對一個猜想的探究

魏國祥，李鳳清，張青山

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院 教師教育系，四川 遂寧 629000）

文[1]玩出了四個優(yōu)美的幾何不等式，并給出了一個猜想.

猜想設(shè)P 為ΔABC 內(nèi)部任意一點(diǎn)，射線AP,BP,CP 分別交三邊BC,CA,AB 于D,E,F 三點(diǎn)，交ΔABC 的

文[1]證明了當(dāng)P 分別為ΔABC 的外心、重心、垂心及內(nèi)心時猜想成立.

我們通過探究，證實(shí)了這個猜想.

為證明以上猜想，我們先給出以下引理.

引理三角形ABC 中，BC = a,CA = b,AB = c，E 為邊BC 上一點(diǎn)且直線AE 為角A 的平分線，記BE =x,EC = y,AE = l，那么l2= bc - xy.

證明記∠BEA = θ，由余弦定理有

x2+ l2- c2= 2xlcosθ,y2+ l2- b2= 2ylcos( π - θ )，那么就有

x2y + l2y - c2y = 2xylcosθ,y2x + l2x - b2x = -2xylcosθ，將兩式相加得：

xy( x + y ) + ( x + y ) l2- ( xb2+ yc2)= 0，由三角形的角平分線定理可知yc2= bcy + xbc = ( x + y ) bc，故得l2= bc - xy.

命題1三角形ABC 中，BC = a,CA = b,AB = c，E 為邊BC 上一點(diǎn)且直線AE 為角A 的平分線，直線AE與三角形ABC 中的外接圓相交于F，那么

證明記BE = x,EC = y,AE = l,EF = s，由圓的相交弦定理可知xy = ls，由三角形角平分線定理可知，由引理可知l2= bc - xy. 那么

命題2三角形ABC 中，BC = a,CA = b,AB = c，D 為邊BC 上一點(diǎn)，直線AD 與三角形ABC 的外接圓相

簡證如圖，設(shè)I 為ΔABC 的內(nèi)心，射線AI 交邊BC 于D′，交ΔABC 的外接圓于點(diǎn)A2，顯然，A2是弧BC的中點(diǎn)，故A1到直線BC 的距離不大于A2到直線BC 的距離，因此ΔA1BC 的面積不大于三角形ΔA2BC 的面積，即SΔA1BC≤SΔA2BC. 由此我們知道∠BAC 的平分線時

命題3D,E,F 分別為ΔABC 三邊BC,CA,AB 上的一點(diǎn)，射線AD,BE,CF 分別交ΔABC 的外接圓于點(diǎn)

簡證由命題2 與均值不等式可知，

證畢.

≥9，故命題3 等價于下面命題.

命題4D,E,F 分別為ΔABC 三邊BC,CA,AB 上的一點(diǎn)，射線AD,BE,CF 分別交ΔABC 的外接圓于點(diǎn)

當(dāng)命題4 中AD,BE,CF 相交于一點(diǎn)P 時，即可得知文[1]中猜想成立.

命題5設(shè)P 為ΔABC 內(nèi)部任意一點(diǎn)，射線AP,BP,CP 分別交三邊BC,CA,AB 于D,E,F 三點(diǎn)，交ΔABC