基于激發(fā)學(xué)生深度思維的課程設(shè)計思考
——以高等代數(shù)概念學(xué)習(xí)為例

張錦添 顧勇為

（信息工程大學(xué)基礎(chǔ)部 河南·鄭州 450001）

高等代數(shù)是具有高度抽象性同時邏輯性極強(qiáng)的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，在學(xué)習(xí)過程中，不僅需要學(xué)生從知識層面理解和掌握高等代數(shù)的基本概念、基本理論和基本方法，更要慢慢培養(yǎng)較強(qiáng)的抽象思維和創(chuàng)造性思維能力。這就要求教師在日常教學(xué)中注重對學(xué)生深度思維能力的訓(xùn)練，這對提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和課堂教學(xué)質(zhì)量具有重要的意義。因此，以激發(fā)深度思維，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)為目標(biāo)，針對高等代數(shù)的概念學(xué)習(xí)進(jìn)行了策略分析，通過學(xué)科的發(fā)展背景、知識的研究發(fā)現(xiàn)和興趣的激發(fā)驅(qū)動等層面，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、創(chuàng)造性和深刻性，逐漸探索以學(xué)科方法論引領(lǐng)思維、以研究式教學(xué)激發(fā)興趣的教學(xué)體系。

1 以學(xué)科的發(fā)展背景培養(yǎng)發(fā)散思維

高等代數(shù)本身是一個迷人的數(shù)學(xué)學(xué)科，具有悠久的研究和發(fā)展歷史，而數(shù)學(xué)發(fā)展史的背后更重要的是知識發(fā)展的客觀規(guī)律。數(shù)學(xué)發(fā)展史妙趣橫生的介紹，相關(guān)知識概念的觸類旁通，知識點的串聯(lián)，不僅僅給學(xué)生帶來代數(shù)學(xué)習(xí)的熱情，更重要的是幫助他們建立對知識更宏觀的認(rèn)識，從歷史發(fā)展角度感知科學(xué)進(jìn)步，從具體方法層面體會深層次規(guī)律。學(xué)科方法論比知識本身更重要，一個數(shù)學(xué)問題的提出，數(shù)學(xué)家前赴后繼的多角度分析、思考、佐證和解決，這個過程能夠揭示知識的發(fā)生過程和方法的形成過程，引發(fā)和調(diào)控學(xué)生的思維活動，在這樣的思維活動中，體驗數(shù)學(xué)、感悟數(shù)學(xué)、走進(jìn)數(shù)學(xué)。

具體到高等代數(shù)的某次課程設(shè)計，在引入向量概念的過程中，先介紹向量的歷史起源。向量最初被應(yīng)用于物理學(xué)，很多物理量如力、速度、位移以及電場強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是向量。大約公元前350年前，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到。最先使用有向線段表示向量的是英國大科學(xué)家牛頓。18世紀(jì)末期，挪威測量學(xué)家威塞爾用平面坐標(biāo)上的點表示復(fù)數(shù)，并利用復(fù)數(shù)運(yùn)算定義了向量的運(yùn)算。19世紀(jì)80年代，英國數(shù)學(xué)家居伯斯在三維空間中定義了向量，并把向量概念引入到微積分，豐富和發(fā)展了解析幾何。通過這些歷史背景和生活場景，使學(xué)生對以往接觸的向量的概念獲得一個綜合印象，對知識的把握更為形象化，產(chǎn)生更為深刻的感性認(rèn)識，消除對向量陌生抽象的感受，

