基于SADRC的四旋翼姿態(tài)解耦控制及穩(wěn)定性分析

萬(wàn)慧，齊曉慧，李杰

（陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū) 無(wú)人機(jī)工程系，石家莊050003）

四旋翼具有可垂直起降、定點(diǎn)懸停、對(duì)起飛著陸場(chǎng)地要求低等優(yōu)勢(shì)，在民用和軍事領(lǐng)域都有廣闊的應(yīng)用前景，近年來(lái)逐漸成為航空領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一［1］。目前，對(duì)于四旋翼的研究主要集中在四旋翼的位姿控制［2-3］、航跡規(guī)劃［4］及編隊(duì)、協(xié)同控制［5-7］等方面。

良好的姿態(tài)控制系統(tǒng)是四旋翼實(shí)現(xiàn)各項(xiàng)功能的前提，而四旋翼本身為欠驅(qū)動(dòng)、強(qiáng)耦合系統(tǒng)，控制難度大，國(guó)內(nèi)外研究人員針對(duì)該問(wèn)題也進(jìn)行了很多探索和嘗試。Bouabdallah團(tuán)隊(duì)以小型四旋翼為研究對(duì)象，分別設(shè)計(jì)了基于PID、線性二次型調(diào)節(jié)器、反步法及滑?？刂频淖藨B(tài)控制系統(tǒng)［8-9］，并對(duì)部分控制方法的控制性能進(jìn)行了比較；Nicol等［10］將魯棒自適應(yīng)控制方法應(yīng)用于四旋翼姿態(tài)控制中；蔣回蓉［11］對(duì)基于反饋線性化方法的四旋翼姿態(tài)控制進(jìn)行了研究；張靜等［12］對(duì)將模糊控制應(yīng)用于四旋翼姿態(tài)控制中進(jìn)行了嘗試。然而，大多數(shù)現(xiàn)代控制方法，如反步法、反饋線性化及線性二次型調(diào)節(jié)器等，雖然具有相對(duì)完善的設(shè)計(jì)方法，但是存在對(duì)模型精度要求高、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、運(yùn)算量大等問(wèn)題；滑?？刂剖秋w行控制中應(yīng)用較多的控制方法，對(duì)參數(shù)攝動(dòng)具有較好的魯棒性，但是該控制結(jié)構(gòu)本身存在抖振問(wèn)題，當(dāng)系統(tǒng)不確定性較大時(shí)，容易造成控制輸入飽和；自適應(yīng)控制雖然有較好的魯棒性，但是設(shè)計(jì)復(fù)雜，系統(tǒng)穩(wěn)定性不易保證；模糊控制雖然在仿真中取得了較好的效果，但是運(yùn)算量大，使該方法的工程實(shí)現(xiàn)存在困難。正因?yàn)楝F(xiàn)代控制方法存在的諸多問(wèn)題，PID控制仍是現(xiàn)有無(wú)人機(jī)產(chǎn)品應(yīng)用最為廣泛的控制器，該方法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，參數(shù)易于整定，且不依賴精確模型，但是該方法的魯棒性和抗干擾性并不理想。

自抗擾控制（Active Disturbance Rejection Control，ADRC）技術(shù)繼承了PID控制的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)吸收借鑒了現(xiàn)代控制理論的部分思想，具有較強(qiáng)的工程實(shí)用性，在處理多變量、強(qiáng)耦合系統(tǒng)的控制問(wèn)題上具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)［13］。目前，已有團(tuán)隊(duì)將非線性自抗擾控制（Nonlinear Active Disturbance Rejection Control，NLADRC）和線性自抗擾控制（Linear Active Disturbance Rejection Control，LADRC）應(yīng)用于四旋翼的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，在所設(shè)試驗(yàn)條件下也取得了較為滿意的控制結(jié)果［14-16］。但是所設(shè)試驗(yàn)條件較為簡(jiǎn)單，而四旋翼實(shí)際的工作環(huán)境更為復(fù)雜，且NLADRC結(jié)構(gòu)復(fù)雜，參數(shù)整定和穩(wěn)定性分析困難，而LADRC對(duì)初始狀態(tài)誤差敏感，這些問(wèn)題限制了自抗擾控制技術(shù)在四旋翼飛行控制中的進(jìn)一步應(yīng)用。

