平方根內(nèi)容教學現(xiàn)狀的理論分析

曲元海，賈宏宇

平方根內(nèi)容在人教版教材中是七年級下冊第六章的內(nèi)容，該部分是基礎內(nèi)容，它對實數(shù)運算及二次根式的學習都非常重要.并且通過這一內(nèi)容的學習，引進了第三對互逆運算即乘方和開方運算.對于這部分內(nèi)容，教材的呈現(xiàn)順序是先介紹算術平方根，然后再接觸平方根.絕大多數(shù)教師在教學時，基本按照教材呈現(xiàn)的知識結(jié)構(gòu)順序進行教學，先講算術平方根，再講平方根.筆者通過與各校（通鋼三中、通鋼二中、通化市二中、通化市五中、通化市外國語學校、通化市十三中、通化市實驗中學等）多位數(shù)學教師交流了解到，很多學生對這個知識點的學習總會出現(xiàn)一些共性的問題，如9的平方根是3；的平方根是這樣的錯誤.教師反反復復地訓練、糾正，但學生反復出現(xiàn)問題.教師也感到不解和困惑.筆者針對這樣的教與學的狀況，從以下幾個方面深入分析原因，并試圖給出改進平方根內(nèi)容教與學的策略.

1 平方根內(nèi)容相關分析

1.1 從教材安排順序分析

教材在處理平方根內(nèi)容時，按照由特殊到一般的順序，即先安排算術平方根的學習，再過渡到平方根內(nèi)容的學習.教材通過一個情境：一塊25 dm2的正方形畫布，它的邊長是多少？來引發(fā)學生的思考.［1］教材之所以這樣做，是考慮學生熟悉平方運算，再結(jié)合正方形面積與邊長的關系，學生容易解決這個問題.同時，考慮實際問題往往是正數(shù)的情況，這跟算術平方根非常吻合，接著過渡到一些實際問題：讓學生直接寫出一些正數(shù)，它的平方是1，，，等.由此給出一個正數(shù)a的算術平方根，并表示為，然后過渡到一個數(shù)的平方根.這樣做的好處是從特殊到一般，似乎符合學生思維的特點，也符合認知的一般規(guī)律.從學生學習的角度，按照概念學習類型屬于上位學習，這種學習關鍵是歸納出下位概念的共同特征.但從另一個角度看，學生的學習有先入為主的傾向，先學習的內(nèi)容會對后面內(nèi)容的學習產(chǎn)生影響，心理學稱之為首因效應.［2］因此，先學習算術平方根，尤其是反復強化一個正數(shù)的平方的問題，這樣勢必會對學習一個數(shù)的平方根產(chǎn)生不利影響，況且在引進負數(shù)擴充數(shù)系的過程中，學生同化負數(shù)的知識結(jié)構(gòu)還不是很穩(wěn)定，更會使算術平方根和平方根的內(nèi)容學習混淆，尤其是對一個正數(shù)的平方根是兩個互為相反數(shù)的數(shù)，易與算術平方根產(chǎn)生一定的認知沖突.

1.2 從運算的角度分析

學生在小學就已經(jīng)學習了“加與減”“乘與除”是互逆運算，它們之間都可以相互轉(zhuǎn)化，即減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)；除以一個數(shù)等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)，并且運算結(jié)果都是唯一的，學生對此非常熟悉.乘方是特殊的乘法，學生理解起來也比較輕松，但開方運算即求平方根運算是乘方的逆運算，且結(jié)果有幾種情況，尤其是正數(shù)的平方根有兩個結(jié)果，這與學生以前遇到的運算結(jié)果唯一的情況有所不同，引起了學生認識上的沖突.如果不采取可行的方法勢必造成理解上的偏差.負數(shù)沒有平方根，即負數(shù)不能進行開平方運算，這種情況也與學生過去學習的運算有所不同.因為過去的加減乘除運算都可進行（零不能作除數(shù)除外），現(xiàn)在出現(xiàn)了負數(shù)不能進行開方運算，因此從運算的角度來看，學生學習這個內(nèi)容存在一定的難度.

1.3 從符號表示角度分析

眾所周知，數(shù)學教學語言包括三種：自然語言、圖形語言、符號語言，數(shù)學的符號語言是數(shù)學的一個重要的特點，它具有簡潔、形象的特性，不僅如此，它本身就具有特殊的意義，還可以參與運算和推理等.在平方根這個內(nèi)容中，引入了±a表示非負數(shù)a的平方根.這種表示的內(nèi)涵可以從幾個方面理解：一是正數(shù)的平方根有兩個數(shù)，且這兩個數(shù)互為相反數(shù)；二是它可以看作是一種形式上的表達，這也是數(shù)學的特點；三是可以進行運算，這一點學生有時會出錯，原因是理解不全面.從這幾個方面看，學生往往理解不到位，有一定難度.這個內(nèi)容掌握不好也會與后面的二次根式內(nèi)容脫節(jié)，不能建立知識之間的聯(lián)系，學生的認知結(jié)構(gòu)就不十分清晰.

