基于改進趨近律滑?？刂频匿摻Y(jié)構(gòu)柔性探傷機器人軌跡跟蹤 ①

艾青林 王國棟 徐巧寧

(浙江工業(yè)大學特種裝備制造與先進加工技術(shù)教育部/浙江省重點實驗室 杭州 310023)

0 引 言

21世紀以來我國的經(jīng)濟高速增長，隨之而來的是各種基礎(chǔ)設(shè)施和高樓大廈拔地而起，其中包含許多復雜的大型鋼結(jié)構(gòu)建筑[1]。然而由于現(xiàn)今的鋼結(jié)構(gòu)建筑超負荷運營，檢測維護不力，再加之這些建筑設(shè)計之初存在的結(jié)構(gòu)缺陷和施工質(zhì)量差等問題，最終事故頻發(fā)，嚴重威脅人們的生命財產(chǎn)安全。因此，加強鋼結(jié)構(gòu)健康檢測、及時進行維修十分重要[2]。

目前鋼結(jié)構(gòu)健康檢測中廣泛采用有線的數(shù)據(jù)采集方法，但是存在布線繁瑣，花費大量人力成本的缺點；使用無線傳感網(wǎng)絡(luò)的建筑結(jié)構(gòu)健康檢測技術(shù)需要解決系統(tǒng)長時間供電問題和信號傳輸可靠性問題。因此現(xiàn)期望使用一種具有自主運動、數(shù)據(jù)采集、無線通訊功能的柔性機器人作為一個智能移動檢測單元[3]，解決目前檢測中存在的檢測盲區(qū)和檢測不全面問題。

由于鋼結(jié)構(gòu)建筑內(nèi)部存在各種內(nèi)外拐角、加強筋、空間異面等復雜結(jié)構(gòu)，檢測機器人需要越過或避開各種障礙，因此本文采用柔性結(jié)構(gòu)機器人進行越障控制。為了使柔性機器人順利避障，首先需要實現(xiàn)機器人軌跡跟蹤[4-5]。與普通移動機器人類似，柔性結(jié)構(gòu)機器人仍屬于一種具有非完整約束的多輸入多輸出(multiple input multiple output，MIMO)非線性系統(tǒng)[6]。但是由于機器人前后車體通過鋼帶連接，帶來了柔性被動約束，給機器人建模和控制帶來了很大的難度。針對傳統(tǒng)的移動機器人軌跡跟蹤問題，文獻[7]提出了一種有限時間跟蹤控制算法，使得閉環(huán)系統(tǒng)具有快速收斂性能，在有限時間內(nèi)跟上期望軌跡，但具有輸出變量抖動大的問題。文獻[8]將基于改進趨近律的滑模控制應(yīng)用于機械臂中，有效地實施了控制，并且削弱了系統(tǒng)的抖振。文獻[9]提出基于粒子濾波的移動機器人控制器，在實現(xiàn)軌跡跟蹤控制的同時提高了運動過程中姿態(tài)的穩(wěn)定性，但是其運算量龐大，實時性差。

柔性機器人在軌跡跟蹤中存在控制模型復雜，跟蹤速度不夠快，軌跡跟蹤精度不足的問題。針對這些問題本文提出了一種基于改進趨近律的滑?？刂品椒ǎ诨？刂浦幸胄滦偷幕Ｃ孚吔?，提高收斂速度和穩(wěn)態(tài)跟蹤精度。由于目前對傳統(tǒng)輪式移動機器人的運動學建模[10]不能夠直接應(yīng)用于此柔性機器人，本文對柔性機器人結(jié)構(gòu)及運動方式進行分析，通過對連接前后車體的柔性鋼帶進行彈性梁的靜力學分析[11-12]，提出一種簡化運動學模型，為機器人運動控制提供基礎(chǔ)?；谠撊嵝詸C器人系統(tǒng)模型，采用反演方法設(shè)計滑模切換函數(shù)[13]，改進了滑模趨近律，并削弱了抖振。在此基礎(chǔ)上針對柔性機器人的軌跡跟蹤問題，設(shè)計了一種基于改進趨近律的滑模控制器。最后，通過仿真驗證了所提方法對柔性機器人控制的有效性和優(yōu)越性。

1 柔性機器人運動分析及建模

如圖1所示，本文針對具有柔性鋼帶結(jié)構(gòu)的探傷機器人進行研究。 具有柔性鋼帶的機器人整體運動學模型非常復雜，難以直接描述并應(yīng)用于控制環(huán)節(jié)。一方面柔性鋼帶使得前后車體可以發(fā)生相對偏轉(zhuǎn)、扭轉(zhuǎn)甚至錯位，另一方面也帶來了更復雜的運動學模型，并且在柔性機器人控制中必須協(xié)調(diào)前后車體運動。因此這里利用前后車體的相對位置與鋼帶的長度變化來簡化運動學模型。

