非線性動(dòng)力吸振器式準(zhǔn)零剛度隔振器的研究*

劉 楠，郭雅卓

(1.石家莊鐵道大學(xué)，省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 石家莊 050043;2.河北師范大學(xué)，化學(xué)與材料科學(xué)學(xué)院，河北 石家莊 050016)

0 引 言

近年來，國內(nèi)外學(xué)者也在不斷完善和發(fā)展準(zhǔn)零剛度隔振器，并針對(duì)準(zhǔn)零剛度的各種不足提出了多種辦法進(jìn)行優(yōu)化。彭獻(xiàn)[1]利用連桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)制作了準(zhǔn)零剛度隔振器的負(fù)剛度機(jī)構(gòu)。徐道臨[2]利用五根螺旋彈簧設(shè)計(jì)了一種高頻低動(dòng)隔振器。Wang Zhou[3]提出一種具有兩級(jí)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，并建立了分段非線性動(dòng)力學(xué)模型。Liu Yu[4]在隔振系統(tǒng)中加了輔助系統(tǒng)，降低傳遞率和跳躍現(xiàn)象。宋春芳[5]設(shè)計(jì)了一個(gè)隔振床用碟形彈簧與螺旋彈簧并聯(lián)實(shí)現(xiàn)負(fù)剛度機(jī)構(gòu)。劉德穩(wěn)[6]設(shè)計(jì)一種豎向準(zhǔn)零剛度隔振器運(yùn)用到建筑上，來防止地震波的影響。Han Liu[7]使用電磁非對(duì)稱磁齒結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)了一種電磁隔振器。Liu Zhao[8]研究了庫侖摩擦對(duì)歐拉屈曲梁隔振器的影響。但是，經(jīng)過多年發(fā)展，準(zhǔn)零剛度隔振器存在較大共振峰的問題依然沒有得到有效解決。

筆者對(duì)準(zhǔn)零剛度隔振器進(jìn)行了創(chuàng)新，拉伸彈簧作為準(zhǔn)零剛度隔振器的負(fù)剛度機(jī)構(gòu)，設(shè)計(jì)了一種準(zhǔn)零剛度隔振器，實(shí)現(xiàn)隔絕低頻的效果，但隔振系統(tǒng)存在較大共振峰。在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一個(gè)動(dòng)力吸振器的準(zhǔn)零剛度隔振器，即可有效減小幅頻響應(yīng)曲線峰值，對(duì)低頻激勵(lì)進(jìn)行有效隔絕，又可解決強(qiáng)共振峰問題。通過取長補(bǔ)短，使主系統(tǒng)不產(chǎn)生大的共振峰，在大部分激勵(lì)頻率下也能保持系統(tǒng)的穩(wěn)定。

1 隔振器的靜力學(xué)分析

準(zhǔn)零剛度隔振器由負(fù)剛度機(jī)構(gòu)和正剛度機(jī)構(gòu)組成，如圖1(a)和(b)所示。負(fù)剛度機(jī)構(gòu)由拉伸彈簧4、活塞桿3和缸體2組成，在左側(cè)負(fù)剛度機(jī)構(gòu)中拉伸彈簧4左端和活塞桿3連接，右側(cè)和缸體2連接。拉伸彈簧4在靜平衡位置處的拉伸量δ，剛度為kh。Fμ為負(fù)剛度系統(tǒng)中缸體2與活塞桿3發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的庫侖摩擦力，l為負(fù)剛度機(jī)構(gòu)單側(cè)的長度。正剛度系統(tǒng)由一個(gè)垂向彈簧6、立柱1和基座7構(gòu)成，剛度為k1，阻尼為c1。質(zhì)量塊5的質(zhì)量為m1，在受到沿立柱1方向簡諧力F0cos(ωt)時(shí)，質(zhì)量塊5位移用X1來表示。

圖1 非線性準(zhǔn)零剛度隔振器1.立柱 2.缸體 3.活塞桿 4.拉伸彈簧 5.質(zhì)量塊 6.垂向彈簧 7.基座

在激振力作用下，m1質(zhì)量塊進(jìn)行位移X1，準(zhǔn)零剛度隔振器的豎向恢復(fù)力為:

(1)

(2)

當(dāng)式(2)除以x1時(shí)，可以得到隔振器的無量綱剛度:

(3)

令x1=0，代入式(3)確定隔振器準(zhǔn)零剛度條件:

(4)

