螺旋電極壓電扭轉驅動器的設計與有限元分析

郭全圓，劉永剛，2,曾奧柯，閆鵬飛

(1.河南科技大學 機電工程學院，河南 洛陽 471003；2.河南科技大學 機械裝備先進制造河南省協(xié)同創(chuàng)新中心，河南 洛陽 471003)

0 引言

壓電驅動器主要是利用壓電材料的機電耦合特性來實現驅動功能的一類驅動元件。與傳統(tǒng)的機電驅動元件相比，壓電驅動器具有位移分辨率高，響應速度快,激勵能量小及不受電磁干擾等優(yōu)點，廣泛應用于航空航天、精密光學系統(tǒng)、微米納米驅動等精密領域[1]。近年來，壓電驅動器研究大多是對徑向或軸向直線驅動性能的研究，對扭轉驅動性能的研究較少。由于在超聲波電機、壓電馬達、精密定位等領域都需要用到扭轉驅動，不少國內外學者們都希望研制出具有較強扭轉驅動能力的壓電扭轉驅動器。目前提出的壓電扭轉驅動器根據實現扭轉方式的不同可分為機械轉換式[2-4]和直接利用壓電常數式[5-7]。機械轉換式通過將壓電元件產生的直線位移利用一些機械轉換機構變成扭轉位移輸出，由于機械轉換機構的存在，不可避免地出現驅動性能的損耗，且此類驅動器一般結構復雜，整體體積大，生成成本高，不利于精密微驅動場合應用。利用壓電常數式是通過改變壓電驅動器的結構形式，使驅動器自身的切向應變最大化，其中電極結構形式對扭轉性能的影響最大。相對于機械轉換式，此類驅動器結構簡單，扭轉驅動效率高，適用于不同要求的驅動場合。就目前提出的利用壓電常數扭轉驅動器來看，雖然實現了預期的扭轉效果，但電極結構形式均較復雜，制造難度大且成本高。

為了進一步降低壓電扭轉驅動器的結構復雜度和提高扭轉驅動效率，本文提出了一種螺旋電極壓電扭轉驅動器。依據對數螺旋公式建立了螺旋電極線方程，螺旋電極線采用平面化布置，使壓電扭轉驅動器結構簡單新穎，能有效降低制造難度和成本，易于集成化、微小化生產，且能較好適用于精密微驅動場合。通過分析壓電圓盤平面內應變分布規(guī)律和在螺旋角一定的條件下驅動電壓U、壓電圓盤徑向尺寸D和厚度h對應變性能的影響，并與普通電極型壓電驅動器進行對比，為螺旋電極型的壓電扭轉驅動器的設計與制造提供了指導和理論依據。

1 螺旋電極壓電扭轉驅動器結構及理論分析

1.1 結構形式

螺旋電極壓電扭轉驅動器(見圖1)由薄圓片形壓電圓盤基體和壓電圓盤基體兩側的電極平面組成。兩側電極平面內分別布置一對螺旋電極，形成螺旋結構并像叉指電極(IDE)那樣交錯，兩對螺旋電極處于中心軸向對稱狀態(tài)。這樣一方面在充分利用電極平面區(qū)域的前提下簡化了電極結構，另一方面能夠較好地利用壓電常數d33、d31共同作用產生的剪切應變，提高扭轉驅動器的扭轉驅動效率。一般情況下，螺旋電極壓電扭轉驅動器是一種薄圓片結構，施加電壓載荷后，正負螺旋電極間的電場線可看作是平行于壓電圓盤表面，垂直于螺旋電極線[8]。圖1中，W為電極寬度，P為電極中心距離。圖2為普通電極型壓電驅動器結構簡圖。壓電圓盤基體兩側電極平面充滿電極材料作為驅動器的正負電極。

