降低多用戶大規(guī)模MIMO-OFDM系統(tǒng)PAPR的加速近端梯度算法*

華 磊,王亞軍,劉 爽

(江蘇科技大學(xué) 海洋學(xué)院,江蘇 鎮(zhèn)江 212100)

0 引 言

大規(guī)模正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM)與多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)技術(shù)相結(jié)合可以發(fā)揮兩者的優(yōu)勢,實現(xiàn)更快的通信速率和更高的頻譜利用率,MIMO-OFDM已經(jīng)成為下一代無線通信中的核心技術(shù)[1-2]。

但OFDM作為一種多載波技術(shù),當(dāng)各載波頻譜相同或相近時容易導(dǎo)致信號的包絡(luò)起伏較大,進而造成信號的峰值平均功率比(Peak-to-Average Power Ratio,PAPR)較高。高峰均比信號通常需要帶有較大反饋的功率放大器,這就增加了模數(shù)轉(zhuǎn)換器和數(shù)模轉(zhuǎn)換器的復(fù)雜性,同時對發(fā)射機內(nèi)放大器的線性也提出了很高的要求,由此可能導(dǎo)致信號畸變,使信號的頻譜發(fā)生變化,導(dǎo)致系統(tǒng)的性能嚴重惡化[3-4]。而將多用戶大規(guī)模MIMO(Multi-user Massive MIMO,MUM-MIMO)技術(shù)應(yīng)用到工程實際時,必須要求基站使用低功耗的射頻鏈路和功率高效的射頻功率放大器[5],這就需要發(fā)射信號具有較低的PAPR。為滿足使用高效的功率放大器和降低多用戶間的干擾這兩個要求,迫切需要使用更加有效的方法來降低系統(tǒng)的PAPR。

目前降低OFDM系統(tǒng)PAPR的方法有很多[6-9],盡管可以應(yīng)用于點對點的MIMO-OFDM系統(tǒng),但由于大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中接收端用戶協(xié)同工作極為困難,因此運用到大規(guī)模MIMO-OFDM系統(tǒng)中顯得不甚合理。在文獻[10]中,作者給出了基于快速遞推截斷算法(Fast Iterative Truncation Algorithm,FITRA)的低PAPR非線性預(yù)編碼設(shè)計。其設(shè)計方法聯(lián)合考慮了MUM-MIMO預(yù)編碼、OFDM調(diào)制和PAPR減小,核心思想是通過利用無窮范數(shù)代替PAPR,從而得到滿足無窮范數(shù)約束下的最小化多用戶間干擾(Multi-user Interference,MUI)問題。文獻[11]中,作者提出了一種添加干擾信號降低系統(tǒng)PAPR的方法,并利用交替方向乘子算法(Alternative Direction Method of Multipliers,ADMM)對其進行求解。在該方法中,作者在預(yù)編碼后的頻域信號中加入一個干擾信號,同時對該干擾信號做出限制,保證其位于每個子載波所對應(yīng)的信道響應(yīng)矩陣的零空間中,因此該方法在獲得好的PAPR性能同時,不會為整個系統(tǒng)帶來額外的信號失真和帶外輻射。文獻[12]中,作者通過最速梯度下降方法來解決多用戶預(yù)編碼和降低PAPR聯(lián)合的問題,利用MIMO信道矩陣的高維零空間來降低信號的PAPR,但其方法得到的誤符號率(Symbol Error Rate,SER)性能較差。上述方法都能夠獲得好的PAPR抑制性能,但均存在著算法計算復(fù)雜度高的缺陷。

針對以上問題,本文利用加速近端梯度算法(Accelerated Proximal Gradient Method,APGM)來設(shè)計降低多用戶大規(guī)模MIMO-OFDM系統(tǒng)中發(fā)射信號PAPR的低復(fù)雜度快速收斂算法,該算法在抑制發(fā)射信號的PAPR同時也能獲得好的SER性能。