當(dāng)滿足系統(tǒng)參數(shù)滿足式(4)時(shí)，隔振系統(tǒng)具有準(zhǔn)零剛度。

由式(2)、(3)可得不同庫侖摩擦fμ、預(yù)緊力δ1和剛度比k下隔振器的恢復(fù)力-位移曲線，如圖2所示。在負(fù)剛度機(jī)構(gòu)作用下，在只改變庫倫摩擦fμ，當(dāng)庫倫摩擦fμ=0時(shí)，隔振系統(tǒng)在x1=0附近，出現(xiàn)系統(tǒng)剛度為零的情況，隨著庫侖摩擦fμ的增大，系統(tǒng)在靜平衡附近的正剛度特性不斷增強(qiáng)，零剛度特性消失。

圖2 在不同庫倫摩擦力條件下無量綱恢復(fù)力和無量綱剛度

從圖3中可以看出，在僅改變預(yù)拉伸長度δ1下，隔振系統(tǒng)的剛度也隨之發(fā)生改變，當(dāng)預(yù)拉伸長度δ1=0.6時(shí)，在靜平衡位置x1=0附近，隔振系統(tǒng)出現(xiàn)剛度為零的情況，當(dāng)負(fù)剛度機(jī)構(gòu)中延長彈簧的預(yù)拉伸長度δ1不斷減小時(shí)，準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的正剛度特性呈增大趨勢(shì)。且從圖3中得到，系統(tǒng)剛度對(duì)預(yù)拉伸長度δ1的變化較敏感。

圖3 在不同預(yù)拉伸長度條件下無量綱恢復(fù)力和無量綱剛度

由圖4可知，只改變隔振系統(tǒng)剛度比k，系統(tǒng)的剛度特性發(fā)生改變，當(dāng)系統(tǒng)剛度比k=0.7時(shí)，在靜平衡位置x1=0附近，隔振系統(tǒng)出現(xiàn)剛度為零的情況，而隨著剛度比k的增大，隔振系統(tǒng)正剛度特性越發(fā)明顯，零剛度特性消失。從各剛度-位移曲線可以得到，不同系統(tǒng)參數(shù)的變化對(duì)隔振系統(tǒng)零剛度特性的影響是不相同的，只有當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)滿足式(4)時(shí)，系統(tǒng)在靜平衡位置表現(xiàn)出準(zhǔn)零剛度特性。

圖4 在不同剛度比條件下無量綱恢復(fù)力和無量綱剛度

使用泰勒展開[9]，將式(2)、(3)展開為:

(5)

(6)

由圖2～4所示，與式(5)、(6)可知，隔振系統(tǒng)無量綱力為奇函數(shù)，無量綱剛度為偶函數(shù)。

圖5給出了泰勒展開與原始表達(dá)式的比較。由式(5)和式(2)得到隔振系統(tǒng)的恢復(fù)力特性圖，如圖5(a)所示。由式(6)和式(3)得到的剛度特性如圖5(b)所示。圖中虛線為泰勒擬合式，實(shí)線為系統(tǒng)無量綱恢復(fù)力和無量綱剛度原式，從圖5可以看出，當(dāng)位移x1較小時(shí)，泰勒展開的結(jié)果與原表達(dá)式一致，因此在小位移x1下，泰勒展開式(5)和(6)能夠近似表示隔振器的準(zhǔn)零剛度特性。

圖5 泰勒式的恢復(fù)力和剛度圖

2 可吸振式隔振器動(dòng)力學(xué)分析

由于準(zhǔn)零剛度隔振器受到大激勵(lì)力時(shí)，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)共振峰，針對(duì)這種情況設(shè)計(jì)一個(gè)動(dòng)力吸振器來減弱隔振系統(tǒng)強(qiáng)共振峰問題，使系統(tǒng)在任何激勵(lì)頻率下都能保持穩(wěn)定[10]。接地吸振器由吸振彈簧8和吸振質(zhì)量塊9組成。由此設(shè)計(jì)了可吸振的準(zhǔn)零剛度隔振器(VIDA)，如圖6所示，k2為吸振器彈簧剛度，c2為吸振器阻尼，k3為吸振器接地彈簧剛度，X1為主質(zhì)量塊在簡諧力F0cos(ωt)激勵(lì)下的響應(yīng)位移，X2為吸振質(zhì)量塊的響應(yīng)位移。

圖6 吸振式準(zhǔn)零剛度隔振器 (8吸振彈簧、9吸振質(zhì)量塊)

對(duì)可吸振式非線性準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)中的質(zhì)量塊施加一個(gè)簡諧力F0cos(ωt)作為激勵(lì)源得：

