追問數(shù)學(xué)概念的前世今生提高教學(xué)設(shè)計(jì)價(jià)值

邱瑩

四川省成都市武侯區(qū)教育科學(xué)發(fā)展研究院，四川成都 610041

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，也是多種新授課型中最難于把握的課型之一。概念的建立不能僅停留在熟記背誦概念的層面上，學(xué)生學(xué)習(xí)一個(gè)概念一般要經(jīng)歷感知、建構(gòu)、理解、內(nèi)化的過程，最終才能形成概念[1]。在《分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)》一課教學(xué)設(shè)計(jì)過程中，筆者感受到了來自數(shù)學(xué)概念課的層層拷問和沖擊，對(duì)概念課的教學(xué)設(shè)計(jì)也有了一些新的感悟。因此筆者通過以下幾個(gè)步驟的實(shí)施來充實(shí)對(duì)《分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)》這個(gè)教學(xué)內(nèi)容的理解。

1 厘清概念，了解數(shù)學(xué)文化

在進(jìn)行概念課教學(xué)設(shè)計(jì)前，最好先查閱資料，以便對(duì)概念能有更深入完整的認(rèn)識(shí)。了解概念的內(nèi)涵及外延，以便在教學(xué)過程中抓準(zhǔn)概念本身，厘清概念的內(nèi)涵和外延，才能在教學(xué)過程中豐富概念的內(nèi)涵，建構(gòu)概念的外延。

1.1 分?jǐn)?shù)的意義

分?jǐn)?shù)主要表達(dá)了整體與部分之間的關(guān)系，其意義可以從4個(gè)方面來理解和建構(gòu)（如圖）[2]。

1.2 分?jǐn)?shù)的起源

分?jǐn)?shù)一詞來自拉丁文的"frangere"，意義是指分開，通常用來描述一個(gè)被分開的全體之部分。分?jǐn)?shù)的發(fā)明最初即是為了因應(yīng)各種測(cè)量上的需要[2]，在三千多年前的古埃及，為了在不能分得整數(shù)的情況下，發(fā)明了分?jǐn)?shù)，由于符號(hào)的限制，古埃及的分?jǐn)?shù)只有這樣的分子為1的分?jǐn)?shù)，也就是說一開始人類發(fā)明的就是平均分后的一個(gè)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)——分?jǐn)?shù)單位。如果需要表示，則會(huì)寫成的形式。因此分?jǐn)?shù)在測(cè)量上的意義也是分?jǐn)?shù)意義的一個(gè)重要體現(xiàn)方面，在認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)單位時(shí)，應(yīng)該有所體現(xiàn)，北師大版的教材也是從小紙條測(cè)量數(shù)學(xué)書，不夠測(cè)，需要找到更小的標(biāo)準(zhǔn)，來引出分?jǐn)?shù)單位的，這一點(diǎn)和分?jǐn)?shù)的起源、分?jǐn)?shù)單位的產(chǎn)生是契合的。

1.3 分?jǐn)?shù)與小數(shù)

既然分?jǐn)?shù)和小數(shù)能互化，有了小數(shù)為什么還要發(fā)明分?jǐn)?shù)呢？原因有二：一方面分?jǐn)?shù)出現(xiàn)的時(shí)間比小數(shù)早，小數(shù)的雛形是公元三世紀(jì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉輝為了解決一個(gè)數(shù)學(xué)難題時(shí)提出的微數(shù)，而正式提出小數(shù)的名稱已經(jīng)是公元十三世紀(jì)了，因此雖然北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的安排是先學(xué)習(xí)小數(shù)再學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，但是實(shí)際上確實(shí)是分?jǐn)?shù)先產(chǎn)生，小數(shù)后產(chǎn)生。教材的安排也有它的道理，小數(shù)的運(yùn)用在生活中更加常見，生活經(jīng)驗(yàn)?zāi)苷蜻w移到小數(shù)學(xué)習(xí)；且小數(shù)的位值、數(shù)位、計(jì)數(shù)單位都可以完全參照整數(shù)來學(xué)習(xí)，因此教材安排先學(xué)習(xí)小數(shù)。另一方面，分?jǐn)?shù)出了可以表示一個(gè)數(shù)量，還可以表示整體與部分之間的關(guān)系，還可以表示除法的過程，也能表示運(yùn)算結(jié)果，分?jǐn)?shù)與小數(shù)相比內(nèi)涵更加豐富，具有多重意義，并且分?jǐn)?shù)的數(shù)域更加寬廣。

