淺談混合式教學(xué)在高校課程中的應(yīng)用
——以《數(shù)學(xué)分析》為例

丁 盈 李素蘭

（浙江工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 浙江·杭州 310023）

一般來說，混合式教學(xué)是指把網(wǎng)絡(luò)教學(xué)的優(yōu)勢和傳統(tǒng)教學(xué)的優(yōu)勢結(jié)合起來的一種“線上+線下”的教學(xué)模式。通過“線上+線下”兩種教學(xué)的有機(jī)結(jié)合，混合式教學(xué)能引導(dǎo)學(xué)習(xí)者由淺到深地學(xué)習(xí)。在學(xué)習(xí)過程中，該模式既能發(fā)揮教師引導(dǎo)、啟發(fā)、監(jiān)控教學(xué)過程的主導(dǎo)作用，又能充分體現(xiàn)學(xué)生作為學(xué)習(xí)主體的主動(dòng)性、積極性與創(chuàng)造性。

數(shù)學(xué)分析課程是浙江工業(yè)大學(xué)健行學(xué)院理科實(shí)驗(yàn)班的大一必修科目，也是很多后續(xù)課程的基礎(chǔ)，其重要性是顯而易見的。但這門功課對于初入大學(xué)校門的新生來說，難度較高。分析原因主要有三。首要原因是學(xué)生不易改變已有的思維方式，對抽象的概念的理解往往不到位。其次是學(xué)生不適應(yīng)高校的教學(xué)模式。學(xué)生往往對教師有很大的依賴性，缺乏自主學(xué)習(xí)的能力。第三是學(xué)習(xí)方法有待提高。學(xué)生往往重視刷題而輕視歸納和應(yīng)用。

健行學(xué)院理科實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生來源主要由三部分組成，一是三位一體招考入學(xué)，二是高考高分考入，三是在大一第二學(xué)期初由全校優(yōu)秀學(xué)生選拔進(jìn)入?？傮w來看，這些學(xué)生的學(xué)風(fēng)端正，心態(tài)積極，綜合素質(zhì)高，而且數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識比較扎實(shí)。但我們也發(fā)現(xiàn)，這些學(xué)生存在某些不足。例如，健行學(xué)院的學(xué)生定位較高，學(xué)生要完成的學(xué)業(yè)量要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他學(xué)院。這就在客觀上造成了學(xué)生精力分散、學(xué)習(xí)時(shí)間不足的現(xiàn)象，進(jìn)而形成學(xué)生無法對所學(xué)課程深入思考，卻只能淺嘗輒止的結(jié)果。主觀上，學(xué)生與學(xué)生之間的差異較大。一些學(xué)生對上課的重點(diǎn)要點(diǎn)只能看到表象無法深入，缺乏理解能力；一些學(xué)生只能模仿，無法獨(dú)立思考，缺乏舉一反三的能力；一些學(xué)生對課堂內(nèi)容掌握得較好，但無法由點(diǎn)到面，缺乏對知識整體性的理解；還有些學(xué)生掌握知識的能力較強(qiáng)，但缺乏處理實(shí)際問題能力。

對此，我們在已有的線下課基礎(chǔ)上，對數(shù)學(xué)分析課程進(jìn)行了混合式教學(xué)模式的改革，重點(diǎn)增加線上課程，強(qiáng)調(diào)線下線上課程的結(jié)合。我們通過線上課程為學(xué)生提供教學(xué)視頻、教學(xué)電子圖書、作業(yè)實(shí)時(shí)反饋等，通過線下課程為學(xué)生精講細(xì)講課程的重點(diǎn)難點(diǎn)，與學(xué)生進(jìn)行面對面的交流、互動(dòng)與激勵(lì)，以期通過兩種模式的融合，揚(yáng)長避短，最大限度地發(fā)揮兩種模式的優(yōu)勢，因材施教，讓學(xué)生獲得個(gè)性化的教學(xué)輔助，充分享受各種有針對性的教育資源。在本次改革中我們主要做了以下工作。

1 通過線上課引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生的背景，通過線下課給出學(xué)生解決問題的概念和方法

