空時分?jǐn)?shù)階simplified modified Camassa-Holm方程的新精確解

黃 春

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院教師教育系，四川遂寧629000）

分?jǐn)?shù)階偏微分方程是整數(shù)階微分方程的推廣，它能更準(zhǔn)確地描述現(xiàn)實(shí)中的物理現(xiàn)象，并能夠深刻反映物體內(nèi)在性質(zhì)。分?jǐn)?shù)階偏微分方程在金融學(xué)、通信、生物學(xué)、流體力學(xué)等眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，因此研究分?jǐn)?shù)階偏微分方程的性質(zhì)以及解的情況具有重要的意義。

1 構(gòu)建分?jǐn)?shù)階偏微分方程精確解

構(gòu)建分?jǐn)?shù)階偏微分方程精確解的方法主要包括：(G′/G)-展開法［1-2］、指數(shù)函數(shù)法［3-4］、Riccati函數(shù)展開法［5-6］、首次積分法［7-10］等。

考慮如下空時分?jǐn)?shù)階simplified modified Camassa-Holm方程［11-12］：

其中：0＜α＜1,p,q為實(shí)參數(shù)，是修正的Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)［13］。修正的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)由下式定義：

其中 Γ (·) 為Gamma函數(shù)，定義為：

修正的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有如下性質(zhì)：

Camassa-Holm方程是完全可積系統(tǒng)，具有哈密頓結(jié)構(gòu)和無窮多守恒律，是一類非常奇特和重要的孤立波方程，該模型具有廣泛的應(yīng)用背景。整數(shù)階simplified modified Camassa-Holm 方程的精確解可以用指數(shù)函數(shù)法［14］、(G′/G)-展開法［15］等求解。文獻(xiàn)［11-12］分別通過Tanh函數(shù)展開法和直接代數(shù)方法得到空時分?jǐn)?shù)階simplified modified Camassa-Holm 方程的一些精確解。本文擬用Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與首次積分法相結(jié)合，求解空時分?jǐn)?shù)階simplified modified Camassa-Holm方程的新精確解。

2 方法簡述

定理2.1(除法定理)［16］假設(shè)P(w,z)，Q(w,z)是復(fù)數(shù)域C(w,z)上的多項(xiàng)式，并且P(w,z)在C(w,z)上是不可約的。如果Q(w,z)包含P(w,z)的全部零點(diǎn)，那么在復(fù)數(shù)域C(w,z)上存在一個多項(xiàng)式G(w,z)使得

下面是首次積分法求解分?jǐn)?shù)階偏微分方程的主要步驟.考慮如下分?jǐn)?shù)階偏微分方程：

步驟1 作復(fù)變換

這里k,r為常數(shù)。

將（9）式代入方程（8）中，方程（8）轉(zhuǎn)化為只含變量ξ的常微分方程：

步驟 2 引入兩個新的獨(dú)立變量X(ξ) =u(ξ) ,Y(ξ)=u'(ξ),則方程(10)等價(jià)于一階常微分方程組

步驟3 設(shè)(11)式的首次積分形式為：

這里ai(X)(i=0,1,2, … ,m)是實(shí)數(shù)域上的待定多項(xiàng)式。由除法定理，存在實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式g(X)，h(X)，使得

由（13）式可以確定多項(xiàng)式g(X)，h(X)，進(jìn)而求出Q(X,Y)。

步驟4 將X(ξ) =u(ξ) ,Y(ξ)=u'(ξ)代入（12）式，解之即可得方程（8）的精確解。

3 運(yùn)用與結(jié)果

對方程（1）作復(fù)變換，方程（1）轉(zhuǎn)化為常微分方程：

將方程（14）兩邊同時積分一次，取積分常數(shù)為零得：

令X(ξ) =u(ξ) ,Y(ξ)=u'(ξ),則方程（15）等價(jià)于

由首次積分法，假定X(ξ)和Y(ξ)方程（16）的非平凡解，則方程（16）的首次積分形式為

其中ai(X)(i=0,1,2...,m)關(guān)于X(ξ)的多 項(xiàng)式且a m(X) ≠ 0.由除法定理，存在復(fù)數(shù)域上的多項(xiàng)式g(X) +h(X)Y(ξ)，使得

僅考慮（18）式中的兩種情況，即假定m=1和m=2.