1 多用戶大規(guī)模MIMO-OFDM系統(tǒng)模型

在如圖1所示的多用戶大規(guī)模MIMO-OFDM系統(tǒng)的下行鏈路中,假定基站配置有M根發(fā)射天線,同時服務(wù)于K個單天線移動用戶,且滿足K?M。在本文中,假定信道狀態(tài)信息在發(fā)射端完美已知。OFDM載波數(shù)目為N,將載波分為數(shù)據(jù)載波Γ和自由載波Γc兩部分,其中數(shù)據(jù)載波用來傳輸數(shù)據(jù),而自由載波不傳輸任何數(shù)據(jù),放于頻帶的兩端用作保護間隔。向量sn∈CK×1為在第n個子載波上傳輸?shù)陌琄個終端用戶的數(shù)據(jù),對于數(shù)據(jù)載波n∈Γ時,sn選自某個調(diào)制星座字符集;對于自由載波n∈Γc時,有sn=0K×1。為消除接收端多用戶間的干擾,需對用戶信息符號進行線性預(yù)編碼:wn=Gnsn,其中,wn∈CM×1為預(yù)編碼后的信號,Gn∈CM×K為相對于第n個子載波的預(yù)編碼矩陣。常用的預(yù)編碼方案有匹配濾波(Matched Filtering,MF)、迫零(Zero-forcing,ZF)和最小均方誤差預(yù)編碼等。對于發(fā)射機已知信道矩陣Hn∈CK×M,則迫零預(yù)編碼矩陣可以寫為,接著將歸一化的頻域信號wn,?n重新排序后分配到各個發(fā)射天線上[x1,x2,…,xM]=T[w1,w2,…,wN],T表示圖1中重新排序的映射。其中,向量xm∈CN×1表示第m根天線上的頻域信號。然后對頻域信號xm,?m進行離散傅里葉逆變換(Inverse Discrete Fourier Transform,IDFT)得到相應(yīng)的時域信號ym,m∈1,2,…,M。完成并行到串行轉(zhuǎn)換之后,通過對每根天線上的時域信號ym,?m添加循環(huán)前綴來避免碼間干擾。最后將這些時域樣本轉(zhuǎn)換成模擬信號,通過射頻鏈路傳輸?shù)綗o線信道中。

圖1 大規(guī)模MIMO-OFDM系統(tǒng)框圖

2 峰值平均功率比

OFDM信號由多個獨立的調(diào)制信號疊加而成,能夠有效地對抗頻率選擇性衰落,對于第m根天線上的頻域信號xm∈CN×1,相應(yīng)的時域連續(xù)信號可以寫為

式中:T為OFDM符號時間;Δf為子載波頻率間隔;N為子載波數(shù)。由于各個子載波的相位相互獨立,相互疊加后的OFDM信號就會有非常大的動態(tài)范圍。通常使用PAPR來衡量發(fā)射信號的波動。PAPR表示信號功率的峰值與均值之比,即

在實際系統(tǒng)中,通常只有發(fā)射信號ym(t)的一些離散時間樣本,為了更好地近似連續(xù)時間信號的PAPR,在獲得離散時間樣本時采用J=4倍過采樣,即

過采樣操作也可以表示為ym=FHxm,m=1,2,…,M,其中,FH∈CJN×N表示JN點傅里葉變換矩陣的前N列,J為過采樣因子。因此具有J倍過采樣的時域樣本的PAPR由下式給出:

使用互補累積分布函數(shù)(Complementary Cumulative Distribution Function,CCDF)來衡量信號的峰均比,定義為發(fā)射信號的峰均比超過門限值的概率,具體表示為CCDF(γ)=Pr{PAPR＞γ},其中γ表示指定的門限值。

3 算法設(shè)計

3.1 加速近端梯度算法

加速近端梯度算法用于求解以下形式的問題:

其中:f:Rn→R是連續(xù)可微的凸函數(shù);g:Rn→R∪{+∞}為連續(xù)的凸函數(shù)。算法基本迭代過程如下:

式中:ωk∈[0,1)是外推參數(shù);γk是步長因子,通常選取ωk=k/(k+3)。函 數(shù)g(y)的近端算子proxγg(·)定義式如下:

當(dāng)函數(shù)f對應(yīng)的最小Lipschitz常數(shù)為L時,使用固定步長γk=γ∈(0,1/L],該算法以ο(1/k2)的速率收斂于目標值。

3.2 低復(fù)雜度APGM算法設(shè)計

由于發(fā)射天線數(shù)量遠多于終端用戶數(shù)量,即M?K,將會有無限多的預(yù)編碼信號w?[wH1,wH2,…,wHN]H滿足預(yù)編碼約束,只需找到一組頻域信號wn,n∈1,2,…,N,使其對應(yīng)的時域信號具有較小的PAPR,同時能夠消除多用戶間干擾:

式中:∈C(K×|Γ|+M×|Γc|)×1是所有用戶數(shù)據(jù)符號和自由載波上的0M×1的集合;為塊對角矩陣,其主對角塊為Hn,?n∈Γ和IM,?n∈Γc。為了表述方便,將上述將信號重排序到天線上的過程寫為更緊湊的形式,其中。根據(jù)系統(tǒng)模型,預(yù)編碼后的頻域信號與原始數(shù)據(jù)及時域發(fā)射信號之間的關(guān)系可以用下式表示:

為了簡化表示,寫成更緊湊的形式:

將式(13)轉(zhuǎn)化為可以利用APGM算法求解的形式。將式(13)的放松模型用拉格朗日形式表述為

式中:α是正則化參數(shù)。使用APGM來求解問題(14),通常需要計算函數(shù)f(y)=‖s-Qy‖22梯度?f(y)的Lipschitz常數(shù),再根據(jù)Lipschitz常數(shù)來估計步長γk。梯度?f(y)的最小Lipschitz常數(shù)對應(yīng)于L=2σmax(QQH),σmax表示為矩陣的最大奇異值。但是計算函數(shù)Lipschitz常數(shù)復(fù)雜度太高,不利于實際工程中的應(yīng)用?？梢杂靡粋€線性搜索方法[13]來確定步長γk。利用式(8),函數(shù)g(y)=α‖y‖2∞的近端算子可以寫成以下形式:

式中:u=xk+1-γ?f(xk+1)。近端算子(15)可以通過對文獻[14]中的方法改進來精確獲得(算法1),具體的計算步驟如下:

3 對向量b按降序進行排序,s=sort(b,‘descending’)

4 fori=1,2,…,JNM

5 令di=∑i k=1sπ(k),其中sπ(k)表示在向量s中第k大的元素;

13 end if

14 end for

15 end for

16 returny

以上就是計算?2∞近端算子的過程。根據(jù)公式(6)和(7)分別更新變量xk+1和yk+1,求解模型(14)的APGM算法(算法2)如下:

1 輸入xk,γk-1,β,其中β∈(0,1)

2 令γ=γk-1

3 fork=1,2,…,K

4z=proxγg(xk-γ?f(xk))

5 iff(z)≤^fγ(z,xk),where^fγ(z,w)=f(w)+

6 break

7 end if

8 更新γ=βγ

9 end for

10輸出yk+1=z

3.3 算法復(fù)雜度分析

APGM求解問題(14)由算法1和算法2組成。在算法1中,計算向量b的值需要O(MJN)的復(fù)雜度,對向量b進行排序需O(1/2·MJNlb(JN))的計算量,計算j和μ的復(fù)雜度為O(MJN)?！瑉-y‖22需要計算向量間的乘法運算,其復(fù)雜度為O(MJN)。由函數(shù)f(y)帶來的梯度?f(y)=QH(Qy-s)計算復(fù)雜度為O(K|Γ|M+1/2·MJNlb(JN))。因此,求解(14)的APGM算法的計算復(fù)雜度主要來自近端算子的排序和函數(shù)梯度的計算,總復(fù)雜度為O(K|Γ|M+MJNlb(JN))。APGM算法與其他算法的算法復(fù)雜度對比如表1所示,可以看出所提出的APGM復(fù)雜度遠低于其他方法,同時算法運行時間也遠小于其他算法。將各種算法運用在大規(guī)模天線陣列中,天線數(shù)目的增加隨之帶來更高的能量消耗,而APGM具有較低的運算復(fù)雜度及更快的運行時間,能夠很好地在實際系統(tǒng)中應(yīng)用。

表1 算法復(fù)雜度分析

4 仿真分析

將APGM算法與現(xiàn)有的迫零預(yù)編碼(Zero-Forcing(ZF)Precoding) 方法、匹配濾波預(yù)編碼(Matched Filtering(MF) Precoding)方法、PMP方法[10]、PRO-ADMM方法[11]、MU-PP-GDm方法[12]進行比較,各種方法的最大迭代次數(shù)如表1所示。為驗證APGM的有效性,在大規(guī)模MIMO-OFDM系統(tǒng)下行鏈路中進行實驗仿真。在基站處設(shè)計100根天線,同時為10個單天線用戶提供服務(wù)。在OFDM系統(tǒng)中,使用IEEE 802.11n中指定的40 MHz模型,子載波個數(shù)設(shè)為128,其中Γ=108個子載波用于數(shù)據(jù)傳輸,在仿真中忽略用作導(dǎo)頻的子載波;Γc=20個子載波用于頻帶保護,使用互補累積分布函數(shù)來評估PAPR降低性能。采用具有格雷映射的16QAM調(diào)制方式,信道為頻率選擇性信道,在時域具有多抽頭結(jié)構(gòu),且抽頭數(shù)設(shè)為D=8。信道時域響應(yīng)矩陣{Hd,d=1,2,…,D}的元素服從均值為0,方差為1的復(fù)高斯分布,對應(yīng)的頻域響應(yīng)矩陣為

