Klein瓶的一種簡單生成方法

趙姣珍 許道云

摘 要：兩條莫比烏斯（Mobius）帶沿邊緣粘合可形成一個克萊因（Klein）瓶。本文給出一種簡單方法：由平面上一條簡單閉曲線C（閉環(huán)）和位于閉環(huán)C內(nèi)部的一條簡單曲線段L可以生成一條Mobius帶?；谶@一原理，由平面上一條簡單C閉環(huán)和位于C內(nèi)部的另一條簡單閉環(huán)C0就可以生成一個Klein瓶。

關鍵詞：莫比烏斯帶;克萊因瓶;生成方法

中圖分類號：O189.3

文獻標識碼： A

2020年，兩位數(shù)學家Joshua Evan Greene和Andrew Lobb解決了一個百年未解的數(shù)學難題——平面閉環(huán)上內(nèi)接矩形問題[1-2]，問題的最終解決與莫比烏斯帶和克萊因瓶嵌入到四維空間密切相關。所謂的內(nèi)接矩形問題是指：對于平面上任何簡單閉曲線（閉環(huán)），對任意給定的比值r，是否存在環(huán)上的4個點，以此形成的矩形其長寬比為r？問題于1911年提出，看似簡單，其實解決起來困難。2019年，著名華人數(shù)學家陶哲軒用積分方法證明了內(nèi)接矩形是正方形時結(jié)論成立[3]，其論文長達49頁。

早在1977年，數(shù)學家Herbert Vaughan在解決該問題時曾經(jīng)引入一種方法[2]：將矩形表示轉(zhuǎn)化為兩條“長度相等、中點重合”線段。這兩條線段就是矩形的對角線，對于一條線段AB，取中點坐標為（x，y），線段長度為d，可以編碼AB到三維空間中的一個點（x，y，d）。Herbert Vaughan發(fā)現(xiàn)，如果在曲線上按每一對點并對其進行繪制，得到一個令人驚訝的形狀——Mobius帶。

對于一條線段AB的編碼，進一步考慮線段AB與X軸正向的夾角α。于是，平面上的一條線段AB可以編碼到四維空間中的一個點（x，y，d，α）。2019年，C. Hugelmeyer運用Mobius帶嵌入到四維空間的方法證明了至少對1/3的長寬比值，問題的結(jié)論成立[4]。

Joshua Evan Greene和Andrew Lobb再次利用Herbert Vaughan的方法，運用Mobius帶嵌入到四維辛空間，最終解決了這個百年未解的數(shù)學難題[5]，其論文一共只有6頁。當他們把證明結(jié)果發(fā)表出來時，布朗大學數(shù)學家Richard Schwartz贊嘆[2]：萬萬沒想到，解決此問題的正確方式是這樣的！

本文基于Herbert Vaughan的思路和方法，給出Klein瓶的一種簡單生成方法。

1 基本原理

基于Herbert Vaughan的思路和方法[2]，由平面上一條簡單閉曲線C（閉環(huán)）和位于閉環(huán)C內(nèi)部的一條簡單曲線段L可以構(gòu)成一條Mobius帶（圖1）。

2 數(shù)學描述

平面上一條連續(xù)曲線可以用如下參數(shù)方程表示：

值得注意的是：用參數(shù)方程表示曲線時，以參數(shù)t從小到大（或從大到?。┤≈?，隱示曲線段具有“方向”。

當然，也可以在三維空間中考慮C與C0，以及不同位置關系，也許對理解某些物理現(xiàn)象有幫助。正如：太陽、地球和月亮的運行軌道、位置關系、引力函數(shù)、引力場等。太陽、地球和月亮沿各自軌道運動所產(chǎn)生的引力場所模擬圖可參見相關文獻。

Mobius帶和Klein瓶在拓撲學中是一類簡單而有趣的幾何類型，作為單側(cè)曲面尚有一些有意思的問題值得研究。如：基于Mobius帶和Klein瓶定義函數(shù)的曲面積分等。涉及積分，首先得將曲面的表達式弄清楚。本文給出的Mobius帶和Klein瓶的生成有助于深入研究這方面的問題。

參考文獻：

[1]CAROLINE D. Two mathematicians just solved a century-old geometry problem[EB/OL]. （2020-06-29）[2020-10-26]. https：//www.msn.com/en-us/news/technology/two-mathematicians-just-solved-a-century-old-geometry-problem/ar-BB167rFs.

[2]魚羊， 白交. 陶哲軒挑戰(zhàn)失敗的百年數(shù)學問題， 被兩名在家隔離的數(shù)學家破解了[EB/OL]. （2020-07-01）[2020-10-26]. https：//www.sohu.com/a/405573337_464033.

[3]TAO T. An integration approach to the Toeplitz square peg problem [EB/OL]. （2017-06-07）[2020-10-26]. https：//arxiv.org/pdf/1611.07441.pdf.

[4]HUGELMEYER C. Inscribed rectangles in a smooth Jordan curve attain at least one third of all aspect ratios [EB/OL]. （2019-11-19）[2020-10-26]. https：//arxiv.org/pdf/1911.07336.pdf.

[5]GREENE J E， LOBB A. The rectangular peg problem[EB/OL]. （2020-05-19）[2020-10-26].https：//arxiv.org/pdf/2005.09193.pdf.

（責任編輯：周曉南）