圖1 柔性機器人三維模型

為正確描述鋼帶連接的機器人整體運動學，得到有助于機器人控制的運動學模型，需要給出鋼帶變形帶來的前后車體約束。圖2顯示了機器人在以點I為旋轉(zhuǎn)中心的轉(zhuǎn)向過程中，某一時刻前后車體與鋼帶的位姿和形態(tài)，其中C1與C2分別是前后車體的幾何中心。假設(shè)在該時刻前后車體具有確定的位姿，就能夠基本確定鋼帶前后邊界，于是鋼帶在這個機器人中起到的作用相當于一個梁。因為此鋼帶基本符合橫截面的最大尺度寬度h遠小于長度L(h<

圖2 柔性機器人運動模型

同時，鋼帶的橫截面是一個狹長的矩形，滿足了平面應(yīng)變問題的一個基本假設(shè)，即厚度b與寬度h相比很小。在平面運動中，只研究鋼帶的彎曲變形問題。于是利用歐拉-伯努利梁方程[14]，可以得到鋼帶的撓度與兩端邊界的關(guān)系，并進一步分析得出前后車體位姿的關(guān)系。

圖3是將鋼帶作為簡支梁處理的模型，C1與C2分別對應(yīng)于圖2柔性機器人運動模型中的前后車體的幾何中心。

歐拉-伯努利梁方程表述如下。

(1)

圖3 鋼帶梁模型

如圖3所示鋼帶兩端的偏轉(zhuǎn)角度為ψ，在梁模型所示的坐標系下可以得出其邊界關(guān)系：

(2)

(3)

其中，L是鋼帶的長度，Lf是C1與C2之間的距離。上述得到的鋼帶橫向變形用來計算其兩端的直線距離的縮短，對應(yīng)于C1與C2之間距離的變化dLf，令k=EI，則：

(4)

于是Lf表示為

(5)

為得到速度限制，將Lf對時間求導：

(6)

根據(jù)圖2，得到C1與C2的速度關(guān)系：

(7)

(8)

將ψ=|ψ1|=|ψ2|帶入到式(7)中，并結(jié)合式(8)可以得到每個車體的線速度：

(9)

若柔性機器人車體及鋼帶轉(zhuǎn)向角很小，對鋼帶的撓度變形影響可以忽略，因此可得簡化的速度約束為

(10)

在旋轉(zhuǎn)過程中，I為旋轉(zhuǎn)中心，ro為點O繞旋轉(zhuǎn)中心I的旋轉(zhuǎn)半徑。根據(jù)幾何關(guān)系有：

(11)

同時ro可以由下式給出：

(12)

因此，利用式(11)、(12)可以得到ψ來求解出式(10)的前后車體速度約束。

柔性機器人的每一個獨立的車體都是一個兩輪差速驅(qū)動的移動機器人。每個車體的前進速度vi和偏航角速度wi與車輪轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系可由下式表示[16]：

(13)

式中，rw為車輪半徑，d為左右輪的間距，ωil和ωir分別表示每個車體左右輪的轉(zhuǎn)動角速度，式中i=1, 2 分別代表柔性機器人前后車體。

鋼結(jié)構(gòu)探傷機器人的每個車輪表面都貼有強力的弧形磁鐵，增強了車輪與吸附面間的摩擦，可以假設(shè)輪子與接觸面之間只發(fā)生純滾動而沒有滑動。因此每個機器人車體都滿足非完整性約束：

(14)

柔性機器人每個車體都是關(guān)于中心軸幾何對稱的，假定每個車體的幾何中心與質(zhì)心重合,在這一理想狀況下，結(jié)合普通兩輪差速移動機器人運動學模型得到：

(15)

(16)

其中T是由全局笛卡爾坐標到局部機器人坐標的變換矩陣，具體形式為

(17)

將機器人單個車體的運動學模型式(15)帶入式(16)并結(jié)合式(17)得到車體的誤差微分方程為

(18)

基于前面得到的柔性機器人參考點O和前后車體之間的速度約束式(10)，可以得到前后車體期望線速度vir和期望角速度wir，因此本文研究的軌跡跟蹤控制目標就轉(zhuǎn)變?yōu)閷ふ疫m當?shù)目刂戚斎雟i和wi，通過設(shè)計合理的控制律控制柔性機器人跟蹤期望軌跡。

