從“矩陣論”課程探索課程思政的教學(xué)案例

王詩云

（沈陽航空航天大學(xué) 遼寧·沈陽 211100）

1 研究背景

課程思政指以構(gòu)建全員、全程、全課程育人格局的形式將各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)，把“立德樹人”作為教育的根本任務(wù)的一種綜合教育理念。我國對學(xué)校的思想政治教育工作一直非常重視。

1987年，《中共中央關(guān)于改進(jìn)和加強(qiáng)高等學(xué)校思想政治工作的決定》指出：“高等學(xué)校培養(yǎng)出來的大學(xué)生、研究生，應(yīng)當(dāng)有堅定正確的政治方向，愛祖國、愛社會主義，擁護(hù)共產(chǎn)黨的領(lǐng)導(dǎo)，努力學(xué)習(xí)馬克思主義；應(yīng)當(dāng)熱心于改革和開放，有艱苦奮斗的精神，努力為人民服務(wù)，為實(shí)現(xiàn)具有中國特色的社會主義現(xiàn)代化而獻(xiàn)身；應(yīng)當(dāng)自覺地遵紀(jì)守法，有良好的道德品質(zhì)；應(yīng)當(dāng)勤奮學(xué)習(xí)，努力掌握現(xiàn)代科學(xué)文化知識。還要從他們中間培養(yǎng)出一批具有共產(chǎn)主義覺悟的先進(jìn)分子?！?994年，《中共中央關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)和改進(jìn)學(xué)校德育工作的若干意見》中提出，要培養(yǎng)學(xué)生“自尊、自信、自強(qiáng)、自立”“正確的世界觀、人生觀和價值觀，培養(yǎng)良好”“艱苦奮斗的精神和堅強(qiáng)的意志品質(zhì)”等。

2004年，中央出臺了加強(qiáng)學(xué)校思想政治教育工作的文件《關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)和改進(jìn)大學(xué)生思想政治教育的意見》。上海首先思政教育的探索之路。2010年，上海承擔(dān)國家教育體制改革試點(diǎn)項目“整體規(guī)劃大中小學(xué)德育課程”，建設(shè)大中小學(xué)的德育課程。2014年，德育建設(shè)的探索從思政課程轉(zhuǎn)移到課程思政。

2017中共中央、國務(wù)院印發(fā)了《關(guān)于加強(qiáng)和改進(jìn)新形勢下高校思想政治工作的意見》。2020年，教育部印發(fā)《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》，指出：“培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人、為誰培養(yǎng)人是教育的根本問題，立德樹人成效是檢驗(yàn)高校一切工作的根本標(biāo)準(zhǔn)。”

我們看到，國家對學(xué)生的思想政治教育一直都沒有放松。對學(xué)生的思想政治教育包括了學(xué)生的政治方向、價值取向、人格品質(zhì)、與文化知識等多方面。越來越多的學(xué)校、科學(xué)門類和教師投入到課程思政的教學(xué)模式的研究之中，例如：參考文獻(xiàn)[2,3,4,5,6]。

2 教學(xué)總體設(shè)計

“矩陣論”課程具有比較鮮明的高等數(shù)學(xué)類課程的特點(diǎn)：邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，概念抽象，證明過程構(gòu)造性強(qiáng)。因此，研究如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，如何開展課程思政，從而實(shí)現(xiàn)對學(xué)生的知識傳授，能力培養(yǎng)和價值塑造，是值得關(guān)注的問題。

該課程是沈陽航空航天大學(xué)的研究生必修課程，每個自然授課班大約200人。本課程采用線下授課配合雨課堂軟件的使用，講授過程應(yīng)用PPT，黑板板書、雨課堂的彈幕、白板、主觀題、客觀題、上交作業(yè)等功能。結(jié)課后，下載并保存所有的學(xué)生參與信息和數(shù)據(jù)，評價學(xué)生的平時表現(xiàn)，計入期末總成績。對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程和學(xué)習(xí)成效給予較為全面客觀的評價。

