鋬?yōu)化方法的結(jié)合進(jìn)行了大量的研究，提出了一系列可靠性拓?fù)鋬?yōu)化方法，其中，針對隨機(jī)變量的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化問題是研究的重點(diǎn)。文獻(xiàn)[2]使用功能函數(shù)法(Performance Measure Approach，PMA)進(jìn)行可靠性分析，使用變密度法進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化；文獻(xiàn)[3]使用可靠度指標(biāo)法(Reliability Index Approach，RIA)處理可靠度約束，使用漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化；文獻(xiàn)[4]提出了一種基于價(jià)值函數(shù)的混合下降平均值(Hybrid Descent Mean Value，HDMV)法來提高PMA方法在可靠性分析中的準(zhǔn)確性和效率。這些方法在每一次迭代時(shí)都要進(jìn)行可靠性分析，屬于嵌套循環(huán)方法，針對大規(guī)模復(fù)雜問題會(huì)出現(xiàn)計(jì)算量大的問題，甚至無法得到最優(yōu)解，因此有學(xué)者提出解耦法來將可靠性分析從拓?fù)鋬?yōu)化中解耦出來，提高計(jì)算效率。文獻(xiàn)[5]通過內(nèi)循環(huán)進(jìn)行確定性拓?fù)鋬?yōu)化，并分析結(jié)構(gòu)可靠度，外循環(huán)控制結(jié)構(gòu)體積分?jǐn)?shù)的策略實(shí)現(xiàn)可靠性拓?fù)鋬?yōu)化；文獻(xiàn)[6]通過可靠度指標(biāo)法求出滿足目標(biāo)可靠度的設(shè)計(jì)點(diǎn)，然后對設(shè)計(jì)點(diǎn)進(jìn)行修正，以此為確定參數(shù)進(jìn)行基于變密度法的拓?fù)鋬?yōu)化；文獻(xiàn)[7]提出了順序優(yōu)化和可靠性評估(SORA)法，將隨機(jī)約束轉(zhuǎn)化為確定約束，把可靠性分析循環(huán)從優(yōu)化循環(huán)中分離出來。嵌套循環(huán)法和解耦法都需要通過可靠性分析的內(nèi)循來尋找最可能失效點(diǎn)，計(jì)算量較大，因此有學(xué)者提出了單循環(huán)法和可靠性安全系數(shù)法。文獻(xiàn)[8]基于單循環(huán)策略，使用近似方法來估算最可能失效點(diǎn)，對組件的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化問題進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[9]利用可靠性安全系數(shù)法對概率約束進(jìn)行等價(jià)顯示化處理，以滿應(yīng)力法完成拓?fù)鋬?yōu)化；文獻(xiàn)[10]利用一次二階矩和代數(shù)綜合法，推導(dǎo)出散熱弱度的可靠性安全系數(shù)，然后使用漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化。

目前，可靠性拓?fù)鋬?yōu)化問題的求解存在的主要問題是計(jì)算量大和計(jì)算精度差的問題。針對這些問題，學(xué)者們主要通過提高可靠性分析算法的效率以及解耦可靠性分析過程和拓?fù)鋬?yōu)化過程來解決，一定程度上提高了計(jì)算效率，但是這些方法幾乎都是基于拉格朗日網(wǎng)格分析結(jié)構(gòu)力學(xué)響應(yīng)，拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)果容易受到網(wǎng)格的影響，出現(xiàn)中間密度單元和網(wǎng)格依賴性等問題，導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果精度差，出現(xiàn)鋸齒形的結(jié)構(gòu)邊界。為此，本文使用文獻(xiàn)[11]中提出的基于水平集函數(shù)的拓?fù)鋬?yōu)化方法，以水平集函數(shù)描述結(jié)構(gòu)邊界，基于固定網(wǎng)格對結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，結(jié)合可靠性安全系數(shù)法，建立了具有位移可靠度約束的隨機(jī)結(jié)構(gòu)可靠性拓?fù)鋬?yōu)化模型，并使用移動(dòng)漸近線算法(MMA)進(jìn)行求解。最后，通過經(jīng)典的懸臂梁算例驗(yàn)證了所提模型和方法的可行性及有效性。

