善借方程優(yōu)勢 巧建模型思想
——以“分數(shù)除法解決問題”為例談逆向思維問題教學

■山東省平陰縣實驗學校 董鶯歌

在小學階段，利用所學知識解決實際問題常需要逆向思維，歷年來是學生學習的重點和難點。尤其是六年級上冊中利用分數(shù)除法解決問題，數(shù)量關(guān)系抽象復雜，題型變化多樣，這是比、百分數(shù)等許多后續(xù)知識的學習基礎(chǔ)。筆者認為要突破這個教學難點，就要善借方程順向思維優(yōu)勢，通過構(gòu)建模型思想，改善學生的學習方式與思維品質(zhì)，提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)，為將來數(shù)學學習、工作和生活奠定堅實基礎(chǔ)。

一、把脈學情，定位建模方向

小學一至四年級學生一直采用算術(shù)法解決問題，當出現(xiàn)方程以后，由于受思維定式影響，又因用方程需要寫設句，利用等式的基本性質(zhì)解方程過程略顯煩瑣，所以學生并沒有深刻體會用方程解決問題的優(yōu)越性。到了六年級上冊，需要解決“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)”的實際問題時，雖然倡導學生運用方程法去解決，但在解方程和檢驗這兩個重要步驟中，學生不可避免地發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，即：已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)，也就是已知兩個數(shù)的積和其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)，這完全可以直接用除法解答。學生對此感到興奮不已，原因是書寫字數(shù)少，并樂此不疲地運用。但是，由于需要逆向思維，出錯率還是不容小覷的，因此，教師需要引導學生構(gòu)建方程法解決逆向思維問題模型思想。

二、依標施教，建構(gòu)模型思想

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出：“模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑”。但是模型思想的形成不可能一蹴而就，需要教師依據(jù)課程標準，通過創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學生探索問題的需要，讓學生通過觀察、實驗、分析、綜合、歸納、概括等過程，獲得對問題的認識、理解和解決的同時，也獲得對數(shù)學思想方法的認識與感悟。這需要教師在教學中循序漸進逐步滲透，引導學生主動感悟，只有經(jīng)歷問題解決的過程，能體會到數(shù)學思想的作用，才能理解數(shù)學思想的精髓。

三、巧借方程，注重有效建模

利用方程解決分數(shù)除法實際問題恰好是一個重要的教學契機，可以幫助學生構(gòu)建用方程解決問題的模型思想，并觸類旁通解決更多逆向思維問題。下面就以“分數(shù)除法解決問題”為例，談談我在借助方程優(yōu)勢，引導學生構(gòu)建模型思想的幾點做法。

（一）厘清關(guān)系，體驗方程優(yōu)勢

分數(shù)除法與乘法關(guān)系密切，方程法是結(jié)合分數(shù)乘法的意義去尋找等量關(guān)系，讓未知數(shù)參與列式，兩者的解答思路是一致的。因此在教學中，教師要先引導學生復習相關(guān)的分數(shù)乘法解決問題，再引入新課，使學生感受用方程法解決問題的優(yōu)越性。比如教學第38頁例5：“小明的體重是35千克，他的體重比爸爸的體重輕815，小明爸爸的體重是多少千克？”，先出示與之有關(guān)的分數(shù)乘法題目，然后改編為例題，著重引導學生對“小明的體重比爸爸的體重輕815”進行分析與理解，使學生發(fā)現(xiàn)兩題雖然已知條件和問題有所不同，但單位“1”是相同的，數(shù)量關(guān)系也是相同的，可以根據(jù)它列出方程，大大降低思維難度，讓用方程解決逆向思維問題的模型思想在學生心里生根發(fā)芽。

（二）數(shù)形結(jié)合，助力方程建模

數(shù)學家華羅庚先生說：“數(shù)無形時不直觀，形無數(shù)時難入微?！苯處煶浞掷镁€段圖這一有力工具，通過數(shù)與形的一一對應，為學生分析、理解等量關(guān)系提供清晰的直觀支持，助力用方程解決問題模型思想的構(gòu)建。如在剛才例5教學中，教師引導學生正確畫線段圖，雖然表示單位“1”的量（爸爸的體重）是未知的，也要先用線段表示出來，并把它平均分成15份，然后用另一條線段表示其中的7份（也就是小明的體重），并把條件和問題標注在線段圖上，這樣將數(shù)量關(guān)系清晰直觀地呈現(xiàn)出來，再引導學生觀察單位“1”、815和小明的體重三者之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合確定等量關(guān)系，從而輕松、正確地列出方程來解答。同時，在平時練習中注重培養(yǎng)學生不懂就畫圖的良好習慣，防止機械套用格式，逐漸使方程解決逆向思維問題的模型思想深入人心。

（三）加強對比，感受方程魅力

在教學中，還要更加關(guān)注學生對算術(shù)法和方程法的選擇偏好，明確不同算法的優(yōu)劣，在潛移默化中讓用方程解決逆向思維問題成為一種首選策略，發(fā)自內(nèi)心地領(lǐng)悟方程魅力。例如：“大象每小時最快能跑35千米，比獵豹速度的12少20千米，獵豹每小時最快能跑多少千米？”如果用算術(shù)法解答的話，學生不太容易找到“獵豹速度的12”所對應的數(shù)量，而且對“少20千米”這一信息不知如何處理，經(jīng)常有學生列錯算式為：35÷12-20或( 35-20)÷12，如果教師引導學生正確畫出線段圖進行分析、理解，找準等量關(guān)系，利用方程解決的話不易出錯，對方程順向思維優(yōu)勢體驗更深入。這樣，學生就可以順水推舟運用到解決更多逆向思維的題目中。

（四）掃清障礙，內(nèi)化模型思想

義務教育數(shù)學課程標準(2011年版）提出：“創(chuàng)造性地使用教材，積極開發(fā)、利用各種教學資源，為學生提供豐富多彩的學習素材；關(guān)注學生的個體差異，有效地實施有差異的教學，使每個學生都得到充分的發(fā)展?！彼?，在教學中適當創(chuàng)設情景，合理增加具有挑戰(zhàn)性的題目，提高學生用方程的積極性。如：“有一糧倉，運走54噸糧食以后，余下的糧食的比原來質(zhì)量的34少6噸，這個糧倉原有糧食多少噸？”，積累了一定學習經(jīng)驗的學生很容易找出等量關(guān)系，并設這個糧倉原有糧食x噸，輕而易舉列出如下方程：“x-54=34x-6”，但由于方程兩邊都有未知數(shù)和已知數(shù)，如何正確解這樣的方程成了“攔路虎”。這時教師要及時指導，幫學生掃清利用方程解決問題的障礙，使利用方程解決問題的優(yōu)越性發(fā)揮得淋漓盡致，并鼓勵學生利用方程去“一網(wǎng)打盡”逆向思維問題，真正將模型思想內(nèi)化于心。

總之，教師要認真解讀課程標準與教材，充分把脈學情，抓住分數(shù)除法解決問題這一有利教學時機，借助方程順向思維優(yōu)勢，不斷提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，為終身學習積蓄力量。