2 柔性機器人改進滑模控制器設(shè)計

輪式移動機器人屬于多輸入多輸出的高耦合非線性系統(tǒng)，控制結(jié)構(gòu)存在欠驅(qū)動，在軌跡跟蹤控制上如果要應(yīng)用比例積分微分(proportion integral differential,PID)控制等傳統(tǒng)方法[18]，必須先解耦處理，而且這樣的方法精度不高，抵抗不確定干擾的能力差。滑?？刂凭哂性O(shè)計本身與參數(shù)變化及擾動無關(guān)的特點，因而系統(tǒng)響應(yīng)快且魯棒性好，已經(jīng)應(yīng)用于多種非線性系統(tǒng)[19，20]。

柔性機器人不但具有輪式機器人系統(tǒng)固有的特點，而且加入了柔性鋼帶的約束，參數(shù)變化維度更多，是一個更復雜的非線性系統(tǒng)。本文使用滑?？刂品椒▉韺θ嵝詸C器人進行軌跡跟蹤控制。首先依據(jù)建立的運動學模型軌跡跟蹤方程，基于反演設(shè)計方法結(jié)合李雅普諾夫函數(shù)設(shè)計滑?？刂频那袚Q函數(shù)能夠使跟蹤誤差趨于0，然后設(shè)計滑模控制器來實現(xiàn)機器人對參考軌跡的跟蹤。由于一般的滑?？刂圃谮吔Ｃ鏁r會有劇烈的抖振，并且收斂速度較慢，所以設(shè)計了趨近律來抑制抖振，并改善控制品質(zhì)，提高收斂速度。

2.1 設(shè)計滑模面

引理1對于任意x∈R并且|x|<∞，有f(x)=xsin(arctan(x))≥0，當且僅當x=0時等號成立。

證明分以下3種情況討論。

(1) 當x=0時，f(0)=0；

假定柔性機器人的軌跡跟蹤的位置誤差xie=0，定義y方向位置誤差的李雅普諾夫函數(shù)Vy：

(19)

將上式兩邊分別對時間t求導可得：

(20)

假設(shè)，選取虛擬控制量為φie：

φie=-arctan(viryie)

(21)

于是式(20)變?yōu)?/p>

=-yievirsin(arctan(viryie))-wixieyie

(22)

定義滑模切換函數(shù)，其具體形式如下：

(23)

2.2 基于改進趨近律的滑模控制器設(shè)計

傳統(tǒng)的冪次函數(shù)趨近律如下所示：

(24)

其中sgn(·)為符號函數(shù)，定義為

(25)

雖然傳統(tǒng)的冪次趨近律能夠在系統(tǒng)動態(tài)過程中很好地抑制抖振，但是仍存在收斂速度慢的問題。因此在這里使用一種改進的趨近律，其表達式為

(26)

式中，增益參數(shù)α>0；arsinh(·)為反雙曲正弦函數(shù)。在趨近運動階段由于反雙曲正切函數(shù)的值在系統(tǒng)狀態(tài)遠離零點時較大，αarsinh(s)能夠使系統(tǒng)狀態(tài)以較大的速度趨近于滑模面；當系統(tǒng)狀態(tài)接近零點時反雙曲正切函數(shù)的值快速接近于0，αarsinh(s)幾乎不起作用，式(26)退化成冪次趨近律在滑模面附近削弱抖振。因此，改進趨近律可使得系統(tǒng)提高收斂速度，并且在接近滑模面時保證較小的抖振。

滑?？蛇_性的成立是滑動模態(tài)控制的前提，對基于改進趨近律的滑模控制可達性進行驗證：

(27)

結(jié)合式(23)、(26)以及軌跡誤差方程式(18)得到：

(28)

其中ξ=arctan(viryie)，整理上式可以得到柔性機器人的滑?？刂坡桑?/p>

(29)

2.3 穩(wěn)定性證明

為證明上述控制律用于柔性機器人系統(tǒng)時的穩(wěn)定性，定義李雅普諾夫函數(shù)為

(30)

對上式求導可得：

=-ki1(pi1|si1|qi1sgn(si1)si1+ai1arsinh(si1)si1)

-ki2(pi2|si2|qi2sgn(si2)si2+ai2arsinh(si2)si2)

(31)

利用改進趨近律滑模控制的可達性可以得出Vi≤0,則當t→∞時si→0。于是，據(jù)之前的分析，系統(tǒng)的軌跡跟蹤誤差將漸進收斂到0，因此可證明柔性機器人控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