(7)

對(duì)各個(gè)參量進(jìn)行無量綱化處理，令:

并代入式(7)得系統(tǒng)得運(yùn)動(dòng)微分方程為：

(8)

使用多尺度法[11,12]求解運(yùn)動(dòng)微分方程，且由于阻尼較小，激勵(lì)幅值小，非線性較弱，設(shè)ξ1=O(ε)，γ=O(ε)，vξ2=O(ε)，v2=O(ε)，Ω2=1+εσ，σ=O(1)，f0=O(ε)。

其中，ε為小參數(shù)，σ為調(diào)諧頻率，代入式(8)得:

(9)

研究準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)一階近似解，需要兩個(gè)時(shí)

間尺度，令：

(10)

式中：τ0=τ，τ1=ετ，τ2=ε2τ。

定義偏導(dǎo)數(shù)算子來表示導(dǎo)數(shù)算子：

(11)

將式(10)和式(11)代入式(9)得：

(12)

(13)

(14)

設(shè)式(12)中第一個(gè)方程的解為：

(15)

其中cc為代表前面各項(xiàng)得共軛。

將式(15)代入式(13)可得：

(16)

在吸振隔振系統(tǒng)中，只考慮主頻的影響，因此可得式(16)第一式消除永年項(xiàng)的條件為：

(17)

而式(16)中第二式不存在永年項(xiàng)。

其中式(16)中特解x12和x22分別是：

(18)

將式(17)和(18)代入式(14)得：

(19)

其中：

根據(jù)式(19)中第一式消除永年項(xiàng)的條件為：

B1=0

(20)

式(19)中第二式不存在永年項(xiàng)。

設(shè)復(fù)函數(shù)A1(ετ,ε2τ)為：

(21)

將式(21)代入式(17)和(20)中，將實(shí)部和虛部分離得：

(22)

其中，幅值a和相位Φ為緩變時(shí)間尺度τ1的函數(shù)且為實(shí)函數(shù)。由式(22)得到幅頻響應(yīng)方程為：

(23)

3 可吸振的隔振器線性分析

采用經(jīng)典方法[13-14]，忽略可吸振的隔振系統(tǒng)的非線性項(xiàng)，建立動(dòng)態(tài)方程。

(24)

(25)

根據(jù)式(25)，得到了可吸振的隔振系統(tǒng)在線性條件下的幅頻響應(yīng)公式：

(26)

其中：E1=2ξ2Ωv,E2=v2-Ω2

E3=2ξ1Ωv2-2ξ1Ω3-2ξ2μΩ3v-2ξ2Ω3v+2ξ2Ωv

E4=v2-Ω2-Ω2v2+Ω4-μΩ2v2-4ξ1ξ2Ω2v

4 帶減振器的隔振器參數(shù)分析

由式(23)得到準(zhǔn)零剛度VIDA系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的非線性解析解，由式(26)得到線性解析解。在非線性解析方程中，m1=1 kg，m2=0.1 kg，δ=0.1 m，l=0.2 m，k1=1 000 N/m，kh=800 N/m，f0=0.07，fμ=0，v=0.58，ξ1=0.1，ξ2=0.2，而在線性解析方程中，v=0.85。主要分析系統(tǒng)參數(shù)的影響，包括固有頻率比v、隔振器阻尼比ξ1、地面吸收器的阻尼比ξ2、激勵(lì)幅值f0。

在該系統(tǒng)中，僅增加固有頻率比v就等于增加VIDA系統(tǒng)的剛度k2。如圖7(a)所示，橫軸為無量綱激勵(lì)頻率，縱軸為無量綱響應(yīng)幅值。隨著固有頻率比v的增大，低頻共振段的響應(yīng)幅值a1增大，高頻共振峰的響應(yīng)幅值減小。由于固有頻率比v的增加意味著剛度k2的增加，地吸收器可以吸收更多的能量，低頻諧振峰值增大，說明峰值是由地吸收器引起的。由圖7(a)和(b)可以看出，隨著固有頻率比v的變化，線性和非線性解析解都存在此規(guī)律。

圖7 固有頻率比的影響

由于VIDA隔振系統(tǒng)存在阻尼，因此在幅頻響應(yīng)圖中不存在反共振峰。如圖8(a)和(b)所示，橫軸與縱軸同樣為無量綱，隨著隔振器阻尼比ξ1的增大，響應(yīng)幅值a1的兩個(gè)共振峰值明顯降低；且在圖8(b)中第二個(gè)峰下降比第一個(gè)共振峰，下降更為明顯。不同的是，在圖8(a)中，非線性也明顯減弱。

