灰色預(yù)測模型在壓載疲勞壽命預(yù)測中的應(yīng)用*

翟亞浩，任瑞冬，任丁丁

(中國飛行試驗研究院 發(fā)動機所，陜西 西安 710089)

0 引 言

壓載疲勞問題在飛機和航空發(fā)動機的關(guān)鍵或重要零部件上比較常見，而目前關(guān)于壓應(yīng)力對疲勞壽命的影響研究及疲勞數(shù)據(jù)很少，而且關(guān)于壓載的疲勞試驗又很難實現(xiàn)。手冊中的S-N曲線或Manson-Coffin公式均用平均載荷比大于或等于零情況下的疲勞試驗獲得的[1-3]，因此這些通過大量疲勞試驗數(shù)據(jù)擬合獲得的估壽公式是否適用于單調(diào)壓載疲勞壽命分析是工程上一直未解決的問題。

灰色系統(tǒng)理論為壓載下的疲勞壽命預(yù)測提供了一種新的思路，它以“小樣本”不確定性系統(tǒng)為研究對象，通過對無規(guī)律的原始數(shù)據(jù)序列進行累加生成，可以弱化隨機擾動因素造成的影響，累加后的數(shù)據(jù)呈指數(shù)增長規(guī)律，然后再進行預(yù)測，這樣能夠較為真實地反映出考核變量隨各影響因素的變化規(guī)律[4]。材料疲勞壽命的影響因素很多，并且某些因素對疲勞壽命的影響是未知或不確定的[5]，正基于此，筆者在只有比較散亂的小樣本壓載疲勞試驗數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，將受眾多因素影響的疲勞現(xiàn)象看作一個灰色系統(tǒng)[6]。首先，利用灰色關(guān)聯(lián)度分析得到了壓載疲勞壽命與各影響因素的關(guān)聯(lián)度，然后建立多維灰色系統(tǒng)預(yù)測模型對7075-T651鋁合金的壓載疲勞壽命進行了擬合和預(yù)測。

1 灰色關(guān)聯(lián)度分析模型的建立

灰色關(guān)聯(lián)是灰色系統(tǒng)的基本概念之一?；疑P(guān)聯(lián)是指事物之間的不確定關(guān)聯(lián)，或系統(tǒng)因子之間，因子對主行為之間的不確定關(guān)聯(lián)[7-8]。

設(shè)參考序列為x0=[x0(1),x0(2),...,x0(n)]，與參考數(shù)據(jù)序列進行比較的數(shù)據(jù)序列為x1,x2,...,xm。其中，x0(k)，xi(k)分別是x0及xk的第k點，其中i=1,2,…,m，k=1,2,…,n。

令q(X0,Xi)為xi對于x0在k點的灰關(guān)聯(lián)度(或叫灰色關(guān)聯(lián)系數(shù))，可記為q0i，k點關(guān)聯(lián)系數(shù)q(x0(k),xi(k))記為q0i(k)。

求灰色關(guān)聯(lián)度的通常步驟為：

(1) 求各序列的均值像得：

i=1,2,…,n

(1)

(2) 求差序列，記為：

Δi(k)=|x0′(k)-xi′(k)|

Δi=(Δi(1),Δi(2),...,Δi(n))

i=1,2,…,n

(2)

(3) 求序列的兩極最大差值與最小差值，記為:

(3)

(4) 計算關(guān)聯(lián)系數(shù)，可以定義以下點關(guān)聯(lián)系數(shù)的計算公式，ξ一般取0.5。

q0i(k)=

ξ∈(0,1)

(4)

(5) 計算關(guān)聯(lián)度

k=1,2,…,n，i=1,2,…,n

(5)

(6) 對關(guān)聯(lián)度進行排序。關(guān)聯(lián)度值越大，表明兩個因素間的關(guān)系越緊密，同步變化度越高。

2 多維灰色系統(tǒng)預(yù)測模型[9]

