“一元三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”教學(xué)紀(jì)實(shí)與反思

哈爾濱市第三中學(xué) 李 爽

教學(xué)內(nèi)容：人教A版選擇性必修二“一元三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：

本課題之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了用導(dǎo)數(shù)工具，判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)極值、最值。在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、類比、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想，并以GeoGebra軟件為平臺(tái)，在教師引導(dǎo)下對(duì)一元三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行探索與研究。本課體現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的研究過(guò)程，本著以學(xué)生為主體的教育理念，培養(yǎng)了學(xué)生主動(dòng)探究的意識(shí)，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

教學(xué)目標(biāo)：

1.知識(shí)與技能

（1）通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)掌握一元三次函數(shù)圖象；

（2）掌握一元三次函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)對(duì)性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用；

（3）能用一元三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題。

2.過(guò)程與方法

（1）運(yùn)用信息技術(shù)工具，讓學(xué)生通過(guò)直觀想象，由特殊到一般歸納出一元三次函數(shù)圖象形狀；

（2）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，分析研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀

（1）本節(jié)課發(fā)展了學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)有：直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象。

（2）本節(jié)課培養(yǎng)了學(xué)生實(shí)踐能力，探索精神，感受到科技帶給我們的新成果。

教學(xué)重點(diǎn)：（1）一元三次函數(shù)的圖象。（2）一元三次函數(shù)的性質(zhì)。

教學(xué)難點(diǎn)：一元三次函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷。

教學(xué)過(guò)程：

一、一元三次函數(shù)的解析式

師：同學(xué)們，前面我們學(xué)過(guò)一次函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)，今天我們一起來(lái)探究一元三次函數(shù)的圖像和性質(zhì)。

師：類比一元二次函數(shù)的解析式，你能給出一元三次函數(shù)的解析式嗎？

生：一元三次函數(shù)解析式f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)。

師：強(qiáng)調(diào) a≠0。

二、探究一元三次函數(shù)的圖像

師：高一我們學(xué)習(xí)冪函數(shù)的時(shí)候，學(xué)過(guò)一個(gè)特殊的三次函數(shù)，它是f(x)=x3。

我們知道它是奇函數(shù)且單調(diào)遞增，在黑板右側(cè)畫(huà)出圖像，請(qǐng)同學(xué)們思考一下，給a，b，c，d賦不同的值，三次函數(shù)的圖像形狀也和f(x)=x3圖像的形狀一樣嗎？

生：不一樣。

師：函數(shù)圖像形狀的不同，取決于函數(shù)的重要性質(zhì)單調(diào)性，請(qǐng)同學(xué)們觀察一下，哪個(gè)系數(shù)對(duì)圖象的影響最容易研究啊？

生：d，改變的是圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)。

師：類比二次函數(shù)，我們知道系數(shù)a的正負(fù)影響的是開(kāi)口方向，現(xiàn)在老師利用信息技術(shù)工具，讓系數(shù)b，c，d不動(dòng)，看a取不同值時(shí)三次函數(shù)圖像形狀會(huì)有什么不同？

生：a>0時(shí)，圖像從左下到右上呈上升趨勢(shì)；a<0時(shí)，圖像從左上到右下呈下降趨勢(shì)。

師：現(xiàn)在老師讓a>0，改變系數(shù)c，觀察函數(shù)單調(diào)性有怎樣的變化，函數(shù)圖像形狀有幾種？讓a<0，改變系數(shù)c，函數(shù)單調(diào)性有怎樣的變化，形狀有幾種？

生：a>0函數(shù)圖像有兩種形狀，單調(diào)遞增和減增減趨勢(shì)。a<0函數(shù)圖像有兩種形狀，單調(diào)遞減和減增減趨勢(shì)。

師：只改變系數(shù)b，觀察圖像會(huì)發(fā)生怎樣的變化？

生：形狀不確定，和a，c有關(guān)。

師：通過(guò)以上變化過(guò)程，請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)一下一元三次函數(shù)圖像的大致形狀有幾種？請(qǐng)一位同學(xué)在希沃白板上畫(huà)一下。