2 平方根內(nèi)容教學建議

根據(jù)筆者對平方根內(nèi)容的教學順序、運算系統(tǒng)、符號引入等分析，認為對這部分內(nèi)容的教學應該按如下次序進行：

2.1 從平方根內(nèi)容入手，算術平方根看作是它的一部分

筆者根據(jù)以上的分析和學生的實際情況認為，先進行平方根內(nèi)容的教學，然后再進行算術平方根教學.這樣處理有以下理由：奧蘇貝爾說過：“如果讓我用一句話來概括教育教學的理論，那就是學生知道了什么，我便以此來進行教學”［3］學生前面已經(jīng)學習了有理數(shù)的四則運算和乘方的概念，學生對平方的概念非常熟悉，也清楚一個負數(shù)的平方是正數(shù)的道理.也就是說學生有學習平方根的知識儲備，對(±3)2=9，這樣的事實，認識比較深刻.因此，通過這樣引入便于學生對其逆問題的理解；另一個原因是先學習了平方根后，再學習算術平方根降低了學習的難度，因為算術平方根是平方根的一個部分.從學習心理學角度講這種學習屬于下位學習，學生比較容易接受.由以上的分析來看，從先進行平方根的教學，然后再進行算術平方根的教學要好于目前教材上的呈現(xiàn)順序的教學.

2.2 通過討論理解平方根的三種情況

人們常說：“Tell me，I will forget；Show me，I may remember；But involve me，I will under?stand”.課程標準也強調(diào)以學生為主體，學習方式多樣化，尤其是自主探索和合作交流是非常有效的學習方式.真理越辯越明，通過適當?shù)挠懻?，讓學生理解正數(shù)的平方根有兩個，且互為相反數(shù)；零的平方根是0；負數(shù)沒平方根.這三種情況可以通過提問，激發(fā)學生的思考.同時也要讓學生學會如何思考這個問題，核心是回到定義上，關鍵是平方運算.數(shù)學教學要始終抓住一根重要的紅線那就是數(shù)學思想方法，它是數(shù)學的靈魂，這里教師要抓住時機，讓學生感受數(shù)學中的分類思想，體會數(shù)學的嚴謹性，更好地在數(shù)學學習過程中提升思維能力，涵養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng).

2.3 適時引入符號表示

在數(shù)學發(fā)展的過程中，數(shù)學符號作用非常大，但在引入符號的過程中必須把握好時機，讓學生理解好它所代表的意義.字母代數(shù)經(jīng)歷了文辭代數(shù)、縮寫代數(shù)、符號代數(shù)三個階段［4］引進字母也要充分考慮學生的認知情況，使其能真正地懂得符號所代表的實際意義，并會用符號進行推理和表達.在引入±a表示非負數(shù)平方根的過程中要緊扣定義，明確它表達的意義，且要在練習中讓學生表述，并在文字和符號之間熟練地轉(zhuǎn)換.還要與算術平方根聯(lián)系起來，形成一個關于平方根的知識體系.同時要捎帶介紹根號的由來.簡要介紹，歷史上很多人都曾給出過平方根的符號表示，但隨著歲月的流逝都沒站住腳，最后法國數(shù)學家笛卡爾在魯多爾夫和斯蒂文的基礎上，創(chuàng)造性地提出了現(xiàn)在的根號表示，得到廣泛地認同，并一直沿用至今.通過簡單介紹讓學生感受數(shù)學的每一步發(fā)展都凝結(jié)了許多人辛勤的汗水，也能讓學生體會數(shù)學文化的魅力，改變學生對數(shù)學的一些負面印象，真正理解數(shù)學是有血有肉的有著廣闊創(chuàng)造空間的一門學科，從而提振學好數(shù)學的信心和勇氣.

2.4 通過實際問題辨析平方根和算術平方根

數(shù)學大家嚴士健曾說過：“數(shù)學教學不能掐頭去尾燒中段.”他還說：“應該從廣泛得多的角度來向中學生介紹數(shù)學思想、發(fā)生規(guī)律、背景.簡單地說，就是要講來龍去脈.數(shù)學教學要充分展示數(shù)學知識的背景，形成發(fā)展的過程，以及有哪些應用，充分挖掘?qū)嵺`性.”[5]如何引入這個概念，教師要下功夫創(chuàng)設好情境，講清背景，充分重視概念引入和形成過程.平方根這一內(nèi)容在引入概念后，要不斷通過訓練來加深對概念的理解，同時要通過一些應用問題來探究其應用價值.結(jié)合實際問題，學生能夠分辨什么時候應用的是平方根，何時應用算術平方根，從而在應用中進一步加深了對知識地掌握.

3 結(jié)語

總之，這一內(nèi)容的教學要根據(jù)學生的認知規(guī)律，讓學生清楚知識的發(fā)生、發(fā)展和應用，始終貫穿著用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界的主線，才能使學生得到良好的數(shù)學教育.