數(shù)學(xué)問題往往是從實(shí)際生活中產(chǎn)生的。因此在學(xué)習(xí)如何解決數(shù)學(xué)問題的過程中，背景介紹就不可或缺。介紹背景不僅可以幫助學(xué)生理解問題本身，也可以幫助學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，逐漸養(yǎng)成用數(shù)學(xué)思維看問題的習(xí)慣。為此，在每次推出新的數(shù)學(xué)概念之前，我們都會(huì)在線上課中給出詳細(xì)的背景介紹。例如，在給出導(dǎo)數(shù)概念之前，我們會(huì)在線上課中給出用牛頓和萊布尼茲的方法分別求運(yùn)動(dòng)物體的平均速度和任意曲線的切線方程的背景介紹；在給出泰勒公式之前，我們會(huì)在線上課中用多項(xiàng)式來逼近擬合函數(shù)，用高次泰勒多項(xiàng)式提高精度并討論函數(shù)；在給出定積分概念之前，我們會(huì)在線上課中給出切塊求曲邊梯形面積和變速物體運(yùn)動(dòng)路程的模型介紹。通過網(wǎng)絡(luò)視頻、計(jì)算機(jī)模擬和動(dòng)畫效果等線上手段，可以極大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，增強(qiáng)學(xué)生對問題的直觀感受。在此基礎(chǔ)上，在面對學(xué)生進(jìn)行線下教學(xué)時(shí)，我們不僅可以針對問題直接給出抽象概念和操作方法，還可以在給出概念和方法之后返回實(shí)際背景，在背景中找到相應(yīng)的要素，實(shí)現(xiàn)理論和實(shí)際的結(jié)合。這樣通過線上線下課的配合，有效地避免了學(xué)生在學(xué)完某一章節(jié)的內(nèi)容后，雖然知道具體的概念方法卻不知道如何應(yīng)用以及在哪里應(yīng)用的現(xiàn)象的出現(xiàn)。

2 通過線下課精講細(xì)講重要的概念和定理，通過線上課厘清概念定理之間的差異

眾所周知，概念和定理是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重中之重。在學(xué)習(xí)重要的概念和定理最好采用面對面的交流與互動(dòng)，這不但有利于學(xué)生反饋掌握程度教，而且有利于師掌控學(xué)生的理解情況。因此，我們在線下課中安排了精講細(xì)講重要概念和定理的環(huán)節(jié)。例如，在講解數(shù)列極限存在的“-N”語言時(shí)，我們分別從的任意性，N的存在性，以及nN的任意性等角度著手，結(jié)合幾何直觀，反復(fù)講解。在學(xué)生對概念有了一定認(rèn)識之后，我們通過具體實(shí)例來尋找N，讓學(xué)生在實(shí)際操作中體會(huì)到和N的意義。我們還運(yùn)用反例角度輔助學(xué)生理解和N的關(guān)系。之后，再通過介紹函數(shù)極限性質(zhì)的證明，讓學(xué)生逐漸熟悉這個(gè)概念并學(xué)會(huì)應(yīng)用。在線下精講細(xì)講后，為了幫助學(xué)生厘清各類概念定理之間的差異，我們在線上課專門對此進(jìn)行比較。例如，我們在線上課中對數(shù)列極限存在的“-N”語言和函數(shù)極限存在的語言進(jìn)行了比較。比較的重點(diǎn)放在N與的差別和聯(lián)系上。又如，我們在線上課中對收斂數(shù)列的有界性和函數(shù)極限存在時(shí)的局部有界性僅了比較，重點(diǎn)放在講清為什么后者只是局部有界而非全局有界。這樣的比較能使學(xué)生通過對前后知識進(jìn)行對比梳理，加深理解,避免出現(xiàn)由于概念定理混淆導(dǎo)致解題時(shí)思路混亂的現(xiàn)象出現(xiàn)。

3 通過線上課拋出問題并引導(dǎo)學(xué)生多角度思考，通過線下課用多種方法解題

從不同的角度思考數(shù)學(xué)問題往往會(huì)給出不同的解法。一題多解不僅能讓學(xué)生牢固地掌握和運(yùn)用知識，而且能開闊學(xué)生思路，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力。因此我們鼓勵(lì)學(xué)生多角度地思考問題和比較問題。我們常常在線上課中先給出一些可以一題多解的例子，拓寬學(xué)生的思路，然后拋出問題，引導(dǎo)學(xué)生自己從多個(gè)方面進(jìn)行思考。例如，在計(jì)算極限時(shí)，我們給出不同類型的題目，提示學(xué)生從極限的定義、等價(jià)無窮小的比較、泰勒展開公式、極限的運(yùn)算法則、重要極限、洛必達(dá)法則、微分中值定義、夾逼定理、單調(diào)有界定理等多個(gè)角度入手。又如，在函數(shù)求導(dǎo)的過程中，我們提示學(xué)生可以用從復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、隱函數(shù)求導(dǎo)、參數(shù)方程求導(dǎo)、反函數(shù)求導(dǎo)等多角度入手，并讓學(xué)生自行演算。在深入思考一段時(shí)間后，我們組織線下課，和學(xué)生面對面地逐一對這些題目進(jìn)行講解比較。我們讓學(xué)生在黑板上展示不同的做法供大家參考借鑒，使學(xué)生能通過對不同解法的比較體會(huì)到每種解法的著眼點(diǎn)，相互之間的聯(lián)系和區(qū)別，以及每種解法的優(yōu)勢和劣勢。這樣不僅加深了學(xué)生對問題本身的理解，而且能引導(dǎo)學(xué)生觸類旁通地把解法遷移到其他問題中去，從而達(dá)到一題多解的目的。