圖8 隔振器阻尼比的影響

如圖9(a)所示，當(dāng)僅改變吸振器的阻尼比ξ2時(shí)，低頻共振處的響應(yīng)幅值a1增大，而高頻共振處的響應(yīng)幅值a1隨著阻尼比ξ2的增大而減小。同時(shí)，只有共振峰頻率段的幅值a1發(fā)生變化，而其他頻率段的幅值a1幾乎重合。這是非線性和線性解析解明顯的不同之處。如圖9(b)所示，隨著阻尼比ξ2的增大，兩個(gè)共振峰的響應(yīng)振幅a1減小，而兩個(gè)共振峰之間的響應(yīng)振幅a1增大。

圖9 減振器阻尼比的影響

如圖10所示，VIDA系統(tǒng)存在兩個(gè)非線性共振峰。當(dāng)激勵(lì)幅值f0增大時(shí)，系統(tǒng)的非線性度增大，響應(yīng)幅值a1相應(yīng)增大，這是非線性系統(tǒng)特有的，也是線性減振系統(tǒng)最為明顯的區(qū)別。

圖10 激勵(lì)幅值的影響

5 對(duì)比與驗(yàn)證

由于VIDA系統(tǒng)是非線性的，隔振系統(tǒng)具有阻尼，因此不能用固定值理論得到系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)。利用迭代算法和圖7～10中參數(shù)對(duì)幅頻響應(yīng)的影響，得到最優(yōu)參數(shù)為m1=1 kg，m2=0.1 kg，δ=0.1 m，l=0.2 m，k1=1 000 N/m，kh=800 N/m，f0=0.07，fμ=0，v=0.66，ξ1=0.1，ξ2=0.2。在此條件下，將VIDA系統(tǒng)與準(zhǔn)零剛度隔振器進(jìn)行了比較，并將非線性解析解與線性解析解進(jìn)行了比較。

通過式(23)可得到非線性條件下接地吸振器與準(zhǔn)零剛度隔振器幅頻響應(yīng)曲線對(duì)比圖，如圖11(a)所示。VIDA系統(tǒng)的響應(yīng)幅值峰值為a1=0.62，準(zhǔn)零剛度隔振器的響應(yīng)幅值峰值為a1=0.85，與沒有減振器的隔振器相比，響應(yīng)幅值降低了27%。圖11(b)為最優(yōu)參數(shù)下非線性幅值頻率響應(yīng)曲線與線性幅值頻率響應(yīng)曲線的比較，其中線性幅值頻率曲線由式(26)得到。線性響應(yīng)的峰值為a1=0.25，比非線性峰值低60%。因此，在非線性二自由度模型的動(dòng)力分析中，非線性項(xiàng)是不可忽略的。

圖11 最優(yōu)參數(shù)下的比較圖

如圖12(a)所示，低頻共振峰的頻率比為在Ω=0.5處，如圖12(b)所示，高頻共振峰處的頻率比為在Ω=1.1處。數(shù)值解與解析解在兩個(gè)共振峰處的擬合度很高，證明了解析解分析結(jié)果的正確性。

圖12 數(shù)值解驗(yàn)證

6 總 結(jié)

在對(duì)非線性準(zhǔn)零剛度VIDA系統(tǒng)進(jìn)行靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)上，提出了一種新的VIDA系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)低頻隔振也避免強(qiáng)共振，并對(duì)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，并用數(shù)值驗(yàn)證了解析解的正確性。

(1) 通過對(duì)非線性準(zhǔn)零剛度隔振器靜力學(xué)分析，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度與庫侖摩擦、預(yù)緊力和剛度比有關(guān)。只有當(dāng)這三個(gè)系統(tǒng)參數(shù)滿足方程式(4)時(shí)，系統(tǒng)才能獲得準(zhǔn)零剛度。

(2) 所提出的VIDA系統(tǒng)能夠有效地解決強(qiáng)共振問題，實(shí)現(xiàn)低頻隔振。在優(yōu)化參數(shù)下，隔振器的響應(yīng)幅值峰值比準(zhǔn)零剛度隔振器降低了27%。

(3) 將VIDA系統(tǒng)的非線性解析解與線性解析解進(jìn)行了比較。系統(tǒng)參數(shù)對(duì)兩個(gè)解的影響基本相同，但非線性項(xiàng)不可忽略，否則誤差可達(dá)60%。