股票價格隨機變動的內生性解釋及其應用

徐偉呈 李欣鵬

摘 要 建立了一個非對稱信息下的重復博弈模型來刻畫股票市場中莊家和散戶的博弈行為，推導出股票價格的折現(xiàn)過程服從一個由布朗運動驅動的鞅過程，并給出股票價格隨機變動的內生性解釋：在博弈過程中莊家為了隱藏散戶所不知道的信息采用隨機化策略來迷惑對手，從而導致股票價格的隨機變動.在此基礎上，進一步研究了相應的期權定價問題并給出期權定價公式.

關鍵詞 期權定價;重復博弈;鞅過程;非對稱信息

中圖分類號 F224.32 ?文獻標識碼 A

Abstract The players behavior in the stock market can be characterized by the repeated game model with asymmetric information. The discount price process of stock is a martingale driven by Brownian motion， and an endogenous explanation for the random fluctuation of stock price is obtained： the randomizations in the market is due to the randomizations in the strategy of the informed player which hopes to avoid revealing ?his private information. Based on this price process， the related option pricing problems were also studied and the option formula was ?given.

Key words ?option pricing;repeated game; ?martingale; asymmetric information

1 引 言

2015年中國股市經(jīng)歷了又一輪的大起大落，股票價格的變動之謎再一次引起了社會的關注.金融學中一個非常重要的問題是如何來合理地刻畫股票價格的變動.以股票或股票指數(shù)為標的的期權定價模型嚴重依賴于股票價格變動過程的選擇，基于不同的股票價格變動過程會得出不同的期權定價公式.2015年2月9日中國正式推出了金融市場上的首只期權——上證50ETF期權.在此背景下，研究適合于中國股市的股票價格過程以及相應的期權定價問題具有重要的理論意義和應用價值.

目前，常用的模擬股票價格變動的模型有Black-Scholes模型[1]，擴散模型（Merton（1971）[2]），隨機波動率模型（Hull 和White（1988）[3]， Heston（1993） [4]），跳模型等等.值得注意的是，上述所有的模型都認為股票價格變動的隨機性來源于外部沖擊，比如有關上市公司的利好或利空信息的發(fā)布，國家宏觀經(jīng)濟政策的調整等等.關于股票價格或股票收益率的隨機性在理論上通常使用布朗運動來刻畫.例如，著名的Black-Scholes模型假設股票價格服從幾何布朗運動，其中布朗運動作為外生的隨機項給出.De Meyer 和Moussa-Saley（2003）[5]通過建立一個簡單的非對稱信息下的重復博弈模型給出股票價格變動的一個內生性解釋，即市場上博弈雙方由于信息不對稱而采取隨機化策略導致了股票價格的隨機變動.De Meyer（2010）[6]通過建立更一般的非對稱信息下的重復博弈模型推導出由于博弈雙方的隨機化策略而導致股票價格服從一個由布朗運動驅動的鞅，稱其為連續(xù)最大變差鞅.但是基于該過程的期權定價問題在文獻[6]中并沒有涉及.

本文將進一步推廣文獻[6]中的非對稱信息下的重復博弈模型，發(fā)現(xiàn)在更一般的條件下，股票價格的折現(xiàn)過程仍然為一個連續(xù)最大變差鞅.在此基礎上，進一步研究了在此過程下的歐式期權定價問題.

2 金融交易博弈模型

2.1 金融交易博弈模型

金融交易博弈模型由De Meyer（2010）引入， 它可以視為是經(jīng)典的Aumann-Maschler博弈模型[7]的推廣.該模型為單邊不完全信息下的雙人零和重復博弈模型.本文將以股票市場為例給出博弈模型.

式（11）意味著通過交易無風險資產(chǎn)不會產(chǎn)生價值.但是在某些情形，例如，當考慮到交易費用時，式（10）不再成立.文獻[8]中給出一個帶有交易費用的博弈模型，它不滿足文獻[6]中的自然交易機制，但是滿足本文中的假設 （H1）～（H5）.

2）關于信息的不對稱性，在第0回合，莊家已經(jīng)知道風險資產(chǎn)L的確切取值，而散戶僅僅知道它的分布.這導致在各回合的雙方策略中，莊家的策略見式（2）可以依賴于L，而散戶的策略見式（3）獨立于L，但是散戶可以通過莊家的策略來推測L的具體取值，而莊家則有意通過隨機化策略來隱藏L的具體信息，在彼此的相互博弈過程中導致了股票價格的隨機變動.