2 以知識的研究發(fā)現(xiàn)引導(dǎo)主動思考

高等代數(shù)的很多概念都具有高度的抽象性，學(xué)生從中學(xué)階段接觸的二維平面、三維空間問題，拓展到高等代數(shù)中n維向量的情形，缺乏幾何直觀，對于概念的理解和方法的掌握都是十分困難的。如果只是按照教材知識結(jié)構(gòu)模式進(jìn)行灌輸教學(xué)，會讓學(xué)生感到知識的晦澀和學(xué)習(xí)的被動。因此在教學(xué)過程中，我們嘗試重新組織編排教材中的知識點和教學(xué)順序，從具有實際生活場景的例子入手，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)已有知識的瓶頸，從懸念出發(fā)引導(dǎo)大家主動思考求解方法。從研究的角度，讓同學(xué)們自己探索，不再是被動、機(jī)械地接受理論，而是通過對問題的思考自行研究發(fā)現(xiàn)知識。

以高等代數(shù)第四章的最大無關(guān)組的概念介紹為例。人類總是在尋找構(gòu)成世界的基本元素，從金木水火土，到元素周期表。向量組，特別是包含無窮多個向量的向量組，有沒有較少的一些元素，或說較少的一些向量，可以生成整個向量組呢？最大無關(guān)組正是由這樣的一些代表元素所構(gòu)成，一方面它們可以線性表示出整個向量組；另一方面如果它們其中減少了一個，就不足以線性表示出整個向量組了，即一個都不能少。另外，最大無關(guān)組不是唯一的。這個數(shù)學(xué)概念，可以從生活中的很多實際問題出發(fā)便于理解。比如，人們吃飯要講究營養(yǎng)搭配，需要淀粉、蛋白質(zhì)、脂肪、維生素，那么可以選擇A套餐：米飯、雞蛋，炒肉、蘋果。也可以選擇B套餐：面條、豆腐、雞腿、桔子。每個套餐中各種食材具有不同的營養(yǎng)成分（類似于線性無關(guān)），而且營養(yǎng)套餐不唯一（類似于最大無關(guān)組不是唯一的）。

一個典型的問題是，已知一個向量組的每個具體向量，求該向量組的最大無關(guān)組，并把不屬于最大無關(guān)組的向量用最大無關(guān)組線性表示。為了解決這個問題，先進(jìn)行基本的理論鋪墊，證明以下命題：對一個矩陣作行初等變換，不改變列向量組的線性相關(guān)性。有了該命題，從已有知識困境中出發(fā)，一步步引導(dǎo)學(xué)生采用初等變換法解決問題，將向量組的所有向量按列組合出一個矩陣，對該矩陣做行初等變換，成為行最簡形矩陣，從行最簡形矩陣找出列向量組之間的線性關(guān)系，而此關(guān)系與行初等變換之前的列向量組之間的線性關(guān)系是一致的。通過簡單形象的例子引出研究的根源，從問題出發(fā)設(shè)置懸念，隨著新知識和新概念的引入，慢慢剝離出解決問題的過程，從而使學(xué)生的思維從被動式接受轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃邮剿伎?，充分調(diào)動學(xué)生的專注力和學(xué)習(xí)熱情，師生互動更為自然有效。

3 以興趣的激發(fā)驅(qū)動促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

興趣是求知的先導(dǎo)，是驅(qū)動課堂的動力。學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)一方面需要形式上的新穎活潑，另一方面在更深層次上要滿足學(xué)生對思維收獲的追求。在傳統(tǒng)的課堂中，教師習(xí)慣用自己的預(yù)設(shè)方案將學(xué)生的思維控制在某個無形的空間中，學(xué)生更多時候扮演著遵從者和執(zhí)行者的角色。這種教學(xué)模式會讓學(xué)生感到效率不高、收獲不大。因此在日常教學(xué)中，我們注重在知識實際應(yīng)用的真實情境中呈現(xiàn)知識，把學(xué)與用結(jié)合起來，以學(xué)生為中心，充分調(diào)動他們的積極性，讓學(xué)生像數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)知識一樣進(jìn)行思考。學(xué)生的學(xué)習(xí)過程不僅僅以知識的理解和應(yīng)用為任務(wù)，而是從中體會知識創(chuàng)造過程中的共性，同時也是科研創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)。