圖1 螺旋電極壓電扭轉驅動器結構圖

圖2 普通電極型壓電驅動器結構簡圖

1.2 局部坐標系的建立及局部應變分析

螺旋電極壓電扭轉驅動器的螺旋電極線滿足對數螺旋方程，且為壓電圓盤半徑的函數。螺旋電極線上任意點的切向與徑向間的夾角各不同，由于螺旋電極既是工作電極又是極化電極，在極化電場的作用下，使得螺旋電極線上任意點的極化方向各不同。不同的極化方向決定不同的壓電常數，而壓電驅動器的性能與壓電常數相關，且通常用徑向與切向的應變(或應力)來表征[9]。為了能使用統(tǒng)一的壓電常數準確表達螺旋電極壓電扭轉驅動器切向應變和機電性能的關系，需要定義壓電元件的坐標系以及局部材料坐標系。圖3為螺旋電極壓電扭轉驅動器局部電極線結構坐標系。在螺旋電極線上任取一點，過該點的圓周切向為y方向，過該點垂直于圓周切向的方向為x方向，垂直于螺旋線的方向為3方向，螺旋線的切向為1方向，xy平面的法向為z方向。螺旋線上任意一點的螺旋角定義為該點螺旋線的切線方向與過該點的圓周切線之間的夾角β，定義螺旋曲線逆時針旋轉時β為正，順時針旋轉時β為負。

圖3 局部電極線結構坐標系

壓電元件極化時，螺旋電極的結構特性造成壓電元件沿電極線任意點的極化電場方向均不同，為便于分析，采用分割電極法對扭轉驅動器進行研究，即沿螺旋電極線方向把驅動電極分割成有限多個電極間隔，如圖4所示。每個電極間隔可近似看作一個場強均勻體，電極間隔內極化方向相同且極化均勻。在此條件下，d33將產生一個平行于電場的平面內應變，d31將產生另一個垂直于電場沿電場線切向的平面內應變。對于每一個電極間隔，d33和d31應變在切向和垂直于切向的正交線上都具有非零剪切分量，在d33和d31的共同作用下，這些剪切分量會引起每個電極間隔產生偏轉(見圖5)，這是螺旋電極壓電扭轉驅動器能產生扭轉位移的原因。

圖4 電極間隔電場分布

圖5 電極間隔變形圖

1.3 理論推導

螺旋電極壓電扭轉驅動器上、下表面的螺旋電極基于一般對數螺旋公式建立，其方程為

r=aebθ

(1)

式中：a、b為常數；e為自然對數；θ為螺旋電極繞圓心旋轉的角度。

為使壓電驅動器性能最大化，在同一電極平面上的正負螺旋電極線之間的位置是一種螺旋叉指型布置(見圖6)，即在同一圈數內，一條螺旋電極線布置于另一條螺旋電極線的螺距中間位置，因此，根據已知螺旋電極線方程可推出另一條螺旋電極線方程。在已知螺旋電極線上任取一點M(rm，θm)，連接OM并延長OM，交同一螺旋電極線的相鄰螺旋電極環(huán)于點N(rn，θm+2π)，設MN的距離為L，過點N的有效相鄰正負電極間距為p，則由幾何關系知另一條電極螺旋方程r0為

(2)

圖6 螺旋電極線布置圖

由式(1)、(2)可知，同一平面上兩條螺旋電極線的螺旋角相等。為便于對螺旋電極進行研究，在下文分析計算中，取a=1。

為便于對扭轉性能進行描述和分析，需對坐標系進行變換。根據幾何原理并利用邦德矩陣變換關系，將1-3坐標系下的應變變換為x-y坐標系下的應變，設驅動電壓為U，電場強度為E，得到螺旋電極平面有效電極區(qū)域內點的剪切應變?yōu)?/p>

(3)

由式(3)可知，當b一定時，平面內任意點的應變主要由正負螺旋電極之間的E決定，因此有必要對螺旋電極之間E的分布規(guī)律及作用機理進行分析。如圖7(a)所示，螺旋電極之間的電場線在理想狀態(tài)下可看作是始終平行于壓電圓盤基體表面，在實踐應用中電場線的分布并不像理想狀態(tài)那樣均勻，電場線的分布總體上可分為電場均勻區(qū)、電場過渡區(qū)和電場死區(qū)3部分[10](見圖7(b))。由圖7(b)可知，在螺旋電極線正下方區(qū)域，該區(qū)域的電場強度非常小，接近于中間位置甚至有零場強區(qū)域出現。電場在遠離螺旋電極的區(qū)域分布較均勻，在電場死區(qū)與電場均勻區(qū)之間，場強呈現出從小到大、從非均勻到均勻的過渡[11]。由于螺旋電極既作極化電極又作驅動電極，因此，在垂直螺旋電極線的切向既有工作電場還有極化電場，從而導致螺旋電極附近的自由應變的分布是一種非線性的變化，只有在正負螺旋電極之間與電場均勻區(qū)相對應的位置才表現出近似線性[12]。