3 仿真實驗

為驗證本文所設(shè)計的控制方法的有效性，在Matlab/Simulink上對該柔性機器人使用該方法進行軌跡跟蹤控制仿真研究。柔性機器人系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型參數(shù)為rw=0.036 m,d=0.137 m,L=0.14 m?；诟倪M趨近律的滑?？刂破鲄?shù)為p11=p21=1.5，p12=p22=1.2，q11=q21=0.8，a11=a21=1.5，a12=a22=1.2，q12=q22=0.8。

3.1 直線軌跡跟蹤

圖4所示為在期望軌跡是直線的情況下，由基于改進趨近律的滑模軌跡跟蹤控制器得到的前后車體速度控制輸入。從圖4中可以看出，系統(tǒng)的控制輸入平滑，有效抑制了抖振。

將基于改進趨近律的滑?？刂破髋c傳統(tǒng)的基于冪次趨近律的滑模控制器進行直線軌跡跟蹤的仿真比較。圖5是使用兩種方法進行柔性機器人軌跡跟蹤得到的軌跡曲線。從圖5中可以看出，兩種方法都能夠使機器人跟蹤期望的直線軌跡，但是對比可以看出，基于改進趨近律的滑模控制方法能夠更快速地跟蹤期望軌跡。

圖4 直線軌跡前后車體速度曲線

圖5 直線軌跡跟蹤曲線

圖6顯示了在基于改進趨近律的滑?？刂葡拢瑱C器人跟蹤直線軌跡位姿誤差的變化。柔性機器人參考點O在x方向的初始誤差為0，并且在軌跡跟蹤過程中x方向的誤差幾乎沒有變化。在y方向的誤差剛開始較大，之后逐漸減小，最終穩(wěn)定在零點附近。這表明基于改進趨近律的滑?？刂颇軌蚴箈、y方向的跟蹤誤差快速收斂，并能保持穩(wěn)定。柔性機器人的偏航角誤差在軌跡跟蹤過程中先快速減小后增大，直到達到一定的超調(diào)后又快速趨向于0，最終穩(wěn)定在零點附近，這是由于柔性機器人的非完整性約束使偏航角誤差無法直接減小到0。

圖6 直線軌跡跟蹤誤差曲線

圖7是兩種滑模控制器作用下，柔性機器人軌跡跟蹤誤差的比較結(jié)果。如圖7(a)所示，當系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)時，在x方向，傳統(tǒng)滑模的跟蹤誤差約為0.5 mm，而改進滑?？梢允垢櫿`差遠小于0.5 mm，說明了基于改進趨近律的滑?？刂品椒ň哂懈叩目刂凭取Ｈ鐖D7(a)、(b)所示，在x與y方向，改進滑?？刂普`差比傳統(tǒng)滑模控制誤差的超調(diào)量小很多。如圖7(b)、(c)所示，對于y方向和偏航角φ誤差，改進滑?？刂普`差比傳統(tǒng)滑?？刂普`差的調(diào)節(jié)時間更短，加快了誤差收斂速度。將機器人的3個位姿誤差變量動態(tài)控制過程中最大的調(diào)節(jié)時間作為機器人位姿達到穩(wěn)態(tài)的時間，從圖7中可以看出，y方向的誤差調(diào)節(jié)時間最大。從圖7(b)中可知，采用傳統(tǒng)滑模控制的機器人在6.89 s左右達到穩(wěn)態(tài)，而改進滑模控制的機器人在5.41 s左右達到穩(wěn)態(tài)，改進滑模控制比傳統(tǒng)滑?？刂七_到穩(wěn)態(tài)的時間縮短了27.78%。

3.2 圓形軌跡跟蹤

圖8是期望軌跡為圓形的情況下，基于改進趨近律的滑模軌跡跟蹤控制器得到的輸入，從圖中可以看出系統(tǒng)的控制輸入平滑，有效抑制了抖振。

基于改進趨近律的滑模控制器與傳統(tǒng)的基于冪次趨近律的滑?？刂破鬟M行圓形軌跡跟蹤仿真比較。圖9是使用兩種方法進行柔性機器人圓形軌跡跟蹤得到的軌跡曲線。從圖9可以看出，基于改進趨近律的滑模控制方法與傳統(tǒng)滑?？刂品椒ň芨櫰谕壽E，但是基于改進趨近律的方法能更快地跟蹤圓形軌跡，具有更好的動態(tài)性能。