2 學(xué)段縱向?qū)Ρ?/h2>

分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)是小學(xué)階段數(shù)的認(rèn)識(shí)中的一個(gè)重要內(nèi)容。小學(xué)階段對(duì)20以內(nèi)、100以內(nèi)、萬以內(nèi)、及億以內(nèi)的整數(shù)進(jìn)行了認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)級(jí)的拓展。而負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)，作為表達(dá)相反意義的量，實(shí)現(xiàn)了數(shù)軸自右向左地反方向擴(kuò)張。小數(shù)、分?jǐn)?shù)及百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)則是由“整”到“不整”，實(shí)現(xiàn)了由宏觀向微觀的數(shù)域的拓展。作為后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)運(yùn)算、分?jǐn)?shù)小數(shù)互化、解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題、百分?jǐn)?shù)、比等相關(guān)知識(shí)的重要基礎(chǔ)，也是初中對(duì)實(shí)數(shù)、有理數(shù)認(rèn)識(shí)的重要基礎(chǔ)，厘清分?jǐn)?shù)的概念顯得尤為重要?！斗?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)》，其中這個(gè)“再”字，意指三年級(jí)已在感性上初步認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)。對(duì)比三年級(jí)和五年級(jí)的教材發(fā)現(xiàn)：

2.1 單位“1”發(fā)生了變化

三年級(jí)時(shí)認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)各部分的名稱和分?jǐn)?shù)的讀寫法，也初步了解了“整體”是一個(gè)物體，或多個(gè)物體的分?jǐn)?shù)。五年級(jí)則對(duì)單位“1”進(jìn)行了進(jìn)一步的豐富，一個(gè)物體（可以補(bǔ)充一條線段或計(jì)量單位）、一組物體、幾組物體都可以合起來看作一個(gè)整體，數(shù)的清的物體、數(shù)不清的物體、甚至未知個(gè)數(shù)的物體，都可一看作一個(gè)整體，成為單位“1”。

2.2 分?jǐn)?shù)的定義發(fā)生了改變

2.3 分?jǐn)?shù)表達(dá)了整體與部分之間的關(guān)系

三年級(jí)已經(jīng)對(duì)分?jǐn)?shù)整體與部分之間的關(guān)系有了感性上的認(rèn)識(shí)，但一般停留在分?jǐn)?shù)表象上的認(rèn)識(shí)，也就是單純從數(shù)量上考慮，也就是整體是幾，分母就是幾，部分量是幾，分子就是幾。也有孩子能夠達(dá)到理解份數(shù)的層面，五年級(jí)的再認(rèn)識(shí)則從數(shù)量上升到了份數(shù)的考慮，也就是整體是幾份分母就是幾，部分量是幾份分子就是幾，而更多地內(nèi)涵則是指向了分子分母之間的關(guān)系。

3 著眼于學(xué)生知識(shí)的起點(diǎn)

學(xué)生在三年級(jí)時(shí)已學(xué)過分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)，會(huì)比簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)的大小比較，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的同分母加減法計(jì)算，并解決實(shí)際問題。學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)到底該學(xué)習(xí)什么，又怎樣激發(fā)孩子的興趣和對(duì)知識(shí)本源的追求呢？帶著問題，筆者進(jìn)行了關(guān)于分?jǐn)?shù)的一次調(diào)查問卷。為了保證數(shù)據(jù)的真實(shí)性，能反映現(xiàn)實(shí)問題，對(duì)還未學(xué)習(xí)《分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)》一課的五年級(jí)學(xué)生做了無準(zhǔn)備調(diào)查（學(xué)生不知情，未提前查閱資料或復(fù)習(xí)），時(shí)隔1年有余，孩子的回答也是很具分析的價(jià)值。

調(diào)查對(duì)象：五年級(jí)49名學(xué)生，整班包括各個(gè)層次的學(xué)生

調(diào)查方式：無準(zhǔn)備調(diào)查

調(diào)查結(jié)果分析：

問題1：關(guān)于分?jǐn)?shù)你已經(jīng)知道了什么？

有53.06%的孩子印象最深刻的是分子分母分?jǐn)?shù)線等分?jǐn)?shù)的表象，對(duì)于分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)的其他知識(shí)孩子能回憶起來的就不多了。但是可喜的是也有24.49%的孩子在對(duì)分?jǐn)?shù)的意義做積極的思考：分子分母表示的是什么，分?jǐn)?shù)的作用，分?jǐn)?shù)可以表示數(shù)量，證明孩子在初步學(xué)習(xí)的時(shí)候都在對(duì)分?jǐn)?shù)的意義做有益地嘗試。另一方面提及平均分的孩子非常地少，只占了8.16%，分?jǐn)?shù)是建立在等分的基礎(chǔ)上的，沒有平均分，何談分?jǐn)?shù)？本以為孩子會(huì)對(duì)平均分認(rèn)識(shí)深刻，可事實(shí)并非如此，因此在復(fù)習(xí)舊知的時(shí)候，需要特別提談一下平均分，突出平均分的重要性。