圖7 電場分布圖

2 有限元分析

螺旋電極壓電扭轉驅動器的極化方向沿電極線不斷變化，針對此種復雜條件下的壓電耦合仿真分析，采用沿電極線分割多個電極間隔子體的方法進行研究，當分割的電極間隔子體數量足夠多時，可認為各個電極間隔子體的材料性質一致。分割電極間隔子體如圖8(a)所示，上、下表面電極層厚度均為5 μm，在模型建立時忽略不計。本文所述的螺旋電極壓電扭轉驅動器在工作時采用中心部分區(qū)域完全固定的約束條件，因此，在對電極間隔進行切割時沿徑向方向且保留中心無電極區(qū)域，方便在有限元分析軟件中進行邊界約束，電極間隔切割模型如圖8(b)所示。由于此種螺旋電極壓電扭轉驅動器結構的厚徑比遠小于1，在對模型進行有限元分析前需根據均勻場理論作出4個假設：

1) 極化方向垂直于電極中心線。

2) 兩部分切割實體極化均勻且方向相反。

3) 忽略電極非對稱性對結果的影響。

4) 采用固定的壓電常數d和e。

2.1 模型建立

本文選用的壓電陶瓷為PZT-51，材料參數參見文獻[12]。

普通型壓電驅動器直接利用ABAQUS三維建模工具建立。螺旋電極壓電扭轉驅動器具體建模流程如圖9所示。部分模型采用在整體模型的基礎上沿螺旋電極線等角切割的方法建立，切割模型如圖8(b)所示。螺旋電極壓電扭轉驅動器與普通型壓電驅動器均選用standard單元類型中的C3D10E十節(jié)點二次壓電四面體單元。

圖9 有限元分析流程圖

2.2 切向應變沿徑向的變化

W=0.2 mm，h=0.5 mm，D=10 mm，U=1 000 V，當改變螺旋電極線螺旋角，即取b=0.08～0.14時，利用部分模型建模方法建立電極間隔有限元模型，并通過理論計算和有限元仿真進行對比分析，結果如圖10所示。由圖可見，隨著D的增加，剪切應變整體上處于一種減小的趨勢，減小速度由慢到快，其原因是由于螺旋電極線的結構特性造成。根據螺旋電極線的結構可知，正負螺旋電極間距增加的速率由慢到快，進而導致電場強度減小速率由慢到快，而正、負電極間的電壓不變。同時，理論計算值與有限元仿真值隨D的變化具有相同的規(guī)律性且數值符合性較好，在b=0.14，D=7 mm時，理論值與仿真值間的最大誤差為6.9%，說明了理論推導的正確性。

圖10 切向應變與基圓直徑的關系

為了能更好地分析螺旋電極扭轉驅動器的驅動性能且便于對比分析，我們采用固定的螺旋角值，即取b=0.1建立螺旋電極壓電扭轉驅動器整體有限元模型。通過分析電壓、壓電圓盤徑向尺寸、壓電圓盤厚度對應變的影響，得到與之相對應的應變影響規(guī)律，并與普通電極型壓電驅動器的應變輸出進行對比。對于普通電極型壓電驅動器的建模， 除了電極平面結構形式固定不變，均為在壓電圓盤基體兩側電極平面充滿電極材料作為驅動器的正負電極，結構簡圖如圖2所示，其他關鍵結構尺寸均與螺旋電極壓電扭轉驅動器結構尺寸保持一致，下文對普通電極型壓電驅動器的結構尺寸參數不再贅述。

2.3 電壓對應變的影響

當W=0.2 mm，h=0.5 mm，D=10 mm，U=200～2 000 V時，螺旋電極壓電扭轉驅動器應變輸出與電壓的關系如圖11所示。由圖可見，驅動器的應變輸出隨電壓的變化表現出良好的線性規(guī)律。隨著電壓遞增，壓電扭轉驅動器的切向應變輸出和徑向應變輸出均呈線性增大且增大趨勢明顯，因此，增加驅動電壓對于提高壓電扭轉驅動器的驅動性能具有顯著的作用。由圖11(a)可知，電壓的變化對普通電極型壓電驅動器切向應變輸出的影響遠小于對螺旋電極壓電扭轉驅動器切向應變輸出的影響，進一步體現了螺旋電極結構形式在扭轉驅動性能方面的優(yōu)越性。