筆者團(tuán)隊(duì)在定量對(duì)比分析了線性／非線性自抗擾控制各自的特點(diǎn)基礎(chǔ)上，提出了綜合兩者優(yōu)點(diǎn)的線性／非線性切換自抗擾控制（SADRC）方法。目前，已經(jīng)完成了針對(duì)單入單出（Single-Input Single-Output，SISO）被控對(duì)象基于該方法的控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析，并通過(guò)算例仿真的方式對(duì)該方法的抗干擾能力和跟蹤精度進(jìn)行了初步驗(yàn)證，顯示了其在工程領(lǐng)域應(yīng)用的潛力［17-18］。

本文針對(duì)四旋翼姿態(tài)控制系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了基于SADRC的姿態(tài)解耦控制器，并提出了基于Lyapunov函數(shù)的對(duì)該解耦控制系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析的方法。仿真結(jié)果表明，所提方法具有良好的抗擾性和對(duì)參數(shù)攝動(dòng)的魯棒性，在工作環(huán)境相對(duì)復(fù)雜的情況下較LADRC和NLADRC更有優(yōu)勢(shì)。

1 四旋翼姿態(tài)模型

研究用的四旋翼平臺(tái)如圖1所示。該四旋翼無(wú)人機(jī)本體運(yùn)動(dòng)原理同“十”字型飛行方式的四旋翼無(wú)人機(jī)的運(yùn)動(dòng)原理，通過(guò)控制螺旋槳的轉(zhuǎn)速實(shí)現(xiàn)四旋翼無(wú)人機(jī)三軸的姿態(tài)角的變化。

圖1 四旋翼平臺(tái)Fig.1 Quadrotor aircraft platform

式中：φ、θ、ψ分別為飛行器的俯仰角、滾轉(zhuǎn)角、偏航角；l為四旋翼的臂長(zhǎng)；Vi（i＝f，b，l，r）分別為“前、后、左、右”4個(gè)電機(jī)的電壓；Kf為電機(jī)電壓與升力間的系數(shù)；Kt為電機(jī)電壓與轉(zhuǎn)矩之間的系數(shù)；qi（i＝f，b，l，r）分別為“前、后、左、右”4個(gè)旋翼的角速度；Kafi（i＝x，y，z）分別表示x，y，z三軸的空氣阻力系數(shù)；Ji（i＝p，r，y）分別為機(jī)體繞俯仰軸、滾轉(zhuǎn)軸、偏航軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Jrz為旋翼轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

引入虛擬控制量Ui（i＝1，2，3），并將各通道間的動(dòng)態(tài)耦合部分視為系統(tǒng)的內(nèi)部擾動(dòng)，同時(shí)考慮各通道中可能存在的外部擾動(dòng)wi（i＝1，2，3），設(shè)η＝［φ θ ψ］T，ω＝˙η，則式（1）可以進(jìn)一步整理為

由式（2）可以看出，若設(shè)計(jì)的控制器可將各通道的“總擾動(dòng)”進(jìn)行較好的跟蹤和補(bǔ)償，則各通道可變?yōu)榇?lián)積分形式，實(shí)現(xiàn)多耦合系統(tǒng)的解耦控制。

2 姿態(tài)解耦控制方法

2.1 SADRC方法

鑒于線性控制律在實(shí)際應(yīng)用方面的優(yōu)點(diǎn)，本文采用的SADRC方法實(shí)際上是在LADRC框架下，進(jìn)行線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（Linear Extended State Observer，LESO）和非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（Nonlinear Extended State Observer，NLESO）之間的切換［13］，系統(tǒng)控制律仍采用線性控制律，其具體結(jié)構(gòu)如下：

式（3）為線性控制律，用于補(bǔ)償殘差，提高控制系統(tǒng)性能，ki（i＝1，2，…，n）為控制器增益。式（4）為切換擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（Switch in nonlinear-linear Extended State Observer，SESO），用于跟蹤和補(bǔ)償系統(tǒng)的“總擾動(dòng)”。

