正弦激勵(lì)下分段線性剛度能量阱的振動(dòng)抑制研究

崔泰毓　張雷　賈學(xué)志　魏磊

摘 ?要： 分段線性剛度能量阱是非線性能量阱的一種，屬于被動(dòng)減振裝置。該文主要研究正弦激勵(lì)下分段線性剛度能量阱的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)振動(dòng)抑制效果的影響。建立耦合分段線性剛度NES系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，分析分段線性剛度能量阱結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)抑制效果的影響。針對(duì)某衛(wèi)星敏感部件，綜合上述分析結(jié)果選取分段線性剛度NES的參數(shù)，通過(guò)數(shù)值仿真方法計(jì)算得到主結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)幅值降低了47%。

關(guān)鍵詞： 剛度能量阱; 振動(dòng)抑制; 非線性能量阱; 正弦激勵(lì); 參數(shù)分析; 數(shù)值仿真

中圖分類(lèi)號(hào)： TN919?34; TH113.1 ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)： 1004?373X（2020）24?0001?04

Study on vibration suppression of piecewise linear stiffness energy

sinks under sinusoidal excitation

CUI Taiyu1，2， ZHANG Lei1，3， JIA Xuezhi3， WEI Lei3

（1. Changchun Institute of Optics， Precision Machinery and Physics， Chinese Academy of Sciences， Changchun 130032， China;

2. University of Chinese Academy of Sciences， Beijing 100049， China; 3. Changguang Satellite Technology Co.， Ltd.， Changchun 130031， China）

Abstract： The energy sinks with the piecewise linear stiffness is a kind of nonlinear energy sinks （NES）， which belongs to the passive damping device. The influence of the structural parameters of the energy sinks with piecewise linear stiffness on the vibration suppression effect under the sinusoidal excitation is researched. The dynamic model of coupled piecewise linear stiffness NES system is established， and the influence of the structural parameters of the energy sinks with piecewise linear stiffness on the vibration suppression effect of the system is analyzed. The parameters of piecewise linear stiffness NES are selected according to the above analysis results for a satellite sensitive component. The results calculated by the numerical simulation method show that the acceleration response amplitude of the main structure is reduced by 47%.

Keywords： stiffness energy sink; vibration suppression; nonlinear energy sink; sinusoidal excitation; parameter analysis; numerical simulation

0 ?引 ?言

衛(wèi)星在發(fā)射階段會(huì)經(jīng)歷復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)環(huán)境，對(duì)于光學(xué)遙感衛(wèi)星而言，外激勵(lì)可能會(huì)引起光學(xué)部件共振，造成光學(xué)部件振動(dòng)響應(yīng)過(guò)大甚至永久破壞。為降低外部激勵(lì)在固有頻率附近時(shí)對(duì)衛(wèi)星敏感部件的影響，非線性能量阱（Nonlinear Energy Sinks，NES）吸振器以其振動(dòng)能量耗散效率高、魯棒性好和質(zhì)量小的特點(diǎn)[1?2]，已越來(lái)越多地被應(yīng)用于航天設(shè)備振動(dòng)抑制中[3?4]。

非線性能量阱是一種被動(dòng)減振設(shè)備，結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)動(dòng)力吸振器（Dynamic Vibration Absorber，DVA）相同，都是通過(guò)振動(dòng)物體上附加質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，在共振時(shí)產(chǎn)生反作用力使振動(dòng)物體的振動(dòng)減小。但NES與DVA不同的是，其彈簧剛度或阻尼為非線性，通過(guò)產(chǎn)生能量定向傳遞現(xiàn)象（Target Energy Transfer，TET）對(duì)主體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量進(jìn)行高效的吸收和耗散。近年來(lái)對(duì)于NES的研究主要集中于立方剛度NES[5?9]，但在工程應(yīng)用中完美的立方剛度制造和裝調(diào)十分困難[10?11]。由于分段線性剛度這種非線性形式具有易實(shí)現(xiàn)、易調(diào)節(jié)等特點(diǎn)，其N(xiāo)ES逐漸被學(xué)者們所關(guān)注。