問題2：關(guān)于分?jǐn)?shù)你還想知道了什么？

回答主要涉及直接發(fā)問分?jǐn)?shù)的意義是什么分子分母分?jǐn)?shù)線表示什么分?jǐn)?shù)的由來是什么，為什么叫分?jǐn)?shù)假分?jǐn)?shù)人數(shù)3 3 2 7百分比6.12%6.12%4.08%14.29%

答案組成如下：看到了孩子這么多稀奇古怪，又充滿思考的問題，突然覺得一些我們的預(yù)設(shè)，真是主觀臆斷，上課不也應(yīng)該由孩子的實(shí)際需求出發(fā)，去用自己的認(rèn)識(shí)碰撞敲打他們的認(rèn)知嗎。

在受訪學(xué)生中，只有6.12%的學(xué)生明確提及平均分。而有意思的是有55.10%的孩子選擇了以4個(gè)相同的物體作為單位“1”，借助它天然平均分的屬性，來界定平均分?？磥碓谌昙?jí)的學(xué)習(xí)中等分觀念確實(shí)有建立的，但覆蓋面積還不夠廣，且無法明確表達(dá)出來，所以孩子就只能借助其他途徑來表達(dá)。

有62.22%的學(xué)生可以正確完成，并說明理由。33.33%的學(xué)生是完成錯(cuò)誤?？磥砗⒆訉?duì)數(shù)量的認(rèn)識(shí)遠(yuǎn)大于對(duì)份數(shù)的認(rèn)識(shí)，并且對(duì)分子分母表達(dá)的意義不是很明確。那么我們?cè)诮虒W(xué)過程中就應(yīng)該關(guān)注分?jǐn)?shù)表示整體與部分之間的關(guān)系，以及分子和分母表達(dá)的含義。

4 教學(xué)中遇到實(shí)際的困難

在學(xué)習(xí)過程中，我們發(fā)現(xiàn)，由于有了前知的鋪墊，孩子要抽象出分?jǐn)?shù)的意義那句話是不太難的，但是能概括出這句話，就能理解分?jǐn)?shù)的意義嗎？比如分?jǐn)?shù)的概念，表述為“其中的一份或幾份”，那么在理解為什么會(huì)出現(xiàn)假分?jǐn)?shù)時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)問題：明明是拿單位“1”來分的，分?jǐn)?shù)怎么可能比單位1還大呢？如果借鑒人教版教材改成“表示這樣的1份或幾份”，就能從文字上規(guī)避這個(gè)尷尬問題的發(fā)生。但學(xué)生對(duì)先分后取的困惑依然是存在的，因此在教學(xué)時(shí)要落實(shí)分?jǐn)?shù)是表示整體與部分之間的關(guān)系。

五、關(guān)于整節(jié)課的結(jié)構(gòu)安排

一般講授概念課時(shí)，教師都喜歡摳字眼，將每一個(gè)詞語摳清楚了，再連接成了一個(gè)完整的概念（如左圖）。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)方式缺乏對(duì)概念的整體建構(gòu)。

為了對(duì)概念深刻理解及靈活運(yùn)用，筆者將整節(jié)課的結(jié)構(gòu)安排做了一個(gè)調(diào)整（如右圖）：首先基于學(xué)生的感性認(rèn)知不斷累積，抽象出分?jǐn)?shù)的概念，再通過教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)置來回扣分?jǐn)?shù)的意義，體會(huì)分?jǐn)?shù)表示整體與部分間的關(guān)系。

5 結(jié)語

通過這次深度研讀教材和分析學(xué)生的經(jīng)歷，看待問題的深度廣度都發(fā)生了變化。希望為今后的研究提供有效的研究途徑，為做概念教學(xué)課提供一個(gè)具有實(shí)操性的研究范式。堅(jiān)持追問數(shù)學(xué)概念的前世今生，一定提升教學(xué)設(shè)計(jì)的價(jià)值。