按照建模變量個數(shù)多少，灰色預(yù)測模型可分為單變量灰色預(yù)測模型和多變量(多維)灰色預(yù)測模型。其中，單變量灰色預(yù)測模型建模過程簡單，建模對象僅為時序數(shù)據(jù)，但它有著很大的局限性，因為其無法反應(yīng)外部環(huán)境因素對系統(tǒng)發(fā)展趨勢的影響。與單變量灰色預(yù)測模型不同，多變量灰色預(yù)測模型是典型的因果預(yù)測模型，建模過程可以將相關(guān)因素對系統(tǒng)特征的影響考慮在內(nèi)，彌補了前者的不足。經(jīng)過國內(nèi)外學者的不斷研究和拓展，多維灰色系統(tǒng)預(yù)測模型在數(shù)據(jù)的模擬和預(yù)測方面已經(jīng)表現(xiàn)出優(yōu)異的性能。

k=2,3,…,m

則稱：

(6)

為OGM(1，N)優(yōu)化模型，簡稱OGM(1，N)模型(Optimizing Grey Model)，式(6)中h1(k-1)、h2分別稱為OGM(1，N)模型的線性修正項及灰色作用量。

與以往的多維灰色系統(tǒng)預(yù)測模型相比，OGM(1，N)模型主要增加了線性修正項h1(k-1)與常數(shù)h2，h1(k-1)能夠反映因變量和自變量之間的線性關(guān)系，h2類似于GM(1,1)模型[10]中的參數(shù)b，反映了自變量數(shù)據(jù)變換關(guān)系。

式(6)中的參數(shù)a、bi、h1、h2均為未知參數(shù)，下面通過定理1進行求解。

(7)

其中：

B=

使用最小二乘法，即可完成對定理1的證明。

式(6)尚且無法直接用于對因變量進行模擬和預(yù)測，需要先構(gòu)建OGM(1，N)的差分模型，如定義2所述。

1)+h2

(8)

為OGM(1，N)的差分模型。

根據(jù)定義2，則可推導(dǎo)因變量的函數(shù)表達式，如定理2所述。

定理2 OGM(1，N)模型如定義2所述，則其時間響應(yīng)式為：

k=2,3,...

(9)

其中：

3 7075-T651鋁合金壓疲勞壽命預(yù)測

圖1 7075-T651鋁合金試件示意圖 (單位：mm)

文獻[11]對由7075-T651鋁合金材料制成的四種類型試件進行了疲勞試驗，其中包括單軸加載犬骨形板狀試件、單軸加載實心圓柱試件、扭轉(zhuǎn)加載實心圓柱試件和軸向拉壓與扭轉(zhuǎn)組合加載的圓管形試件等。其中單軸加載實心圓柱形試件用來進行平均應(yīng)力為較大壓應(yīng)力的試驗，如圖1所示，試驗方式采用應(yīng)力控制加載，利用伸長計測量試件的軸向應(yīng)變，試驗結(jié)果如表1所列。

表1 7075-T651鋁合金疲勞試驗結(jié)果

已有研究表明SWT準則[12]與鋁合金的疲勞試驗有很好的相關(guān)性，文獻[11]根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分析了所測試的單軸試件的SWT能量參數(shù)與疲勞壽命的關(guān)系，結(jié)果表明，該參數(shù)與大多數(shù)單軸加載情況下的試驗結(jié)果有很好的相關(guān)性，但是當加載平均應(yīng)力為比較大的壓應(yīng)力時并且最大應(yīng)力為正應(yīng)力或者接近零時，二者相關(guān)性極差。并且由于SWT參數(shù)假定當最大應(yīng)力為負時，疲勞損傷為零，因此SWT準則也不能用來預(yù)測壓-壓加載下的疲勞失效問題。故本文根據(jù)現(xiàn)有的小樣本試驗數(shù)據(jù)，采用多維灰色系統(tǒng)預(yù)測模型來預(yù)測7075-T651鋁合金試件在較大平均壓應(yīng)力加載下的疲勞壽命。