在n元線性方程組解的結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)中，我們就創(chuàng)設(shè)了幾何空間情境幫助學(xué)生理解、激發(fā)學(xué)生興趣。三維空間是現(xiàn)實的空間，直觀可見。一個三元線性方程在此空間中表示一個平面，是二維空間。我們可以理解為，一個方程相當(dāng)于一個約束，三維空間給一個約束，降為二維。兩個線性方程組成的方程組，相當(dāng)于三維空間給兩個約束，降為一維，成一條直線。三個線性方程組成的方程組，三維空間給三個約束，降為0維，成為一個點。n個未知數(shù)m個線性方程組成的方程組的解是什么情況呢？n個未知數(shù)組成的向量存在于在n維空間中，如果不給約束，就充滿整個n維空間。現(xiàn)在給了m個方程，是不是減少m維呢？不是的。這m個方程中存在一些等價重復(fù)表達(dá)。只有經(jīng)過同解變形，成為r個有效方程（或稱獨(dú)立方程）后，這些方程才是相互獨(dú)立不能相互取代的。因此，實際上n維空間減少了r維，成為了n-r維空間，這正是解空間的基本情況。

在當(dāng)今時代背景下，教育目標(biāo)的新要求應(yīng)運(yùn)而生，因此迫切需要通過教學(xué)模式的深刻變革，建設(shè)與之相匹配的教學(xué)形態(tài)。我們通常將教學(xué)過程中全要素組合所表現(xiàn)出來的一系列特征稱之為教學(xué)形態(tài)，主要由教學(xué)模式、教學(xué)方式、學(xué)習(xí)方法、考核評價、師生關(guān)系等構(gòu)成。厘清教學(xué)的新形態(tài)，不僅意味著從技術(shù)層面探討各種教學(xué)手段的運(yùn)用，也從內(nèi)容層面探討課程知識、教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變，在技術(shù)與內(nèi)容的基礎(chǔ)上，還從理念層面研究在教學(xué)實施過程中對學(xué)生產(chǎn)生的影響以及隨之而來的價值觀、教育觀、學(xué)習(xí)觀的轉(zhuǎn)變，探明學(xué)生、教師、院校等教育主體被賦予的新角色，進(jìn)而真正實現(xiàn)多方面深層次的融合。

為適應(yīng)學(xué)生對知識的全新要求，高等院校的教育者應(yīng)專注于教學(xué)內(nèi)容的創(chuàng)新實踐、教學(xué)模式的重塑改造、教學(xué)方法的變化革新，將傳統(tǒng)教育中想要完成但無法完成或者完成度不高的事情進(jìn)行升級改造。比如說，教育重點從傳統(tǒng)的基礎(chǔ)知識技能培養(yǎng)轉(zhuǎn)向創(chuàng)新能力素質(zhì)和創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)，教育方式從標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一到個性定制，教學(xué)周期從固定學(xué)制和時間的學(xué)歷性教育到長期隨時的終身學(xué)習(xí)教育。在轉(zhuǎn)變過程中，作為知識的傳授者和思想的傳播者，教師將在教育全要素流程中發(fā)揮出至關(guān)重要的作用，推動新型教學(xué)形態(tài)乃至是整個教育生態(tài)體系的更新與創(chuàng)建。

隨著對教學(xué)的思考探索，我們更加深刻地意識到教師絕不僅僅是教書匠，教授一門課絕不是簡單的講教材，培養(yǎng)學(xué)生更不是簡單的滿堂灌，在教學(xué)中不僅要傳道授業(yè)解惑，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的思維方式和學(xué)習(xí)方法。在以思維引領(lǐng)、激發(fā)興趣的教學(xué)理念引導(dǎo)下，對高等代數(shù)的概念學(xué)習(xí)進(jìn)行了初探，我們將持續(xù)努力，在深度和廣度上進(jìn)一步發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，不忘育人初心，提升育人質(zhì)量。