生：四種形狀。

師：實(shí)際上我們能看到，函數(shù)圖像形狀的不只由一個(gè)系數(shù)決定，那是否三次函數(shù)圖像的形狀只有這四種呢？靠什么論證呢？

生：利用導(dǎo)數(shù)工具。

師：（板書(shū)求導(dǎo)）導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，那么怎么討論呢？

生：按照系數(shù)a正負(fù)分類。

（a>0時(shí)，按照進(jìn)行討論，老師計(jì)算機(jī)軟件顯示導(dǎo)函數(shù)圖像，導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定了原函數(shù)的單調(diào)性，板書(shū)a>0和a<0兩種情況，按照進(jìn)行討論的六種函數(shù)圖像可以讓學(xué)生畫(huà)a<0的情況。）

三、一元三次函數(shù)的性質(zhì)

師：總結(jié)一下，一元三次函數(shù)圖像的形狀由a和確定。

（一元三次函數(shù)圖像探究完畢，師生總結(jié)一下一元三次函數(shù)圖像的單調(diào)性和極值情況。學(xué)生很輕松回答出，老師在PPT上演示。）

師：函數(shù)零點(diǎn)是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，請(qǐng)同學(xué)們討論一下，一元三次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)都有可能是幾個(gè)呢？（讓學(xué)生小組討論，分類，給3分鐘時(shí)間。）

（教師和學(xué)生一起用信息技術(shù)工具分析圖像，得出三次函數(shù)零點(diǎn)情況。PPT演示。根據(jù)極值點(diǎn)的概念與零點(diǎn)存在性定理，用極值的符號(hào)判斷三次函數(shù)的零點(diǎn)情況，分析二重零點(diǎn)的不同，總結(jié)恰有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)還是極值點(diǎn)。）

師：現(xiàn)在我們利用所學(xué)，一起來(lái)做一道例題。

（給學(xué)生5分鐘時(shí)間。）

生：方法一，按照a的符號(hào)討論，畫(huà)出兩種情況的圖像，選D。

生：方法二，求導(dǎo)，求極值，談?wù)揳的正負(fù)，選D。

生：方法三，利用極大值點(diǎn)二階導(dǎo)小于0，選D。

…………

反思：

本節(jié)課是基于人教2019版新教材選擇性必修2一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的課后題13題，利用計(jì)算機(jī)軟件和導(dǎo)數(shù)工具對(duì)這道拓廣探索題展開(kāi)的探索和研究。

我校數(shù)學(xué)學(xué)科特色是研究如何將數(shù)學(xué)學(xué)科與技術(shù)學(xué)科在內(nèi)容及課程安排上整合起來(lái)，優(yōu)化課程資源，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行探索和發(fā)現(xiàn)。本節(jié)課運(yùn)用了GeoGebra軟件，相比幾何畫(huà)板，GeoGebra操作簡(jiǎn)單，可實(shí)現(xiàn)的功能多。關(guān)于系數(shù)d對(duì)圖像的影響，應(yīng)該保留原函數(shù)圖像，再改變系數(shù)d，直觀效果會(huì)更好。

我校數(shù)學(xué)課程建設(shè)要求每一節(jié)課都要落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。本節(jié)課發(fā)展了學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)有：直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象。運(yùn)用信息技術(shù)工具，讓學(xué)生通過(guò)直觀想象，由特殊到一般歸納出三次函數(shù)圖象形狀，并利用導(dǎo)數(shù)，進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，分析研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

我校課程建設(shè)還要求結(jié)合學(xué)生年齡特點(diǎn)和學(xué)科特征，有機(jī)融入社會(huì)主義核心價(jià)值觀，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化等。本節(jié)課培養(yǎng)了學(xué)生實(shí)踐能力，探索精神及科技帶給我們的新成果。

本節(jié)課課堂容量大，且有一定難度，尤其在數(shù)學(xué)抽象方面體現(xiàn)明顯，但這也正是國(guó)家課程校本化的一個(gè)體現(xiàn)。我校一直進(jìn)行分層次教學(xué)，和我今天一同上課的學(xué)生們展示了他們良好的思維能力，學(xué)習(xí)能力。關(guān)于例題，學(xué)生用三種方法解決，其中用二階導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題的方法雖然快，但不提倡。第三種方法由于時(shí)間關(guān)系沒(méi)有給學(xué)生充分的時(shí)間去闡述，以后還是把時(shí)間交給學(xué)生。