在探究中培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力

甘小生++李朝暉

抽象和概括是兩種常用的數(shù)學(xué)思維方法，數(shù)學(xué)概念、原理、命題的形成都需要進(jìn)行抽象與概括。小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要特點(diǎn)就是在形象思維的基礎(chǔ)上，逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，這樣有利于學(xué)生正確理解掌握數(shù)學(xué)概念，并能運(yùn)用概念形成恰當(dāng)?shù)脑?、命題，進(jìn)行合乎邏輯的推理。下面結(jié)合“人教版”《數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)《平行與垂直》的教學(xué)，談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)并提出小學(xué)生的抽象概括能力。

一、獲取自然的數(shù)學(xué)原型，提供必要的抽象素材

抽象是透過事物的表象獲得事物的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)屬性。教學(xué)中，應(yīng)盡量為學(xué)生提供有代表性的材料及必要的變式情境，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的多種感官，讓學(xué)生善于從諸多表象中發(fā)現(xiàn)它們的共同屬性。教學(xué)時(shí)，筆者先讓學(xué)生在一張長(zhǎng)方形紙上任意畫兩條直線，要求分別畫出幾組形狀和位置不同的圖形。通過操作學(xué)生感受到在同一平面內(nèi)的這些圖形都由兩條直線組成，初步建立同一平面內(nèi)兩條直線位置關(guān)系的表象，為后面深入學(xué)習(xí)兩條直線間位置關(guān)系的差異性與同一性提供一個(gè)探究平臺(tái)。

二、探究?jī)?nèi)在的共性特點(diǎn)，掌握常用的抽象方法

看似非常復(fù)雜的抽象過程都涉及比較和區(qū)分、舍棄和抽取四個(gè)環(huán)節(jié)。其中比較和區(qū)分就是確定研究對(duì)象的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，它是抽象的基礎(chǔ)。舍棄和抽取是在比較和區(qū)分的基礎(chǔ)上，舍棄掉研究對(duì)象次要的、非本質(zhì)的因素，抽取研究對(duì)象中我們需要的某些最本質(zhì)的特性。筆者在執(zhí)教《平行與垂直》時(shí)，挑選能呈現(xiàn)各種典型情況的學(xué)生作品（如圖）展示在黑板上，再讓學(xué)生按照一定的標(biāo)準(zhǔn)分類。

學(xué)生先獨(dú)立思考，然后將分類情況進(jìn)行交流。剛開始出現(xiàn)了以下幾種分法：

第一種，分為兩類——相交的一類（圖1、圖2、圖3、圖4、圖6），不相交的一類（圖5、圖7）。

第二種，分為三類——相交的一類（圖1、圖4、圖6），快要相交的一類（圖2、圖3），不相交的一類（圖5、圖7）。

第三種，分為四類——相交的一類（圖1、圖4），快要相交的一類（圖2、圖3），不相交的一類（圖5、圖7），相交成直角的一類（圖6）。

不同的分法反映了不同層次的學(xué)生認(rèn)知體驗(yàn)的真實(shí)性，也為更好地理解與掌握平行的本質(zhì)特征提供探究方向。此時(shí)，筆者問：直線有什么特點(diǎn)？學(xué)生答：直線無限長(zhǎng)，可以向兩端無限延長(zhǎng)。緊接著，筆者讓學(xué)生把快要相交中的兩條直線向兩端延長(zhǎng)試一試，看它們能否相交？

最后，學(xué)生在動(dòng)手操作、交流討論后達(dá)成共識(shí)：圖2、圖3中快要相交的兩條直線延長(zhǎng)后實(shí)際上是相交了，圖6中兩條直線相交成直角實(shí)際也是相交的，只不過是相交中的一種特殊位置關(guān)系。對(duì)于第三種分類方法，前面是根據(jù)兩條直線是否相交的標(biāo)準(zhǔn)來分類的，可是相交成直角是按照兩條直線相交后所成的角度來分類的，前后標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一。經(jīng)過反復(fù)比較、區(qū)分、舍棄，最終將圖分成了兩大類，即相交的一類和不相交的一類。

三、提煉簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)本質(zhì)，學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的概括方法

數(shù)學(xué)概念、原理是極度抽象概括的，教師必須在學(xué)生積累感性認(rèn)識(shí)、掌握研究對(duì)象本質(zhì)屬性的基礎(chǔ)上，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生用完整、準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔、嚴(yán)密的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述出來或用數(shù)量關(guān)系式（公式、符號(hào)）表達(dá)出來。

教學(xué)中，筆者分別嘗試用以下幾種不同方法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行概括：

