殊途同歸 繁簡(jiǎn)有別
——五種方法解析全國(guó)卷Ⅱ(理科)第15題

盧會(huì)玉

(甘肅省嘉峪關(guān)市第一中學(xué) 735100)

今年的高考全國(guó)卷整體來說還是一如既往的延續(xù)了平穩(wěn)中創(chuàng)新的風(fēng)格. 有老師和學(xué)生說題目難的主要原因是創(chuàng)新題目較多，思考反射弧較長(zhǎng)導(dǎo)致的. 筆者注意到全國(guó)卷Ⅱ(理科)第15題考查的是復(fù)數(shù)知識(shí)，這相對(duì)其他幾套高考卷對(duì)復(fù)數(shù)的考查，不得不說是一大改變和創(chuàng)新，是在打破一類問題程序化的解答模式，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)遷移的思想. 下面就是筆者對(duì)該題的幾種解答.

解法一設(shè)向量a對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1，向量b對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z2，則

所以a2+2a·b+b2=4，即a·b=-2,

評(píng)析本解法是利用復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為向量問題解決，過程非常簡(jiǎn)潔，但是對(duì)思維要求較高. 學(xué)生一旦能順利地將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，那么問題就迎刃而解.

評(píng)析本解法是利用復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題求解，對(duì)思維要求較高，要求學(xué)生能利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)相等以及平行四邊形法則，發(fā)現(xiàn)所求|z1-z2|即是菱形的另外一條對(duì)角線，從而轉(zhuǎn)化為等腰三角形邊長(zhǎng)的計(jì)算問題.

解法三由|z1|=|z2|=2可設(shè)z1=2(cosα+isinα)，z2=2(cosβ+isinβ)，

又z1-z2=2(cosα-cosβ)+2(sinα-sinβ)i,

評(píng)析本解法是利用復(fù)數(shù)的三角形式解決問題，考查了兩角差的余弦公式，突出對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)整體性的考查，對(duì)思維的要求較高.

又z1-z2=(a-m)+(b-n)i,

評(píng)析本解法是利用傳統(tǒng)的設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式解決問題，對(duì)思維的要求較低，過程中注意運(yùn)算技巧即可，運(yùn)算量較大.

評(píng)析本解法也是利用傳統(tǒng)設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式解決問題，只是引入的變量減少了，其余要求和解法四相同.

2017版的課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)復(fù)數(shù)版塊做了一些調(diào)整，增加了復(fù)數(shù)的三角表示，上述解法中可以看到如果用三角表示法求解，無疑是一種不錯(cuò)的方法. 課程標(biāo)準(zhǔn)中指出，幾何與代數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程的主線，在必修課程與選擇性必修課程中，要突出幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的融合，即通過形與數(shù)的結(jié)合，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)整體性的理解. 這是幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想的重要途徑，也是提高學(xué)生核心素養(yǎng)的最有效的方法.

在復(fù)數(shù)的教學(xué)中，應(yīng)注重對(duì)復(fù)數(shù)的表示及幾何意義的理解，避免繁瑣的計(jì)算與技巧訓(xùn)練. 復(fù)數(shù)作為一類重要的運(yùn)算對(duì)象，通過對(duì)復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生通過方程求解，理解引入復(fù)數(shù)的必要性.