沈陽航空航天大學(xué)的研究生教育蒸蒸日上，授課人數(shù)逐年上升。教師在授課過程中，通過認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕虒W(xué)態(tài)度、啟發(fā)式教學(xué)方法與學(xué)生互動等，將課程知識講授與課程思政在潛移默化中相互融合，弘揚(yáng)社會主義核心價值觀，期望為國家培養(yǎng)更多的優(yōu)秀人才，為國家的宏偉前景貢獻(xiàn)綿薄之力。

白板與黑板相結(jié)合：因?yàn)槭谡n人數(shù)眾多，黑板板書會造成后面的同學(xué)看不見；不板書而直接用PPT，數(shù)學(xué)中的很多推導(dǎo)和證明不易讓學(xué)生理解，因此，本課程采用以PPT和雨課堂的白板為主，黑板為輔的方式。雨課堂的白板用來進(jìn)行重要的證明、推導(dǎo)與計算，以便學(xué)生留存與課后查看；黑板用來講解定義的注釋與簡單的例題。

引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)最小多項式：通過分析待定系數(shù)法，發(fā)現(xiàn)除數(shù)的次數(shù)越低越便于運(yùn)算，觀察特征多項式與Hamilton-Cayley定理，得到零化多項式的概念，進(jìn)一步得到最小多項式的概念。

思政教育：教師引導(dǎo)學(xué)生一直處于“學(xué)習(xí)知識—解決問題—發(fā)現(xiàn)新問題—尋求解決方案—學(xué)習(xí)新的知識”這樣的學(xué)習(xí)狀態(tài)中，潛移默化的磨練了學(xué)生的意志和行為習(xí)慣：認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)，吃苦耐勞。同時，在此過程中，學(xué)生感受到由拼搏帶來的滿滿的舒暢的成就感與幸福感，有助于學(xué)生形成“只有拼搏，才有幸福，筑夢踏實(shí)”的價值觀與幸福觀，增加學(xué)生用知識服務(wù)社會的意識和信心。

教學(xué)案例—待定系數(shù)法和最小多項式定義：在講解待定系數(shù)方法和最小多項式的概念時，從計算高次矩陣多項式、Hamilton-Cayley定理引出待定系數(shù)方法的構(gòu)成原理，再從待定系數(shù)法的原理和應(yīng)用切入，引出最小多項式的觀念，從而更好的計算矩陣多項式。

發(fā)現(xiàn)計算矩陣多項式的繁瑣，引出Hamilton-Cayley定理：回顧應(yīng)用約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形計算矩陣多項式的過程，師生一起感嘆，求解過程的繁瑣。引出Hamilton-Cayley定理的內(nèi)容。

通過Hamilton-Cayley定理，引出大除法：教師通過舉簡單例子說明應(yīng)用大除法和 Hamilton-Cayley定理在求解矩陣多項式中的應(yīng)用（黑板板書）。

發(fā)現(xiàn)大除法不適合計算高次多項式，引出待定系數(shù)法：舉一個100次的多項式。應(yīng)用大除法就顯得過于麻煩了（黑板板書）。觀察用大除法，帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在計算矩陣多項式時，用特征多項式做除數(shù)，得到的商不起實(shí)質(zhì)性的作用，起作用的是余數(shù)。余數(shù)的次數(shù)可以根據(jù)特征多項式確定下來，那我們只要確定余數(shù)的系數(shù)即可——待定系數(shù)法。

學(xué)習(xí)應(yīng)用待定系數(shù)法：

在計算矩陣多項式時，用特征多項式做除數(shù)，得到的余數(shù)由學(xué)生自己表示；接下來這些系數(shù)用什么方法求呢——利用特征值。特征值是特征多項式的根，建立等式，從而確定系數(shù)。以100次多項式為例，應(yīng)用待定系數(shù)法求解（白板板書）。

思考待定系數(shù)法的弊端，發(fā)現(xiàn)除數(shù)多項式的可換：

教師先提問：“待定系數(shù)法的實(shí)現(xiàn)，依靠的是特征多項式和余數(shù)多項式，需要余數(shù)多項式的系數(shù)，那么余數(shù)多項式的次數(shù)是越高越好還是越低越好呢？是什么決定了余數(shù)多項式的次數(shù)呢？如果想降低余數(shù)多項式的次數(shù)，該從何入手呢？”（學(xué)生彈幕回答）。這一系列問題需要學(xué)生獨(dú)立思考作答。從而發(fā)現(xiàn)，學(xué)生解決了第一個問題，即替換除數(shù)多項式也就是特征多項式才是根本的簡化運(yùn)算的方法。