式（4）中，u和y分別對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的控制輸入和輸出；u0為控制分量；vi（i＝1，2，…，n）為系統(tǒng)參考輸入各狀態(tài)的估計(jì)值；zi（i＝1，2，…，n）為系統(tǒng)各狀態(tài)的估計(jì)值；zn＋1為對(duì)系統(tǒng)總擾動(dòng)的估計(jì)；b為系統(tǒng)參數(shù)，設(shè)已知關(guān)于b的部分信息b0，并假定b0≈b；β0i（i＝1，2，…，n＋1）為SESO中NLESO的增益系數(shù)，并假設(shè)SESO中LESO的增益β0iL（i＝1，2，…，n＋1）是其NLESO增益β0i（i＝1，2，…，n＋1）的λi（i＝1，2，…，n＋1）倍（對(duì)NLESO的增益β0i（i＝1，2，…，n＋1）進(jìn)行整定，可從“帶寬法”角度出發(fā)，具體方法在文獻(xiàn)［14］中已經(jīng)給出，這里不再贅述），λi（i＝1，2，…，n＋1）為常數(shù)；則切換函數(shù)fsi（e）（i＝1，2，…，n＋1）具體可表示為

LESO與NLESO的切換步驟具體如下：

步驟1 如果已知系統(tǒng)的初始狀態(tài)誤差，則為避免LADRC控制器的“峰值”現(xiàn)象，在系統(tǒng)的過(guò)渡時(shí)間內(nèi)均采用NLESO；如果初始狀態(tài)誤差未知，則跳過(guò)步驟1，直接轉(zhuǎn)到步驟2。

步驟2 根據(jù)狀態(tài)誤差e大小，控制器在LESO和NLESO間切換。具體方法為：將線性段區(qū)間長(zhǎng)度δs與誤差e的關(guān)系作為切換策略依據(jù)，預(yù)先設(shè)定δs（其具體值的確定將在后續(xù)參數(shù)整定中說(shuō)明），當(dāng)e＜δs時(shí)，采用NLESO估計(jì)系統(tǒng)的“總擾動(dòng)”；反之，則采用LESO估計(jì)系統(tǒng)的“總擾動(dòng)”。這里，δs為L(zhǎng)ESO與ESO估計(jì)性能的臨界值，當(dāng)e＜δs時(shí)，ESO的估計(jì)性能優(yōu)于LESO，反之，則LESO相比ESO具有更好的估計(jì)性能。

上述即為SESO控制器的切換策略，其流程如圖2所示。

圖2 SADRC切換策略Fig.2 SADRC switch scheme

針對(duì)δs的確定主要有實(shí)驗(yàn)法和理論分析法2種。實(shí)驗(yàn)法的主要思想為：將SADRC應(yīng)用于實(shí)際的被控對(duì)象或仿真環(huán)境下對(duì)象的模型，并施加一個(gè)較大的擾動(dòng)，然后給定δs一個(gè)初值，重復(fù)調(diào)整δs直 到 在 該 δs下，SADRC 中 LADRC 和NLADRC性能均達(dá)到最優(yōu)，則此時(shí)的δs即為切換策略的臨界點(diǎn)。

2.2 基于SADRC的四旋翼姿態(tài)解耦控制

結(jié)合被控對(duì)象實(shí)際情況，做出以下假設(shè)：

假設(shè)1 系統(tǒng)參考輸入及其一、二階導(dǎo)數(shù)有界。

式中：AH＝A－BK。則控制增益Kη、Kω的選取應(yīng)使矩陣AH滿足Hurwitz條件。在此條件下，總擾動(dòng)Fdis被SESO估計(jì)并補(bǔ)償，可證明系統(tǒng)式（13）全局漸進(jìn)穩(wěn)定。

3 穩(wěn)定性分析

3.1 觀測(cè)器誤差動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

3.2 閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)以3-DOF四旋翼平臺(tái)為被控對(duì)象進(jìn)行姿態(tài)控制數(shù)字仿真實(shí)驗(yàn)，設(shè)計(jì)基于SADRC的姿態(tài)解耦控制器，并對(duì)該方法的抗擾性和魯棒性與基于LADRC和NLADRC的控制器控制性能進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。系統(tǒng)參數(shù)為：l＝0.197 m，Kf＝0.118 8 N／V，Kt＝0.0036 N·m／V，Kafx＝Kafy＝0.008 N·m／rad／s，Kafz＝0.009 N·m／rad／s，Jp＝Jr＝0.052 2 kg·m2，Jy＝0.11 kg·m2，Jrz＝1.91×10－6kg·m2。