2 基于水平集函數(shù)的拓?fù)鋬?yōu)化方法

基于水平集函數(shù)的拓?fù)鋬?yōu)化方法通過水平集函數(shù)追蹤結(jié)構(gòu)的邊界演化，以目標(biāo)和約束對設(shè)計(jì)變量的靈敏度來控制結(jié)構(gòu)的拓?fù)渥兓Ｊ紫?，通過拓?fù)渥兓Ｆ?Topology Variation Modeler，TVM)建立一個(gè)規(guī)則的拓?fù)渥兓?，即?jì)算域，通過自由設(shè)計(jì)區(qū)域建模器(Free-form Design Domain Modeler，F(xiàn)DDM)定義一個(gè)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)域，然后對兩個(gè)用水平集函數(shù)描述的建模器進(jìn)行R函數(shù)運(yùn)算，將結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域嵌入到拓?fù)渥兓蛑?，使用固定網(wǎng)格將拓?fù)渥兓螂x散，采用B樣條有限胞元法(BSFCM)分析結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，最后，使用MMA算法進(jìn)行優(yōu)化求解，實(shí)現(xiàn)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。

2.1 拓?fù)渥兓Ｆ?拓?fù)渥兓Ｆ?TVM)定義了一個(gè)規(guī)則的拓?fù)渥兓?，它是一個(gè)由插值函數(shù)構(gòu)造的隱函數(shù)，主要通過改變插值系數(shù)的值來實(shí)現(xiàn)規(guī)則區(qū)域內(nèi)的拓?fù)渥兓１疚囊运郊[式函數(shù)來描述拓?fù)渥兓Ｆ?，其定義為：

式中，DTVM是規(guī)則的拓?fù)渥兓?，ΩTVM是能在拓?fù)渥兓蛑羞M(jìn)行拓?fù)渥兓慕Y(jié)構(gòu)域，x是插值函數(shù)的控制點(diǎn)坐標(biāo)。

傳統(tǒng)的水平集方法在拓?fù)鋬?yōu)化過程中存在求解復(fù)雜且計(jì)算較為耗時(shí)的問題。因此，徑向基函數(shù)和B樣條函數(shù)等相繼被用來插值構(gòu)造參數(shù)化的LSF，以插值系數(shù)的變化實(shí)現(xiàn)LSF描述的結(jié)構(gòu)的拓?fù)渥兓?。本文以一種易于收斂的緊支徑向基函數(shù)(CSRBF)為插值函數(shù)構(gòu)造TVM，其定義如下：

式中φi(x)是緊支徑向基函數(shù)，p i是由基函數(shù)的插值系數(shù)。由ΦTVM(x，p)的表達(dá)式可知TVM只與使用的插值函數(shù)和控制點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)，即水平集函數(shù)為參數(shù)化的形式。

2.2 自由設(shè)計(jì)區(qū)域建模器 自由設(shè)計(jì)區(qū)域建模器(FDDM)定義了結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)域，它是一個(gè)描述結(jié)構(gòu)具體形狀的隱函數(shù)，主要通過R函數(shù)的運(yùn)算將幾個(gè)由水平集函數(shù)描述的基本幾何體“組合”，得到最終的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域。本文使用的R函數(shù)的定義如下[12]：

式中：Φ1和Φ2是描述兩個(gè)基本幾何體的隱函數(shù)，∧和∨分別表示R函數(shù)中的R-合取和R-析取運(yùn)算，其運(yùn)算規(guī)則和布爾運(yùn)算中的布爾交∩和布爾并∪類似。根據(jù)設(shè)計(jì)域的具體形狀，使用R函數(shù)運(yùn)算可構(gòu)造出描述復(fù)雜設(shè)計(jì)域的水平集函數(shù)，記為ΦFDDM。

2.3 拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型 在前述兩個(gè)建模器的基礎(chǔ)上，將TVM和FDDM進(jìn)行“組合”，由TVM主導(dǎo)結(jié)構(gòu)的拓?fù)渥兓?，由FDDM控制結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)域，通過R-合取(∧)運(yùn)算將TVM的變化控制在設(shè)計(jì)域內(nèi)。圖1描述了這一組合過程，圖1(a)表示由插值函數(shù)構(gòu)造而成的規(guī)則拓?fù)渥兓瘏^(qū)域，主導(dǎo)結(jié)構(gòu)拓?fù)渥兓?，圖1(b)表示不規(guī)則的設(shè)計(jì)域，描述結(jié)構(gòu)的具體形狀，將二者進(jìn)行“組合”后，可得到圖1(c)所示的拓?fù)鋬?yōu)化模型，其數(shù)學(xué)模型如下：

式中，η=(p，q)T是設(shè)計(jì)變量向量，向量p是徑向緊支函數(shù)插值系數(shù)的集合，向量q是設(shè)計(jì)域的幾何與位置參數(shù)的集合，Φ(x，η)是本文進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化的真實(shí)結(jié)構(gòu)區(qū)域。