圖2給出了APGM與ZF算法、MF算法、PMP方法、PRO-ADMM算法、MU-PP-GDm方法對PAPR抑制的性能比較。在CCDF=Pr(PAPR＞γ)=10-3時,APGM算法只需30次迭代就可將PAPR降低到2 dB,比ZF方法降低了10 dB以上,比PMP方法的PAPR值小1 dB,比MU-PP-GDm算法的PAPR值小3.2 dB,還比PRO-ADMM算法的PAPR值少3.9 dB;PMP算法可以將PAPR降到3 dB,MU-PP-GDm算法可以將發(fā)射信號的PAPR降低到5.2 dB,PROADMM算法將信號的PAPR降低到5.9 dB。APGM只需30次的迭代就可以達到這樣效果,而PMP方法需進行約2 000次的迭代才能將PAPR值降到2.7 dB。從圖中可以看到,APGM的PAPR減少性能優(yōu)于PMP、PRO-ADMM、MU-PP-GDm等算法。

圖2 不同優(yōu)化算法的PAPR值比較

圖3比較了不同算法在加性高斯白噪聲信道上的SER性能,其中信噪比(Sigal-to-Nise Ratio,SNR)定義為SNR=E{‖ym‖}/N0,其中N0表示接收器的噪聲方差?？梢钥吹脚cZF方案相比(在SER=10-2時),APGM的信噪比僅比理想值多1.3 dB左右,與PMP方法相比少0.7 dB,比PROADMM算法少2.5 dB,與MF方法相比少3.8 dB,同時還比MU-PP-GDm算法少6 dB以上。

圖3 不同優(yōu)化算法的SER性能分析

圖4給出了不同算法的迭代次數(shù)對應(yīng)的PAPR對比。CCDF=Pr(PAPR＞γ)=10-3時設(shè)計的APGM經(jīng)過10次迭代就可以將PAPR降低到3.8 dB,經(jīng)過20次迭代PAPR降低到2.4 dB,而經(jīng)過30次迭代PAPR值可以降到2 dB,比迫零預(yù)編碼方法PAPR值減少了10 dB以上;PRO-ADMM方法外迭代200次、內(nèi)迭代2次,總共需400次迭代才能將PAPR值降到5.9 dB;MU-PP-GDm方法經(jīng)過50次迭代可以將PAPR值降到5.2 dB;而PMP方法在100次迭代后PAPR值僅降到10 dB,PMP方法2 000次迭代后PAPR值降到2.7 dB。

圖4 不同迭代次數(shù)的PAPR值比較

在SER=10-2時,從圖5中可以看到APGM在經(jīng)過20次迭代之后信噪比值為0.2 dB,與ZF方案相比損失1 dB,30次迭代之后得到的信噪比為0.5 dB。而PMP方法在1 500次迭代后信噪比為1.2 dB,與ZF方法相比損失2 dB,PMP方法經(jīng)過2 000次迭代之后得到的SNR為1.3 dB。PROADMM方法內(nèi)外循環(huán)迭代共400次之后獲得的信噪比為3 dB,MU-PP-GDm算法經(jīng)過50次迭代得到的信噪為7 dB。從以上仿真實驗可以看出APGM具有更低的復(fù)雜度和更快的收斂速度,只需少量的迭代就可以獲得更低的SER和更好的PAPR抑制效果,因此APGM比存在的其他方法更高效,更利于工程實際中的應(yīng)用。

圖5 不同迭代次數(shù)的SER值比較

5 結(jié)束語

本文針對大規(guī)模MIMO-OFDM系統(tǒng)中較高的PAPR值問題提出了一種低復(fù)雜度的APGM,核心是利用發(fā)射天線的額外自由度將MU預(yù)編碼、OFDM調(diào)制和PAPR抑制聯(lián)合成凸優(yōu)化問題。仿真結(jié)果表明,APGM只需很少的迭代次數(shù)就可以降低發(fā)送信號的PAPR,獲得好的SER性能,同時具有更低的計算復(fù)雜度,更適合工程實際中的應(yīng)用。在今后研究中,考慮將APGM用于非完美信道狀態(tài)信息下的系統(tǒng)模型,同時將發(fā)射信號的功率及帶外散射作為模型的約束,以進一步增強系統(tǒng)的穩(wěn)健性。