將φ、θ、ψ視作系統(tǒng)的一通道、二通道、三通道，則設(shè)計(jì)的LADRC、NLADRC及SADRC控制器相關(guān)參數(shù)選擇如表1所示。

表1 LADRC、NLADRC、SADRC控制器參數(shù)選擇Tab1e 1 Parameter pr eferences of LADRC，NLADRC，SADRC

在基于SADRC的四旋翼姿態(tài)控制器設(shè)計(jì) 中，SESO的增益矩陣L可表示為

式 中：βφ0i、βθ0i、βψ0i分 別 為 對(duì) 應(yīng) 通 道 SESO 中NLSEO的增益；λφ0i、λθ0i、λψ0i分別表 示對(duì)應(yīng)通道SESO 中 LESO 的 增 益 為 對(duì) 應(yīng) 通 道 SESO 中NLSEO的增益的倍數(shù)。

根據(jù)式（7），λφ0i、λθ0i、λψ0i（i＝1，2，3）的取值與e的大小有關(guān)。為考察e對(duì)L的影響，以λφ0i為例，分別做出λφ01、λφ02、λφ03隨e大小變化的曲線，如圖3所示。

圖3 λφ01、λφ02、λφ03隨e變化的曲線Fig.3 Curves ofλφ0i（i＝1，2，3）changing with e

4.1 抗擾性實(shí)驗(yàn)

設(shè)置系統(tǒng)3個(gè)通道的初始值為φ（0）＝0°，θ（0）＝0°，ψ（0）＝0°，各通道跟蹤均為幅值為3°階躍信號(hào)，仿真時(shí)間50 s。其中，φ、θ通道分別存在z1φ＝0.04°，z1θ＝0.4°的初始狀態(tài)誤差，在t＝25 s時(shí)，分別對(duì)各通道輸出端施加幅值為0.04°、0.6°、1°，持續(xù)時(shí)間3 s的干擾信號(hào)，對(duì)信號(hào)的跟蹤效果及實(shí)際控制量曲線分別如圖4、圖5所示。

圖4 四旋翼φ、θ、ψ通道跟蹤和抗擾效果Fig.4 Tracking and anti-disturbance performance for quadrotor ofφ、θ、ψchannel

圖5 四旋翼實(shí)際控制輸入曲線Fig.5 Curves of real control input for quadrotor

由圖4、圖5可以得到以下結(jié)論：①3種控制方法均可實(shí)現(xiàn)對(duì)四旋翼姿態(tài)控制系統(tǒng)的解耦控制，且由于虛擬轉(zhuǎn)換矩陣的存在，使得本文所提姿態(tài)解耦控制方法在輸入輸出個(gè)數(shù)不相等的情況下仍然適用；②LADRC控制器對(duì)初始狀態(tài)誤差較為敏感，當(dāng)被控對(duì)象存在初始狀態(tài)誤差時(shí)，LADRC可能產(chǎn)生“峰化”現(xiàn)象，使控制性能降低，而NLADRC和SADRC幾乎不受初始狀態(tài)誤差的影響；③當(dāng)被控對(duì)象受小擾動(dòng)干擾時(shí)（本文對(duì)擾動(dòng)大小的判斷主要根據(jù)擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)輸出的影響進(jìn)行定義，本文中定義當(dāng)系統(tǒng)受擾后瞬時(shí)最大輸出超過(guò)期望輸出的5%及以上時(shí)，所受擾動(dòng)為大干擾，小于5%則為小干擾），LADRC、NLADRC和SADRC的控制性能相差不大，這是因?yàn)楸疚闹?種控制器的觀測(cè)器參數(shù)選擇均可對(duì)系統(tǒng)所受小擾動(dòng)進(jìn)行快速地估計(jì)和補(bǔ)償，LADRC和SADRC的控制性能要優(yōu)于NLADRC，這是因?yàn)樵诖笳`差條件下，LESO 的增益大于NLESO，LESO可更加快速地對(duì)所受擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償。綜合而言，相對(duì)LADRC和NLADRC，SADRC控制器可適應(yīng)更為復(fù)雜的擾動(dòng)情況，具有良好的抗擾性能。

4.2 魯棒性實(shí)驗(yàn)