(a) x方向誤差比較圖

圖8 圓形軌跡前后車體速度曲線

圖9 圓形軌跡跟蹤曲線

圖10顯示了在基于改進趨近律的滑?？刂葡?，柔性機器人軌跡跟蹤誤差的變化。柔性機器人在x、y方向的誤差由較大的初始誤差快速減小到零點附近，并能保持穩(wěn)定。根據(jù)式(26)可知，在系統(tǒng)狀態(tài)遠離零點時滑模趨近速度較大。因此x、y方向較大的初始誤差能夠快速減小。而柔性機器人的偏航角誤差一開始從初始的零誤差逐漸變大，但經(jīng)過基于改進趨近律的滑模控制器作用后最后能夠回到零點附近。由式(21)可知，虛擬控制量φie與y方向誤差有關(guān)，當y方向誤差收斂后，偏航角誤差也將收斂。

在兩種控制器作用下，柔性機器人圓形軌跡跟蹤誤差變化比較如圖11所示。如圖11(a)、(c)所示，對于x方向和偏航角φ誤差，改進滑?？刂普`差比傳統(tǒng)滑?？刂普`差的調(diào)節(jié)時間更短。在圖11(c)中可以看到，傳統(tǒng)滑模的航向角誤差變化在1 s左右出現(xiàn)了波動，而改進滑模的誤差曲線則比較平滑，說明改進滑模對機器人的位姿控制更加平穩(wěn)。將機器人的3個位姿誤差變量動態(tài)控制過程中最大的調(diào)節(jié)時間作為機器人位姿達到穩(wěn)態(tài)的時間，從圖11中可以看出，偏航角φ的誤差調(diào)節(jié)時間最大。由圖11(c)可知，采用傳統(tǒng)滑?？刂频臋C器人在6.01 s左右達到穩(wěn)態(tài)，而改進滑模控制的機器人在4.59 s左右達到穩(wěn)態(tài)，相比傳統(tǒng)滑模達到穩(wěn)態(tài)的時間縮短了30.43%。

圖10 機器人參考點圓形軌跡跟蹤誤差曲線

從上述結(jié)果可知，本文所提出的基于改進趨近律的滑?？刂品椒梢詫崿F(xiàn)鋼結(jié)構(gòu)柔性探傷機器人的軌跡跟蹤控制，相比于傳統(tǒng)的滑?？刂品椒ǎ櫿`差收斂速度有明顯的提升，跟蹤穩(wěn)態(tài)誤差更小，并且控制過程更平穩(wěn)。

4 結(jié)論與展望

本文針對鋼結(jié)構(gòu)柔性探傷機器人的滑?？刂栖壽E跟蹤問題，進行了如下研究。

(1)針對柔性機器人的前后車體復雜運動特性，分別建立運動學數(shù)學模型，并且通過對運動過程中前后車體的幾何關(guān)系與鋼帶形變的研究，利用歐拉-伯努利梁方程建立了前后車體之間的柔性被動運動約束，最終得到了柔性機器人整體的運動學模型。

(a) x方向誤差比較圖

(2)基于柔性機器人整體的運動學模型，將其轉(zhuǎn)換為全局坐標下的位姿誤差模型，針對柔性機器人的軌跡跟蹤提出了一種基于改進趨近律的滑?？刂品椒?，通過在滑模趨近律中加入反雙曲正弦函數(shù)項，在滿足滑模函數(shù)可達性的同時，加快了滑模控制的收斂速度，并削弱了系統(tǒng)抖振。

(3)基于改進趨近律滑模控制對柔性機器人小車軌跡跟蹤進行了仿真實驗，結(jié)果表明，該控制方法可以使機器人快速、精確地跟蹤參考軌跡，并且具有良好的全局穩(wěn)定性。在直線軌跡跟蹤的情況下改進的趨近律滑?？刂颇軌蛴行У丶涌鞕C器人跟蹤上參考軌跡的速度，穩(wěn)態(tài)誤差收斂時間相比于傳統(tǒng)滑模控制縮短了27%以上。在圓形軌跡跟蹤的情況下，改進的趨近律滑?？刂品椒ㄍ瑯邮箼C器人更快跟蹤上參考軌跡，誤差收斂時間相比于傳統(tǒng)滑模控制縮短了30.43%。同時無論在直線軌跡或是圓形軌跡跟蹤的情況下，改進的趨近律滑模控制方法相比于傳統(tǒng)滑?？刂凭哂懈〉母櫿`差。

在后續(xù)的研究工作中將建立柔性機器人動力學模型，并將其引入到控制系統(tǒng)中，提高機器人跨越空間障礙以及抵抗外部干擾的能力，使控制系統(tǒng)輸出力矩更平滑，動態(tài)魯棒性更好，軌跡跟蹤能力更強。