3）關于假設（H1），與Aumann-Maschler模型不同，由于此時重復博弈模型中博弈雙方的策略集均不是有限集，最小和最大算子未必可以交換（Mertens等（2015）[9]），從而相應的單期博弈的值未必存在.

4）定理1中的結論與風險中性理論的結論相一致.風險中性理論說明在等價鞅測度下，風險資產(chǎn)的折現(xiàn)過程為一個鞅（Harrison和Pliska（1981，1983）[10，11]）.在上述重復博弈模型中，為了簡化問題，并沒有考慮無風險資產(chǎn)的折現(xiàn)問題，從而定理1中的股票價格事實上是股票的折現(xiàn)價格.此時，股票價格的折現(xiàn)過程是一個在維納測度下由標準布朗運動驅動的鞅.

5）模型中其實暗含莊家和散戶在進行高頻交易，即博弈回合數(shù)n充分大時，股票價格過程收斂于鞅模型（9）.但是中國股市實行T+1的交易規(guī)則，高頻交易似乎在此行不通.如果將莊家和散戶看成是兩個群體，這樣在短期內會發(fā)生高頻交易，從而使得股票價格過程仍能收斂到鞅模型.

6）實際股票市場中莊家和散戶的博弈行為要復雜的多，遠非通過理論模型可以刻畫.但是本文所得的結果非常有趣：股票價格的折現(xiàn)過程是由布朗運動驅動的鞅.值得注意的是，與Black-Scholes模型不同，重復博弈模型中并沒有關于布朗運動的外生性假設，但是所得到的股票價格過程卻是由布朗運動來驅動，從而可以給出股票價格隨機變動的一個內生性解釋，即股票價格的隨機變動來源于莊家和散戶的隨機化交易策略，莊家采用隨機性策略來干擾散戶對其所知信息的判斷以獲得最大收益.當然，外部沖擊對股票價格的影響在某些情形會起到關鍵性作用，但是考慮到模型的復雜性，本文在此處并沒有考慮到外部沖擊對股票價格的影響.

3 期權定價公式

4 結 論

本文通過建立一個非對稱信息下的重復博弈模型對股票市場中莊家和散戶的博弈行為進行了刻畫，推導出股票價格的折現(xiàn)過程服從一個鞅模型.通過該模型，本文給出了股票價格隨機變動的一個內生性解釋：莊家通過采取隨機化策略來隱藏自己所知道的信息從而導致了股票價格的隨機變動.在此基礎上，本文研究了基于鞅模型的歐式期權定價問題，并給出相應的期權定價公式以及未知函數(shù)的估計方法.

參考文獻

[1] BLACK F， SCHOLES M. The pricing of options and corporate liabilities [J]. Journal of Political Economy， 1973， 81（3）： 637-654.

[2]?MERTON R. Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time mode [J]. Journal of Economic Theory， 1971， 3（4）： 373-413.

[3]?HULL ?J ，WHITE A. ?An analysis of the bias in option pricing caused by a stochastic volatility [J]. Advances in Futures and Options Research， 1988， 3： 27-61.

[4]?HESTON S. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options [J]. The Review of Financial Studies， 1993， 6（2）： 327-343.

[5]?DE MEYER ?B， MOUSSA-SALEY H. On the strategic origin of Brownian motion in finance [J]. International Journal of Game Theory， 2003， 31（2）：285-319.

[6]?DE MEYER B. Price dynamic on a stock market with asymmetric information [J]. Games and Economic Behavior， 2010， 69（1）： 42-71.

[7]?AUMANN ?R， MASCHLER M. Repeated Games with Incomplete Information [M]. Cambridge： MIT ?Press， 1995.

[8]?LI X. Sublinear expectations and their applications in game theory [D]. Paris： Sorbonne Economics Center， University of Paris 1， 2013.

[9]?MERTENS J F， SORIN S， ZAMIR S. Repeated Games [M]. Cambridge： Cambridge University Press， 2015.

[10]HARRISON ?M，PLISKA S. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading [J]. Stochastic Processes and their Applications， 1981， 11（3）： 215-260.

[11]HARRISON M， PLISKA S. A stochastic calculus model of continuous trading： complete markets [J]. Stochastic Processes and their Applications， 1983， 15（3）：313-316.

[12]BREEDEN D，LIZENBERGER R. Prices of state-contingent claims implicit in option prices [J]. The Journal of Business， 1978， 51（4）：621-65.