在實(shí)際工程中，拓?fù)鋬?yōu)化往往是在一個(gè)有界的區(qū)域內(nèi)尋找最優(yōu)結(jié)構(gòu)，考慮的設(shè)計(jì)區(qū)域通常為FDDM所定義的區(qū)域，若設(shè)計(jì)區(qū)域不變，則設(shè)計(jì)變量只與TVM的插值系數(shù)有關(guān)，即ν=p，則Φ(x，η)=Φ(x，p)。

圖1 拓?fù)鋬?yōu)化區(qū)域的“組合”過程Fig.1 The process of combining the topological optimization regions

3 結(jié)構(gòu)可靠性約束的等價(jià)處理

在平面連續(xù)體結(jié)構(gòu)中，將結(jié)構(gòu)離散后，其求解方程可表示為：

1.2.1對照組采用方法 本組研究對象實(shí)施2D DSA腦血管檢查，采用心血管造影系統(tǒng)進(jìn)行檢測，儀器由GE公司提供的GE LCV-Plasw，經(jīng)股動(dòng)脈實(shí)施血管造影，選用非離子型對比劑。

其中，

式中，K為整體剛度矩陣，d為節(jié)點(diǎn)位移矩陣，F(xiàn)為載荷矩陣，n g是進(jìn)行有限胞元分析時(shí)的胞元數(shù)，A g是第g個(gè)胞元的區(qū)域，k g是第g個(gè)胞元的剛度矩陣，B為胞元的幾何矩陣，只與幾何參數(shù)有關(guān)，D為彈性矩陣，只與彈性模量和泊松比有關(guān)。

為了進(jìn)行不確定性環(huán)境下的有限胞元分析，我們根據(jù)隨機(jī)因子法[13]引入隨機(jī)因子，將隨機(jī)變量表示為隨機(jī)因子與其確定性量的乘積，其確定性量的值為隨機(jī)變量的均值μ，隨機(jī)因子的均值為1，均方差為隨機(jī)變量的變異系數(shù)γ。

假定結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)為確定值，考慮彈性模量E和載荷F具有隨機(jī)性，分別引入對應(yīng)的隨機(jī)因子和，則隨機(jī)變量可分別表示為和F。其中，E*和F*為隨機(jī)變量的確定性量，其值分別等于E和F的均值；隨機(jī)因子的均值為1，均方差分別為E和F各自的變異系數(shù)γE和γF。

由上式可知位移可靠度約束是一個(gè)隱函數(shù)，為了便于使用基于梯度的優(yōu)化算法，將其進(jìn)行等價(jià)顯式化處理，轉(zhuǎn)化為常規(guī)約束。利用一次二階矩法，由文獻(xiàn)[14]可得可靠性中心安全系數(shù)和安全設(shè)計(jì)準(zhǔn)則為：

式中，β#=Φ-1(P#)，為給定的可靠性指標(biāo)，P#為給定的可靠度，γd0和γd分別為許用位移和實(shí)際位移的變異系數(shù)，μd0和μd分別為許用位移和實(shí)際位移的均值。

4 位移可靠度約束下的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

4.1 優(yōu)化模型 本文主要研究固定區(qū)域Ω內(nèi)，材料彈性模量和載荷具有隨機(jī)性，且受位移可靠度約束和體積約束情況下的結(jié)構(gòu)剛度最大化問題。根據(jù)前述基于水平集函數(shù)的拓?fù)鋬?yōu)化方法和可靠性安全系數(shù)法，建立以緊支徑向基函數(shù)的插值系數(shù)p為設(shè)計(jì)變量，以結(jié)構(gòu)最小應(yīng)變能為目標(biāo)，以結(jié)構(gòu)體積為常規(guī)約束，以可靠性中心安全系數(shù)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則為可靠性約束的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型：

4.2 求解策略 針對前述可靠性拓?fù)鋬?yōu)化模型，本文使用基于梯度的移動(dòng)漸近線算法進(jìn)行優(yōu)化求解，求解過程中的重點(diǎn)是目標(biāo)和約束對設(shè)計(jì)變量的靈敏度分析。其中，應(yīng)變能C對第i個(gè)設(shè)計(jì)變量p i的靈敏度為：

由于結(jié)構(gòu)所受載荷F、彈性矩陣D和應(yīng)變矩陣B均與設(shè)計(jì)變量無關(guān)，則位移d和剛度矩陣K對第i設(shè)計(jì)變量p i的靈敏度分別為：

結(jié)合式、和，可進(jìn)一步推導(dǎo)出：

等價(jià)后的可靠性約束對第i個(gè)設(shè)計(jì)變量p i的靈敏度為：

由式可以看出，等價(jià)后的可靠性約束靈敏度求解轉(zhuǎn)化為了位移的靈敏度求解，解決了隱式約束靈敏度求解困難的問題，提高了計(jì)算效率。

與剛度矩陣類似，體積V對第i個(gè)設(shè)計(jì)變量p i的靈敏度也可用類似的方法求解，表達(dá)式如下：

在完成靈敏度分析，得到相應(yīng)的靈敏度信息后，使用MMA進(jìn)行結(jié)構(gòu)的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化，整個(gè)可靠性拓?fù)鋬?yōu)化的流程如圖2所示。

