高等數(shù)學(xué)中收斂數(shù)列及函數(shù)極限性質(zhì)的教學(xué)探討

（周口師范學(xué)院，河南周口466000）

掌握數(shù)列及函數(shù)極限的概念和性質(zhì)是學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容的基石。但是對(duì)于高等數(shù)學(xué)的初學(xué)者來(lái)說(shuō)，數(shù)列及函數(shù)極限涉及的ε-Nε-δ和語(yǔ)言理解起來(lái)存在一定困難，尤其是對(duì)于基礎(chǔ)較差的學(xué)生，很不理解ε、δ、N 在解決問(wèn)題中的取法。為了讓學(xué)生掌握極限的內(nèi)涵，許多學(xué)者對(duì)極限的教學(xué)方法進(jìn)行了探討。文獻(xiàn)中探討了借助實(shí)例和幾何圖形來(lái)論述數(shù)列極限的定義的方法，以期達(dá)到讓學(xué)生加深對(duì)極限概念理解的目的。文獻(xiàn)對(duì)極限教學(xué)的有效策略進(jìn)行探討，主要論述了教學(xué)中采用極限理論的解題方法，以期為相關(guān)的實(shí)踐提供理論參考。文獻(xiàn)探討了根據(jù)微積分的發(fā)展史和極限中體現(xiàn)的哲學(xué)思想等科學(xué)思想對(duì)極限的教學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)，讓學(xué)生通過(guò)感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程理解極限中的重要思想，體會(huì)極限過(guò)程中的量變到質(zhì)變、無(wú)限和有限的辯證關(guān)系。

一、極限性質(zhì)教學(xué)的不良現(xiàn)象

極限在高數(shù)的學(xué)習(xí)中占有極其重要的地位，本應(yīng)該讓學(xué)生盡量理解透徹，但是某些老師在授課中缺乏這種意識(shí)，對(duì)極限概念及性質(zhì)的講解存在隨意現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面。

（一）過(guò)分依賴(lài)PPT 課件。多媒體輔助教學(xué)已在高校普遍盛行，由于其視覺(jué)效果、前后回顧方便等多種優(yōu)點(diǎn)，受到大多數(shù)老師及學(xué)生的喜愛(ài)。但是多媒體教學(xué)還不能完全取代傳統(tǒng)的教學(xué)模式，尤其是理工科的教學(xué)，因?yàn)槔砉た朴衅渥陨淼奶攸c(diǎn)，很多公式定理需要詳細(xì)推導(dǎo)證明，只讓學(xué)生觀看PPT課件很難達(dá)到讓學(xué)生理解的效果，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)極限性質(zhì)及證明的關(guān)鍵點(diǎn)不能理解。

（二）答疑不科學(xué)。答疑是教學(xué)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，但是部分教師對(duì)學(xué)生提出的問(wèn)題回答得很不科學(xué)。這可能與教師的專(zhuān)業(yè)水平、研究方向有一定關(guān)系。比如在經(jīng)典高等數(shù)學(xué)教材（高等數(shù)學(xué)第七版上冊(cè)，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社）收斂數(shù)列的性質(zhì)一節(jié)中，定理1（極限的唯一性）證明中“神秘”的出現(xiàn)了“取”，很多學(xué)生存在疑問(wèn)：為什么取？怎么取得呢？有沒(méi)有其它值可?。慨?dāng)學(xué)生帶著這些問(wèn)題問(wèn)老師的時(shí)候，有些老師不假思索地回答說(shuō)是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取得的，或者有些老師解釋說(shuō)根據(jù)極限的定義，這樣取可以達(dá)到證明的目的。顯然，這些回答并沒(méi)有解決學(xué)生的疑惑。

二、極限性質(zhì)的教學(xué)探討

（一）重視傳統(tǒng)教學(xué)方式。傳統(tǒng)的板書(shū)教學(xué)形式具有很強(qiáng)的靈活互動(dòng)性，由于其樸素而簡(jiǎn)便的板書(shū)手段對(duì)教師的教學(xué)行為束縛小，教師可根據(jù)課堂教學(xué)的實(shí)際需要，及時(shí)調(diào)整自己原有的課前預(yù)設(shè)方案。而多媒體教學(xué)是以流線(xiàn)型特征展現(xiàn)的，它在學(xué)生思考體會(huì)與筆記記錄、教師點(diǎn)撥與學(xué)生回味等方面都存在著明顯的弱點(diǎn)。因此在授課中不能過(guò)分依賴(lài)于PPT 課件，要重視板書(shū)教學(xué)，將極限的性質(zhì)定理在黑板上給學(xué)生詳細(xì)推導(dǎo)證明，不僅有利于學(xué)生理解，而且可以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的印象，即板書(shū)可以有效促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解記憶。

（二）刨根問(wèn)底，探究實(shí)質(zhì)。如何解答學(xué)生存在的疑問(wèn)：為什么?。吭趺慈〉哪?？有沒(méi)有其它值可取？當(dāng)然這需要老師認(rèn)真?zhèn)湔n，對(duì)知識(shí)點(diǎn)要理解的透徹。下面我們以收斂數(shù)列的唯一性定理和函數(shù)極限的局部保號(hào)性定理為例，揭開(kāi)ε 取值的神秘面紗。

定理1（極限的唯一性）如果數(shù)列收斂，那么它的極限唯一。

先看教材中的證明過(guò)程。

證用反證法。假設(shè)同時(shí)有xn→a 及xn→b，且a＜b。取。因?yàn)椋收麛?shù)N1，當(dāng)n＞N1時(shí)，不等式

都成立。取N=max｛N1，N2｝，則當(dāng)n＞N時(shí)，（1）式及（2）式會(huì)同時(shí)成立，但由（1）式有，由（2）式有，這是不可能的。這矛盾證明了本定理的斷言。

假設(shè)同時(shí)有xn→a及xn→b，且a＜b，由極限的定義知對(duì)ε ＞0，存在正整數(shù)N，當(dāng)n＞N 時(shí)有同 時(shí) 成 立 。 根 據(jù)，又根據(jù)，即當(dāng)n＞N 時(shí)，xn落在了兩個(gè)區(qū)間（a-ε，a+ε）和（b-ε，b+ε），由a＜b，這兩個(gè)區(qū)間的示意圖有以下3種情況：

由圖可知，要想得出矛盾，只需使兩個(gè)區(qū)間沒(méi)有交集就可，也就是說(shuō)ε 的取值只要滿(mǎn)足情況1和情況2都可以得出矛盾，完成定理的證明，即只要取ε滿(mǎn)足不等式a+ε≤b-ε即可，解不等式得。因此，在本定理的證明中取，僅僅是一個(gè)臨界值，可以取的任何值來(lái)完成定理的證明。

先看教材中的證明過(guò)程。

證就A＞0的情形證明。

類(lèi)似地可以證明A＜0的情形。

三、結(jié)束語(yǔ)

根據(jù)學(xué)科的特點(diǎn)及目前部分老師在授課中存在的不足，本文對(duì)極限性質(zhì)的有效學(xué)習(xí)進(jìn)行了探討：（1）重視板書(shū)授課方式，盡量把關(guān)鍵點(diǎn)給學(xué)生演示清楚；（2）認(rèn)真對(duì)待答疑，不要評(píng)想當(dāng)然，或敷衍了事；（3）刨根究底，探究實(shí)質(zhì)。對(duì)極限性質(zhì)的證明中的“神秘”取值要給學(xué)生講透徹，揭開(kāi)它的神秘面紗，澄清其取值的實(shí)質(zhì)，讓學(xué)生不再困惑。