分析特征多項式的特點(diǎn)，引出最小多項式：

教師提問：“什么樣的多項式才能替換掉特征多項式”。學(xué)生思考后，會發(fā)現(xiàn)，要想解答這個問題，首先需要研究“特征多項式為什么能夠做除數(shù)呢，他的特點(diǎn)是什么”？接下來，教師帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)特質(zhì)多項式的特征，回顧哈密爾頓—凱萊定理（白板板書）。學(xué)生思考后，給出分析：以該矩陣為根的所有多項式都可以替代特征多項式做除數(shù)。從而引出“零化多項式”的概念（白板板書）。教師提問“在所有的零化多項式，哪一個最適合用作待定系數(shù)法的除數(shù)呢（學(xué)生彈幕回答）”。經(jīng)過上面的一系列鋪墊，學(xué)生很容易得到“最小多項式”的結(jié)論。接下來教師才開始講解最小多項式。

分析最小多項式的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)試探法求最小多項式：

分析零化多項式和最小多項式的特點(diǎn)，帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，最小多項式一定以所有特征值為根，而且次數(shù)小于特征多項式，從而可以用“試探法”確定個因子的次數(shù)。

應(yīng)用最小多項式和待定系數(shù)法計算矩陣多項式：

到此待定系數(shù)法的構(gòu)成和最小多項式的作用已經(jīng)非常清楚明了，教師再舉例計算某矩陣的最小多項式和該矩陣的高次多項式即可。

上面的這個引入待定系數(shù)法和最小多項式的方式，很自然的引導(dǎo)學(xué)生去思考去發(fā)現(xiàn)，從而能很容易的理解“最小多項式”這個概念的來源、意義與應(yīng)用，同時學(xué)生在這個過程中，不僅數(shù)學(xué)思維得到了鍛煉，而且，通過自己的努力與思考解決了問題，獲得了“成就感和幸福感”。實(shí)現(xiàn)了知識講授和課堂思政的融合，對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、人格塑造和價值觀的形成都在潛移默化中實(shí)現(xiàn)了。

3 結(jié)束語

數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面：教師在授課時，加強(qiáng)數(shù)學(xué)史的滲透—對知識點(diǎn)“追蹤溯源”。仔細(xì)剖析教材知識點(diǎn)，爭取將更多知識點(diǎn)的發(fā)展歷史與知識點(diǎn)之間的聯(lián)系加入教學(xué)中。陳省身先生曾說過“了解歷史的變化，是了解這門科學(xué)的一個步驟”，讓學(xué)生體會到該課程是在繼承和發(fā)展原有理論的基礎(chǔ)上建立起來的，是一門時刻積累和發(fā)展的學(xué)科。對于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的鍛煉和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)都是非常重要的。本課程作為研究生數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課程之一，對于鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維以及提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面有較強(qiáng)的作用。通過該課程，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、理解能力和創(chuàng)新能力以及培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的作風(fēng)和思維模式。

價值觀方面：查閱資料，爭取將更多知識點(diǎn)的應(yīng)用加入教學(xué)中。學(xué)生每次課都在“學(xué)習(xí)知識—解決問題—發(fā)現(xiàn)新問題—尋求解決方案—學(xué)習(xí)新的知識”這樣的學(xué)習(xí)狀態(tài)中，慢慢體會到了自己思維能力的進(jìn)步所體會到的成就與幸福的感受，是非常鮮明和令人振奮的。形成“筑夢踏實(shí)，拼搏創(chuàng)造幸福”的價值觀與幸福觀。同時也增加了學(xué)生“用知識服務(wù)于社會，用知識創(chuàng)造美好生活”的信心。

人格塑造方面：長期的學(xué)習(xí)、思考和推理的鍛煉，培養(yǎng)了學(xué)生認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)、踏實(shí)肯干、吃苦耐勞的精神。