4 通過線下課詳細(xì)講解知識要點(diǎn)，通過線上課歸納總結(jié)對比知識點(diǎn)之間的脈絡(luò)關(guān)系

數(shù)學(xué)分析這門課程的內(nèi)容繁多，知識點(diǎn)之間的關(guān)系緊密，一環(huán)扣一環(huán)。而初學(xué)者在學(xué)習(xí)過程中往往只重視當(dāng)次所講的要點(diǎn)，而忽視要點(diǎn)和要點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)。時(shí)間一長，容易造成知識點(diǎn)割裂散碎的現(xiàn)象出現(xiàn)。于是，對知識點(diǎn)進(jìn)行梳理，使之成為有機(jī)整體，就顯得格外重要。因此，我們一般安排在線下課中詳細(xì)講解知識要點(diǎn)，在線上課中歸納總結(jié)知識點(diǎn)之間的聯(lián)系。例如，在線下課中講了函數(shù)的可微性后，我們會(huì)在線上課中把它和等價(jià)無窮小量聯(lián)系起來；在線下講了微分中值定理后，我們會(huì)在線上總結(jié)它和函數(shù)可微性之間的關(guān)系；在線下講了泰勒公式后，我們會(huì)在線上把它和等價(jià)無窮小、函數(shù)可微性以及微分中值定理串起來講。通過這樣的串講，學(xué)生容易體會(huì)到幾個(gè)要點(diǎn)之間的聯(lián)系。又如，在線下講了多元函數(shù)的性質(zhì)后，我們會(huì)在線上總結(jié)對比一元和多元函數(shù)的各種性質(zhì)。我們從連續(xù)性、可微性、可導(dǎo)性等角度出發(fā)，給出兩者之間的聯(lián)系和差別，讓學(xué)生認(rèn)識到多元函數(shù)不是一元函數(shù)的簡單推廣，一旦維數(shù)增加，情況的復(fù)雜程度會(huì)大大增加。在線上課的示范下，學(xué)生會(huì)逐漸學(xué)會(huì)對學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié)。這些總結(jié)能使學(xué)生對自己的薄弱環(huán)節(jié)有更清晰的認(rèn)識，從而促成更有針對性的高效復(fù)習(xí)。

5 通過線下批改作業(yè)指出學(xué)生錯(cuò)誤原因，通過線上課統(tǒng)一講解易錯(cuò)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)

作業(yè)反饋是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析課程必不可少的環(huán)節(jié)，它能幫助學(xué)生明確自己在認(rèn)知上存在哪些錯(cuò)誤和不足。這些錯(cuò)誤和不足中，有些是由于學(xué)生自身理解不到位造成的，有些是具有共性的。對這兩種類型的問題，我們采用了區(qū)別對待的方法。對于個(gè)別學(xué)生的問題，我們通過線下一對一的方式解決。我們往往采用面談的方式分析錯(cuò)誤所在，中間穿插知識點(diǎn)的講解，并要求學(xué)生訂正。對于有共性的問題，我們會(huì)在線上課中一起講解。講解不僅包括錯(cuò)誤和不足點(diǎn)，也包括由此引申出的相關(guān)知識點(diǎn)。這些講解能把學(xué)習(xí)的重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)集中起來，幫助學(xué)生辨析知識點(diǎn)，有助于學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)知識，做到及時(shí)回顧整理，起到溫故而知新的作用。同時(shí)，對于一些線下課已經(jīng)講過但對部分學(xué)生來說仍然難以掌握的問題，我們也會(huì)在線上課中重新講解，讓學(xué)生通過回放的方式反復(fù)理解直至掌握。

綜上所述，我們在本次《數(shù)學(xué)分析》混合式教學(xué)的教學(xué)改革中，通過“線上+線下”兩種教學(xué)的有機(jī)結(jié)合，為學(xué)生提供了多樣化的學(xué)習(xí)途徑，為培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、創(chuàng)造性提供了有力的保障。希望本次改革能對后續(xù)的其他實(shí)踐活動(dòng)產(chǎn)生一定的參考意義。