向量在二面角等相關(guān)問(wèn)題中的應(yīng)用

潘朝毅，馬玉雯

（成都師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，成都 611130）

同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)教材[1]將兩平面的夾角θ 定義為兩平面的法線向量n1與n2所夾的銳角（或直角），. 但在立體幾何中的二面角φ 要么與θ 相等，要么為θ 的補(bǔ)角，因此需要先行觀察去判斷該二面角是鈍角還是銳角，才能在前面求出θ 的基礎(chǔ)上確定φ 值. 在很多二面角相關(guān)問(wèn)題中，僅靠觀察是無(wú)法確定到底是鈍角還是銳角，這種觀察的方法嚴(yán)格講也是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)? 而要不加入人工觀察，則需進(jìn)一步限定所討論的二面角內(nèi)的兩個(gè)平面法向量n1與n2的方向?yàn)椤耙贿M(jìn)一出”，這時(shí)就唯一確定了

利用確定向量積方向的右手法則，選取兩個(gè)平面法向量n1與n2的方向?yàn)椤耙贿M(jìn)一出”很容易. 本文將利用空間向量的線性運(yùn)算及混合積、向量積的運(yùn)算規(guī)律及性質(zhì)，給出其在二面角相關(guān)問(wèn)題的若干應(yīng)用.

1 已知兩平面π1 與π2 所構(gòu)成的二面角內(nèi)有點(diǎn)M0，求該二面角的角度φ

設(shè)平面πi方程為Aix + Biy + Ciz + Di= 0，則法向量ni={ Ai,Bi,Ci}，同時(shí)記Mi( xi,yi,zi)為平面πi中的任一點(diǎn)，i = 1,2. 將M0( x0,y0,z0)坐標(biāo)代入πi方程左端得

由于M0( x0,y0,z0) 是二面角內(nèi)的點(diǎn)，故πi( M0) ≠0，而平面πi的法向量ni方向?qū)Υ硕娼钱?dāng)πi( M0) ＞0 時(shí)為“進(jìn)入”，當(dāng)πi( M0) ＜0 時(shí)為“出離”. 故此得到結(jié)論：

將M0( x0,y0,z0) 坐標(biāo)分別代入兩平面方程左端計(jì)算，若兩值異號(hào)，則二面角的角度

解析幾何教材[2]中規(guī)定平面π 的法式方程為xcosα + ycosβ + zcosγ - p = 0 時(shí)，特別要求p 非負(fù)，本質(zhì)上就是確保n0={ cosα,cosβ,cosγ } 為從原點(diǎn)指向平面π 的單位法向量，此即通過(guò)πi( M0) ＜0 來(lái)保證ni={ Ai,Bi,Ci}是從點(diǎn)M0( x0,y0,z0)指向平面πi的法向量的特例.

2 用向量工具證明三面角余弦定理

三面角余弦定理在求解某些二面角問(wèn)題時(shí)有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)[3]. 利用向量的混合積運(yùn)算性質(zhì)和雙重向量積公式，可以很簡(jiǎn)潔地證明該定理.

引理1a ?( b × c )= ( a × b )?c

引理2( a × b )× c = ( a ?c ) b - ( b ?c ) a

定理1（三面角余弦定理）四面體（三棱錐）O - ABC 中，記∠AOC = α,∠BOC = β,∠AOB = γ,二面角A - OC - B = φ，則

證明：記的單位向量為a,b,c，則∠( a,c )= α，∠( b,c )= β，∠( a,b )= γ. 注意到若取平面AOC 的法向量為a × c，平面BOC 的法向量為b × c，這兩個(gè)方向?qū)τ诙娼茿 - OC - B 一定為“一進(jìn)一出”，由于

故cosγ = cosαcosβ + sinαsinβcosφ.

3 空間已知兩點(diǎn)M1 與M2 所在平面發(fā)生折疊后，求兩點(diǎn)的距離

設(shè)空間某平面π 上兩點(diǎn)M1( x1,y1,z1) 與M2( x2,y2,z2) 在π 上一條直線L 的兩側(cè)，沿直線，這里( x0,y0,z0) 是直線L 上一點(diǎn)M0的坐標(biāo)，{ cosα,cosβ,cosγ )是直線L 的單位方向向量v0的坐標(biāo)，為點(diǎn)M1,M2折疊后的新位置. 下面我們利用向量工具推導(dǎo)出計(jì)算折疊后兩點(diǎn)間距離d()的公式.

如果考慮點(diǎn)M1與M2及直線L 在平面直角坐標(biāo)系xoy 的特殊情形，即已知坐標(biāo)M1( x1,y1)與M2( x2,y2)及直線方程Ax + By + C = 0，那么直線的單位方向向量，若記f ( Mi)= Axi+ Byi+ C，i = 1,2. 注意到M1與M2在直線L 兩側(cè)，所以f ( M1) f ( M2) ＜0，因此

上式與文獻(xiàn)[4]導(dǎo)出的結(jié)果一致，對(duì)比可知用向量工具推導(dǎo)更為直接，應(yīng)用范圍也更廣.

4 對(duì)角線向量定理與對(duì)棱角公式的統(tǒng)一證明

二面角問(wèn)題的一個(gè)常見(jiàn)背景就是空間四面體. 四面體的六條邊中任意兩條之間的夾角余弦可通過(guò)計(jì)算對(duì)應(yīng)兩向量的數(shù)量積求出，而任意兩邊對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積均可由另外四邊的平方和與差表出，這就是在文獻(xiàn)[5]中被稱作的對(duì)角線向量定理與對(duì)棱角公式.

定理2 在四邊形ABCD 中，兩條對(duì)角線向量的數(shù)量積

定理3 在四邊形ABCD 中，兩條對(duì)邊（棱）向量的數(shù)量積

文獻(xiàn)[5]對(duì)這兩個(gè)定理在平面四邊形的情形分別給出了證明，同時(shí)指出在空間四面體（三棱錐）中結(jié)果也成立. 該文獻(xiàn)通過(guò)運(yùn)用這兩個(gè)定理演示求解了多例立體幾何問(wèn)題. 對(duì)于復(fù)雜的立體圖形包括動(dòng)態(tài)翻折問(wèn)題，將向量運(yùn)算直接化為簡(jiǎn)單的線段長(zhǎng)度計(jì)算，要求的幾何量非常明確，極少依賴作輔助線，直觀明了，利用兩定理作出的解答都比較理想.

這里，我們指出這兩個(gè)定理的外在形式其實(shí)是統(tǒng)一的，即

按照上式表征的規(guī)則，這兩個(gè)定理非常容易記憶和使用. 無(wú)需圖示，下面僅運(yùn)用向量的線性運(yùn)算給出上面它們的統(tǒng)一證明，同時(shí)也說(shuō)明：無(wú)論是空間四面體還是平面四邊形，公式都是一樣成立的.

證明：記A,B,C,D 為空間四面體（或平面四邊形）的四個(gè)無(wú)序頂點(diǎn)，O 為空間（或平面）內(nèi)任一點(diǎn). 則

綜上，通過(guò)本文給出的向量在與二面角等相關(guān)問(wèn)題中的應(yīng)用，可以說(shuō)明運(yùn)用好向量的線性運(yùn)算法則，在數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)的基礎(chǔ)上增加向量積這一工具，對(duì)求解包含二面角問(wèn)題在內(nèi)的空間解析幾何問(wèn)題與立體幾何問(wèn)題是有益的.