情形1 當(dāng)m=1 時，則有

將（19）式代入（18）式后比較等式兩邊Yi(i=0,1) 的系數(shù)得

因ai(X)(i=0,1) 是關(guān)于X(ξ)的多項(xiàng)式，由（22）式可知a1(X)必是一個常數(shù)且h(X)=0.為運(yùn)算簡便，不妨取a1(X)=1. 通過平衡（21）式中g(shù)(X)和a0(X)的次數(shù)，可得deg[g(X)]=1 ，deg[a0(X)]=2. 假設(shè)g(X)=A1X+B0，且A1≠0.則有

其中A0為積分常數(shù)。

將a0(X),a1(X),g(X)代入（20）式并比較Xi(ξ)對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)可以得到

從而（16）式有下面的首次積分：

將X(ξ) =u(ξ) ,Y(ξ)=u'(ξ),代入（25）式有

方程（26）是著名的Riccati 方程，即V'(ξ)=α0+α1V(ξ)+α2V2(ξ)，其中α0,α1,α2是常數(shù)，α2≠0，Riccati方程有以下解：

(ⅰ)如果Δ=α21-4α0α2＞0，則

(ⅱ)如果Δ=α21-4α0α2＜0，則

其中ξ0是任意常數(shù)，ε=±1.由(26)式的系數(shù)關(guān)系可得：

(ⅲ)當(dāng)pq＜0,r=pk時，方程（1）有如下形式的精確解：

情形2 當(dāng)m=2 時，即

將（36）式代入（18）式比較等式兩邊Yi(i=0,1,2) 的系數(shù)可得

因ai(X)(i=0,1,2) 是關(guān)于X(ξ)的多項(xiàng)式，由（37）式可知a2(X)必為一個常數(shù)且h(X)=0.為運(yùn)算簡便，不妨取a2(X)=1.平衡（38）式中a1(X)和g(X)的次數(shù)，得到 deg[g(X)]=1 ，deg[a0(X)]=2.因此假定g(X)=A1X+B0，A1≠0.a1(X)=A1X2+B0X+A0，這 里A1,B0,A0是常數(shù)。將a1(X)和g(X)代入（39）式

將上式積分一次可得

這里的d為積分常數(shù)。

將a0(X)，a1(X)及g(X)代入（40）式并比較Xi(ξ)的對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)得到

因此可得

聯(lián)立（25）和（46）式，運(yùn)算可知m=1與m=2的情況相同。為了更直觀地理解這些解，借助Maple軟件得到部分解的圖像如圖1-4所示。

圖1 當(dāng)p=1, k=1,r=2,q=3, ε=1,ξ 0=1,α=時，u 1(ξ)的三維圖

圖2 當(dāng)p=1, k=1,r=2,q=3,ε=-1,ξ 0=-1,α=時，u 3(ξ)的三維圖

圖3 當(dāng)p=2,k=2, r=1,q=3,ξ 0=1,α=時，u 7(ξ)的三維圖

圖4 當(dāng)p=2,k=2, r=1,q=3,ξ 0=1,α=時，u 9(ξ)的三維圖

4 結(jié)論

本文借助Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)結(jié)合首次積分法構(gòu)建空時分?jǐn)?shù)階simplified modified Camassa-Holm 方程的新精確解，其中u1,2(ξ) 、u3,4(ξ)為孤立波解，u7,8(ξ) 、u9,10()ξ為周期波解，u5,6(ξ) 、u11,12()ξ為有理函數(shù)解，豐富了其精確解解系。這也說明首次積分法簡潔、高效，可應(yīng)用于求解其他分?jǐn)?shù)階偏微分方程的精確解。