3.1 灰色相對關(guān)聯(lián)度

根據(jù)關(guān)聯(lián)度的定義可以求出7075-T651鋁合金試件的系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)序列(壓載疲勞試驗壽命)和相關(guān)因素數(shù)據(jù)序列(應(yīng)變幅、應(yīng)力幅、平均應(yīng)力)兩兩因素之間的灰色相對關(guān)聯(lián)度，結(jié)果如表2所列。

表2 兩兩因素間的灰色相對關(guān)聯(lián)度

由表2看出，鋁合金在壓應(yīng)力主導(dǎo)下的疲勞壽命與應(yīng)變幅和應(yīng)力幅的關(guān)聯(lián)度幾乎相同，與平均壽命的關(guān)聯(lián)度稍高一些，為0.724 8。應(yīng)力幅和應(yīng)變幅的關(guān)聯(lián)度較高，達到了0.936 4，這是因為應(yīng)力和應(yīng)變間在彈性范圍內(nèi)存在線性相關(guān)關(guān)系，變化率為壓載彈性模量。關(guān)聯(lián)度未接近0.9而未接近1，表明試件所受最大應(yīng)力已超過壓載屈服強度，材料進入塑性變形，二者不再呈線性相關(guān)關(guān)系，具體涉及到材料的壓載彈性模量和壓載屈服強度研究問題，而材料參數(shù)表中給出的彈性模量和屈服強度通常為通過拉伸試驗測得的結(jié)果，這不在本文研究范圍，故不作深入討論。

3.2 建立7075-T651鋁合金疲勞壽命的OGM(1，N)模型

(1) 計算OGM(1，N)模型參數(shù)。根據(jù)定理2，可計算鋁合金疲勞壽命的OGM(1，N)模型的參數(shù)：

其中，矩陣B、Y如下：

B=

(2) 根據(jù)定理3及參數(shù)μ1、μ2、μ3、μ4，建立7075-T651鋁合金疲勞壽命的OGM(1，N)模型為：

j)+180922.15]k=2,3,…

(10)

通過計算OGM(1，N)模型得到1～12號試件疲勞壽命的模擬值以及相對誤差，并用來預(yù)測13～16號試件的疲勞壽命，并計算相對誤差，結(jié)果如表3所列。并繪制試驗壽命和模擬壽命的散點折線圖，如圖2所示。

圖2 OGM(1，N)模型模擬結(jié)果

表3 7075-T651鋁合金疲勞壽命的試驗值和模擬值對比

從表2得知，利用建立的OGM(1，N)模型對前12個7075-T651鋁合金的壓載疲勞壽命進行模擬，最終結(jié)果和試驗結(jié)果吻合良好，平均相對誤差僅為5.066%。然后在模型中代入應(yīng)變幅、應(yīng)力幅和平均應(yīng)力三個因素，對后4個試件進行了疲勞壽命預(yù)測，結(jié)果顯示，平均相對誤差為9.224%，在工程上能夠接受。其中最后一個試件的相對誤差較大，達到25.831%，通過分析試驗數(shù)據(jù)，原因可能為疲勞壽命試驗存在的分散性。

4 結(jié) 語

基于灰色系統(tǒng)理論的思想，將材料的疲勞現(xiàn)象看作是一個灰色系統(tǒng)，對7075-T651鋁合金的壓載疲勞壽命和與之相關(guān)的應(yīng)變幅、應(yīng)力幅和平均應(yīng)力等影響因素建立起一組相互關(guān)聯(lián)的灰色預(yù)測模型(OGM(1，N)模型)。經(jīng)過驗證，OGM(1，N)模型可以預(yù)測各影響因素間的相互協(xié)調(diào)關(guān)系的變化，并較為準確地擬合和預(yù)測7075-T651鋁合金的壓載疲勞壽命，表明該灰色預(yù)測模型在小樣本、貧信息的基礎(chǔ)上有著很好的工程實用價值，為壓載疲勞壽命的預(yù)測提供了重要的參考作用。