圖11 應變與電壓的關系

2.4 壓電圓盤徑向尺寸對應變的影響

U=1 000 V，W=0.2 mm，h=0.5 mm，當D=6～16 mm時，螺旋電極壓電扭轉驅動器的整體應變輸出與D的關系如圖12所示。由圖可知，隨著D的增加，螺旋電極壓電扭轉驅動器的扭轉應變和徑向應變都逐漸減小，減小速率由快到慢，其原因是由于螺旋電極的結構特性使螺旋電極線之間的電極間距隨著D的增加而增加，導致E沿徑向逐漸變小。同時，D對螺旋電極壓電扭轉驅動器的應變輸出影響較大，而對普通電極型壓電驅動器的應變輸出影響較小。對于螺旋電極壓電扭轉驅動器而言，當D=6 mm時，切向應變和徑向應變最大值分別為1.467×10-3和6.113×10-4，此時切向應變是普通電極型壓電驅動器的17.5倍，徑向應變是普通電極型壓電驅動器的1.6倍；當D=16 mm時，切向應變和徑向應變最小值分別為6.133×10-4和3.021×10-4。

圖12 應變與壓電圓盤直徑的關系

2.5 壓電圓盤厚度對應變的影響

圖13為U=1 000 V，W=0.2 mm，D=10 mm，h=0.3～0.8 mm時應變輸出變化曲線。由圖可見，隨著h的增加，螺旋電極壓電扭轉驅動器的切向應變和徑向應變輸出都逐漸減小，這主要是由于隨著h的增加，螺旋電極下電場死區(qū)的區(qū)域不斷增大，E隨著電場死區(qū)區(qū)域的增加而減小，進而導致切向應變和徑向應變輸出發(fā)生變化。同時，h的變化對螺旋電極壓電扭轉驅動器切向應變輸出的影響大于對普通電極型壓電驅動器應變輸出的影響，而對徑向應變輸出的影響規(guī)律相似。

圖13 應變與h的關系

結合圖11～13，在模型螺旋電極線方程一定的前提下，U、D和h的改變都會造成螺旋電極壓電扭轉驅動器驅動性能發(fā)生改變，因此，通過適當增加U、減小D和h可提高螺旋電極壓電扭轉驅動器的驅動性能。如b=0.1，U=1 000 V，D=6 mm，W=0.2 mm，h=0.5 mm時，螺旋電極壓電扭轉驅動器的切向應變輸出為1.467×10-3，是普通型壓電驅動器的17.5倍；徑向應變輸出為6.113×10-4，是普通型壓電驅動器的1.6倍。

3 結論

本文設計了一種新型的螺旋電極壓電扭轉驅動器，通過一般對數螺旋方程推導了螺旋電極壓電扭轉驅動器的螺旋電極方程，建立并驗證了螺旋電極壓電扭轉驅動器有效電極區(qū)域內點的輸出應變方程。利用ABAQUS分析軟件分析了在螺旋角一定的條件下，電壓、壓電圓盤徑向尺寸和壓電圓盤厚度對切向應變的影響。結果表明：

1) 螺旋角在一定范圍內的螺旋電極壓電扭轉驅動器的切向應變輸出沿壓電圓盤徑向逐漸減小且與理論計算值相符，理論值與仿真值的最大誤差在7%以內。

2) 螺旋電極壓電扭轉驅動器能產生較大的切向應變和徑向應變輸出，當螺旋電極線螺旋角固定時，增大電壓、減小壓電圓盤的徑向尺寸和厚度都有利于提高螺旋電極壓電扭轉驅動器的扭轉驅動性能。因此，在生產制造中,通過改變電壓、壓電圓盤徑向尺寸和厚度可獲取適用不同驅動場合的螺旋電極壓電扭轉驅動器。

3) 在螺旋角、壓電圓盤徑向尺寸和電壓一定時，螺旋電極壓電扭轉驅動器的切向應變可達到普通型壓電驅動器的17.5倍，徑向應變是普通型壓電驅動器的1.6倍。