從“螞蟻離巢”問(wèn)題談令人“糊涂”的圖像面積

王 建 曹 鵬 王家勛

(1. 重慶市江津中學(xué),重慶 402260; 2. 重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué),重慶 401320)

1 問(wèn)題的提出

文獻(xiàn)[1-6]研究了如下問(wèn)題:螞蟻離開(kāi)蟻巢沿直線爬行,其速度大小與到蟻巢中心的距離成反比.當(dāng)螞蟻爬到距巢中心的距離L1=1 m的A點(diǎn)時(shí),速度是v1=2 cm/s.螞蟻繼續(xù)爬行到距巢中心的距離L2=2 m的B點(diǎn),試問(wèn):螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)需要多長(zhǎng)的時(shí)間?

這是一道經(jīng)典的速度隨時(shí)間非線性變化的運(yùn)動(dòng)學(xué)習(xí)題,最具代表性的解法是運(yùn)用化曲為直的思想,巧妙地選取橫縱坐標(biāo)構(gòu)建線性函數(shù)表達(dá)式,再通過(guò)計(jì)算線性圖像與坐標(biāo)軸所包圍的面積來(lái)求解變速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.

圖1

圖3

上述分析和求解過(guò)程,疑點(diǎn)頗多,筆者認(rèn)為需要明確以下兩個(gè)問(wèn)題: (1) 圖像與坐標(biāo)軸所圍成的面積如何生成?(2) 因坐標(biāo)軸的含義不同,生成的面積是否具有物理意義?

2 面積的數(shù)理涵義

2.1 定積分與面積

圖4

2.2 圖像面積有物理意義的準(zhǔn)則

圖像面積是否具有物理意義,判據(jù)就是看該面積是否對(duì)應(yīng)某一明確的物理量.具體表述如下:當(dāng)且僅當(dāng)微元面積yi·Δxi(或xi·Δyi)對(duì)應(yīng)某一可加的物理量ΔPi,則圖線與橫軸(或縱軸)包圍面積就表示物理量P.

例如,v-t圖中,微元面積vi·Δti對(duì)應(yīng)可加性的元位移,所以圖線與橫軸包圍面積表示總位移.而q-t圖中的qi·Δti或ti·Δqi以及I-U伏安特性曲線中的Ii·ΔUi、Ui·ΔIi均無(wú)具有可加性的物理量與之對(duì)應(yīng),故兩種圖線與橫軸、縱軸包圍面積都沒(méi)有物理意義.

3 常見(jiàn)錯(cuò)誤的解析

圖5

4 相關(guān)面積的聯(lián)系

4.1 “歪打正著”的緣因

圖7

文獻(xiàn)[2]錯(cuò)誤地把面積SA當(dāng)成時(shí)間為何也得到正確的結(jié)果?任意圖像是否都有此結(jié)論?文獻(xiàn)[4-6]均略有提及,本文進(jìn)一步作圖說(shuō)明.如圖7所示,在正比例函數(shù)圖像的前提下,因矩形被對(duì)角線分為兩個(gè)全等的直角三角形,即SA+SC=SB+SD.又SC=SD,則有SA=SB.但是不過(guò)原點(diǎn)的線性圖像以及非線性圖像,如圖8、9所示,均不能得到上述結(jié)果.文獻(xiàn)[2]之所以“歪打正著”僅是正比例函數(shù)圖像這一特殊情況下的巧合.

圖8

4.2 數(shù)形結(jié)合揭示相關(guān)面積的聯(lián)系

圖10

圖11

綜上所述,圖線與坐標(biāo)軸包圍面積是否有物理意義,歸結(jié)為相應(yīng)的微元面積是否對(duì)應(yīng)明確的可加性物理量.有時(shí)可以通過(guò)面積之間的數(shù)值聯(lián)系去間接求解某物理量,但到底是哪塊面積表示該物理量,理應(yīng)做到不犯糊涂,心中有數(shù),而不應(yīng)該只從數(shù)值結(jié)果上去認(rèn)識(shí)和對(duì)待.