設(shè)置三通道初始值φ（0）＝0°，θ（0）＝0°，ψ（0）＝0°，且均不存在初始狀態(tài)誤差，在t＝0 s，各通道跟蹤均為幅值為3°的階躍信號(hào)，仿真時(shí)間50 s。每次仿真前，對(duì)模型參數(shù)隨機(jī)施加±10%的變化，采用誤差絕對(duì)值積分（Integrated Absolute Error，IAE）準(zhǔn)則和能量消耗對(duì)控制系統(tǒng)魯棒性進(jìn)行評(píng)價(jià)，其中系統(tǒng)的IAE值為各通道誤差絕對(duì)值積分之和，系統(tǒng)的能量消耗則用各通道控制輸入絕對(duì)值積分（Integrated Absolute Control Input，IACI）之和進(jìn)行表示，每次仿真記錄各控制器的IAE值、IACI值、超調(diào)量σ、受擾動(dòng)后的恢復(fù)時(shí)間tr。在以下3種仿真條件下，各重復(fù)仿真200次，得到每次各控制器IAE值與σ的關(guān)系、IACI值與tr的關(guān)系，如圖6所示，仿真條件如下：

仿真條件1 各通道均不存在干擾信號(hào)。

仿真條件2 在t＝25 s時(shí)，分別對(duì)各通道施加幅值為0.001°的干擾信號(hào)，持續(xù)至仿真結(jié)束。

仿真條件3 在t＝25 s時(shí)，分別對(duì)各通道施加幅值為1°的干擾信號(hào)，持續(xù)至仿真結(jié)束。

由圖6可以得到如下結(jié)論：①?gòu)狞c(diǎn)的離散程度看，在存在參數(shù)攝動(dòng)的情況下，3種控制方法均具有良好的魯棒性和抗擾性；②在小擾動(dòng)條件下，3種控制方法的IAE無(wú)明顯差別，進(jìn)一步證明了本文中3種控制器的觀測(cè)器參數(shù)選擇均可對(duì)系統(tǒng)所受小擾動(dòng)進(jìn)行快速地估計(jì)和補(bǔ)償，但是非線性機(jī)制使得NLADRC和SADRC在小擾動(dòng)條件下恢復(fù)速度及能量消耗上較LADRC更低；③在大擾動(dòng)條件下，LADRC和SADRC在IAE及受擾后的恢復(fù)速度方面更有優(yōu)勢(shì)，這是因?yàn)長(zhǎng)ESO的觀測(cè)器增益較大，可對(duì)大擾動(dòng)實(shí)現(xiàn)快速地估計(jì)和補(bǔ)償，但是NLADRC在能量消耗方面有明顯優(yōu)勢(shì)。

圖6 參數(shù)攝動(dòng)情況下3種控制方法的魯棒性性能Fig.6 Robustness performance for the three controlled quadrotor system

5 結(jié) 論

1）本文對(duì)四旋翼姿態(tài)控制進(jìn)行研究，設(shè)計(jì)了基于線性／非線性切換自抗擾控制的四旋翼姿態(tài)解耦控制器。

2）將切換自抗擾控制方法應(yīng)用于多入多出被控對(duì)象，拓展了該方法的適用范圍，并針對(duì)基于SADRC的多入多出控制系統(tǒng)提出了一種基于Lyapunov函數(shù)，借助計(jì)算機(jī)解算，便于工程應(yīng)用的穩(wěn)定性分析方法，同時(shí)為控制器參數(shù)選擇提供參考。

3）線性自抗擾控制器、非線性自抗擾控制器及切換自抗擾控制器均具有良好的抗擾性和魯棒性，其中切換自抗擾控制器在所受擾動(dòng)較為復(fù)雜，如擾動(dòng)大小不確定或者擾動(dòng)幅值存在較大波動(dòng)的情況下更有優(yōu)勢(shì)。具體采用何種控制器，可結(jié)合具體被控對(duì)象、工作環(huán)境及控制需求決定。

本文所提方法雖然結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，便于應(yīng)用，但是理論上不夠嚴(yán)謹(jǐn)，后續(xù)將進(jìn)一步對(duì)穩(wěn)定性分析方法進(jìn)行研究，對(duì)被控系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性給出更為嚴(yán)格的證明。