巧設(shè)問題，培養(yǎng)概括的邏輯性。在學(xué)生對(duì)兩條直線的位置關(guān)系分類達(dá)成共識(shí)后，筆者告訴學(xué)生，像圖5、圖7這樣的兩條直線在數(shù)學(xué)上叫平行線，并提出問題：你能給平行線下個(gè)定義嗎？同時(shí)，設(shè)計(jì)以下問題引導(dǎo)學(xué)生思考：平行線是幾條直線間的位置關(guān)系？這兩條直線是在幾個(gè)平面內(nèi)？?jī)蓷l直線是永不相交，還是看似不相交？

補(bǔ)充句子，培養(yǎng)概括的完整性。小學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)研究對(duì)象的屬性進(jìn)行概括的能力還不夠強(qiáng)，教師有必要設(shè)計(jì)句子補(bǔ)充練習(xí)，幫助學(xué)生完整地進(jìn)行概括。教學(xué)中，筆者設(shè)計(jì)如下擴(kuò)充句子練習(xí)：在同一平面內(nèi)， 的 直線叫做平行線，也可以說這 直線互相平行。

選詞填空，培養(yǎng)概括的準(zhǔn)確性、簡(jiǎn)潔性。數(shù)學(xué)概念、原理、命題都是用簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言敘述的。教學(xué)中，通過挑選詞語(yǔ)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)準(zhǔn)確用詞。為了讓學(xué)生正確理解和掌握平行線的本質(zhì)特征，可設(shè)計(jì)一道選詞填空題：在同一（ ）內(nèi)（長(zhǎng)方形、平面），不相交的（ ）直線叫做平行線（一條、兩條），也可以說這兩條直線（ ）（平行、互相平行）。

列舉反例，培養(yǎng)概括的嚴(yán)密性。根據(jù)以往教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于平行線的定義，學(xué)生容易忽視限制條件“在同一平面內(nèi)”。教學(xué)中，必須適時(shí)列舉學(xué)生比較熟悉的實(shí)際生活中兩條異面不相交的直線，同時(shí)，課件出示下圖辨析，讓學(xué)生明白“在同一平面內(nèi)”是兩條直線互相平行不可缺少的前提條件。

符號(hào)表示，培養(yǎng)概括的簡(jiǎn)捷性。數(shù)學(xué)符號(hào)在數(shù)學(xué)中不僅是非常重要的一種語(yǔ)言，也是研究數(shù)學(xué)的工具。數(shù)學(xué)符號(hào)具有抽象性、明確性、可操作性、簡(jiǎn)明性和通用性。符號(hào)的使用是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)表達(dá)的重要形式。在學(xué)生認(rèn)識(shí)了平行線的本質(zhì)屬性并能用語(yǔ)言概括后，筆者出示下圖，向?qū)W生介紹用符號(hào)表示平行線的方法：圖中直線a與直線b互相平行，用符號(hào)“∥”來表示平行，a與b互相平行，記作a∥b，讀作a平行于b。

四、拓展新的屬性特征，培養(yǎng)學(xué)生有層次的抽象概括

數(shù)學(xué)中有些概念是在已有的抽象認(rèn)知基礎(chǔ)之上再次進(jìn)行抽象概括形成的，較好地體現(xiàn)了抽象概括的層次性和深刻性?！镀叫信c垂直》就是很好的教學(xué)范例，在學(xué)生理解了平行的本質(zhì)特征后，筆者讓學(xué)生觀察相交的情況，思考：“你發(fā)現(xiàn)相交圖形中的角有什么特點(diǎn)？”使學(xué)生關(guān)注“相交所成角”這一屬性。學(xué)生仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)：兩條直線相交都形成了四個(gè)角，有的是銳角，有的是鈍角，還有一種比較特殊，四個(gè)角都是直角。為了讓學(xué)生獲得更清晰、更嚴(yán)密的認(rèn)識(shí)，筆者請(qǐng)學(xué)生用學(xué)具量一量，驗(yàn)證相交后成直角的現(xiàn)象，進(jìn)而讓學(xué)生抽象概括出互相垂直的概念，即“兩條直線相交成直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線”。接下來，出示下面三幅圖，讓學(xué)生觀察、比較它們有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，從中能發(fā)現(xiàn)什么。

學(xué)生通過觀察、比較、討論，得出：垂直的關(guān)鍵要素是兩條直線相交是否成直角，與直線擺放的方位無關(guān)，也就是說怎樣擺放是非本質(zhì)屬性。

以上教學(xué)幫助學(xué)生克服了思維定勢(shì)，養(yǎng)成了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，學(xué)會(huì)了科學(xué)的探究方法。

抽象與概括是小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的兩種思維方法，教師要充分估計(jì)學(xué)生學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)的問題，設(shè)計(jì)好教學(xué)活動(dòng)，教給學(xué)生必要的抽象概括方法，適時(shí)引導(dǎo)點(diǎn)撥，培養(yǎng)和提高學(xué)生的抽象概括能力，同時(shí)，避免思維定勢(shì)，增強(qiáng)學(xué)生思維的深刻性。