5 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證方法的有效性，以拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域中經(jīng)典的懸臂梁為例，進(jìn)行可靠性拓?fù)鋬?yōu)化。懸臂梁結(jié)構(gòu)如圖3所示，其長為12m，寬6m，厚0.1m，材料泊松比為0.3，可靠性指標(biāo)β=3，彈性模量E和許用最大位移d0的均值和變異系數(shù)分別為：μE=1Gpa，γE=0.02；μd0=0.5m，γd0=0.005。在懸臂梁的自由端的中點(diǎn)受一豎直向下的隨機(jī)載荷的作用，其均值為μF=1k N，變異系數(shù)為γF=0.02，給定結(jié)構(gòu)保留的材料體積上限為3.6m3，即材料體積的一半。

懸臂梁的設(shè)計(jì)區(qū)域被均勻離散為80×40個(gè)矩形胞元，為加快迭代的收斂速度，在初始設(shè)計(jì)域上均布若干圓孔。根據(jù)式所示的優(yōu)化模型，結(jié)合相關(guān)參數(shù)，建立懸臂梁的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化模型，使用MMA進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，直到設(shè)計(jì)變量的累積變化量小于0.001或者迭代次數(shù)大于300時(shí)停止迭代。優(yōu)化迭代過程中懸臂梁的變化情況如圖4所示。

圖2 可靠性拓?fù)鋬?yōu)化流程Fig.2 Flowchart of reliability-based topology optimization

圖3 懸臂梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域Fig.3 Design domain of a cantilever beam

圖4 懸臂梁的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化迭代過程Fig.4 Reliability-based topology optimization of the cantilever beam

圖3(a)所示為懸臂梁可靠性拓?fù)鋬?yōu)化的初始結(jié)構(gòu)，圖4(b-d)為使用本文的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化方法進(jìn)行優(yōu)化迭代的懸臂梁結(jié)構(gòu)變化情況。整個(gè)拓?fù)鋬?yōu)化過程中優(yōu)化目標(biāo)應(yīng)變能C的收斂過程如圖5所示，從圖中可以看出應(yīng)變能從40步開始已經(jīng)基本收斂，61次迭代后應(yīng)變能達(dá)到最小，此時(shí)應(yīng)變能為61.47kN·m，保留體積為3.592m3，此時(shí)的結(jié)構(gòu)滿足了體積和可靠性的約束條件，并且達(dá)到了最大剛度。

圖5 目標(biāo)函數(shù)變化過程Fig.5 History of objective function change

從懸臂梁結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果可以看出：(1)使用本文的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化方法可以得到一個(gè)邊界清晰的結(jié)構(gòu)，說明本文的方法可以解決拓?fù)鋬?yōu)化中常見的中間密度單元和網(wǎng)格依賴性等問題，提高了計(jì)算的精度。(2)拓?fù)鋬?yōu)化過程中以位移可靠度為約束，保證了最優(yōu)結(jié)果是結(jié)構(gòu)在隨機(jī)環(huán)境下的可行解。(3)使用可靠性安全系數(shù)法將隱式可靠度約束轉(zhuǎn)化為顯式的確定性約束，在保證結(jié)構(gòu)可靠性的同時(shí)，將雙層循環(huán)問題轉(zhuǎn)化為了單層循環(huán)問題，大大減小了優(yōu)化的計(jì)算量。(4)基于水平集函數(shù)和可靠性安全系數(shù)法的數(shù)學(xué)模型是合理的，所使用的求解策略是可行且有效的。

6 結(jié)論

研究具有隨機(jī)參數(shù)的平面連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題?？紤]結(jié)構(gòu)部分參數(shù)的隨機(jī)性，借助水平集函數(shù)以及可靠性安全系數(shù)法，建立了滿足位移可靠度約束的平面連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型，并使用基于梯度的移動(dòng)漸近線算法進(jìn)行求解。算例的結(jié)果表明文中所建立的數(shù)學(xué)模型是合理的，使用的求解策略是可行且有效的。通過研究，提高了文獻(xiàn)[11]所述的拓?fù)鋬?yōu)化方法的實(shí)用價(jià)值，考慮了參數(shù)的隨機(jī)性，更貼近工程實(shí)際，同時(shí)，將水平集函數(shù)和可靠性安全系數(shù)法結(jié)合，為進(jìn)行不確定性結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化研究提供了一種可行的新方法。