YAO H L等人通過(guò)半解析半數(shù)值的方法研究了分段線性剛度NES，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中兩振子能量關(guān)系與立方剛度類(lèi)似，能夠?qū)崿F(xiàn)TET現(xiàn)象[12]，通過(guò)組合片彈簧實(shí)現(xiàn)了分段線性剛度近似代替立方剛度，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，證明了分段線性能量阱有較好的抑振效果。由于正弦激勵(lì)下分段線性剛度NES在工程應(yīng)用中具有優(yōu)越性，故有必要分析分段線性剛度NES結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)其抑振性能的影響。

本文主要研究正弦激勵(lì)下分段線性剛度能量阱的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)抑振效果的影響。本文首先建立了耦合分段線性剛度NES的二自由度系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型;通過(guò)數(shù)值方法分析了分段線性剛度NES結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)抑制效果的影響;針對(duì)某衛(wèi)星敏感部件參數(shù)，綜合上述分析結(jié)果選取了分段線性剛度NES的參數(shù)，并通過(guò)數(shù)值方法驗(yàn)證了其抑振效果。

1 ?分段線性剛度能量阱模型

光學(xué)載荷上某敏感部件的振動(dòng)抑制模型可簡(jiǎn)化為如圖1所示的二自由度系統(tǒng)，該系統(tǒng)由一個(gè)具有線性剛度的單自由度主結(jié)構(gòu)和分段線性剛度能量阱組成。

該系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程表示為：

[m1x1+c1x1+k1x1+c2（x1-x2）+k2（x1-x2）=Fsin（ωt）m2x2+c2（x2-x1）+k2（x2-x1）=0] （1）

式中：[m1]，[x1]，[x1]，[x1]分別為主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、位移、速度以及加速度;[m2]，[x2]，[x2]，[x2]分別為非線性能量阱的質(zhì)量、位移、速度以及加速度;[c1]，[c2]，[k1]，[k2]分別代表主結(jié)構(gòu)和非線性能量阱的粘滯阻尼系數(shù)和剛度系數(shù);[F]為激勵(lì)幅值;[ω]為外激勵(lì)頻率。其中，[k2]為NES的分段線性剛度，其形式見(jiàn)式（2），剛度曲線如圖2所示。

[k2（z）=kn（z-a0），z>a00， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?-a0≤z≤a0kn（z+a0），z<-a0] （2）

式中：[z=x1-x2]為兩振子相對(duì)位移;[a0]為彈簧剛度間隙;[kn]為分段線性剛度NES彈簧剛度系數(shù)。

式（1）可簡(jiǎn)化為：

[x1+λ1x1+ω20x1+ελ2（x1-x2）+εF2（x1-x2）=asin（ωt）εx2+ελ2（x2-x1）+εF2（x2-x1）=0] （3）

式中：[ε= m2m1];[λ1=c1m1];[ελ2=c2m1];[ω20=k1m1];[εF2（z）=k2（z）m1];[a=Fm1];[ω2=k2m1]。

本文所建立的模型中，NES主要的結(jié)構(gòu)參數(shù)有： NES質(zhì)量[m2]、NES彈簧剛度間隙[a0]、NES無(wú)間隙時(shí)的線性固有頻率[ω2]和NES阻尼系數(shù)[λ2]。

2 ?參數(shù)分析

對(duì)于線性系統(tǒng)，一般通過(guò)求解系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)方程分析主結(jié)構(gòu)在固有頻率附近的振動(dòng)響應(yīng)情況，但式（3）由于非線性項(xiàng)的存在，難以得到精確的解析解。本文應(yīng)用Runge?Kutta法求得該方程的數(shù)值解，并通過(guò)繪制幅頻響應(yīng)曲線分析分段線性剛度NES結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)影響。為了方便計(jì)算，取主結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

2.1 ?質(zhì)量比[ε]

NES的質(zhì)量比[ε]在0.1～0.7之間時(shí)，主結(jié)構(gòu)在固有頻率附近的幅頻響應(yīng)如圖3所示。其余參數(shù)為：[a0=0.001]，[ω2=300]，[λ2=5]。

可以看到系統(tǒng)的幅頻曲線為軟式非線性[13]。隨著質(zhì)量比增大，主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)峰值有所降低，且共振頻率也有所下降。當(dāng)[ε>0.05]時(shí)，幅頻響應(yīng)曲線出現(xiàn)了跳躍現(xiàn)象，這是軟式非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)。在實(shí)際工程應(yīng)用中，NES作為附加結(jié)構(gòu)，其質(zhì)量比不可以過(guò)大，且系統(tǒng)的跳躍現(xiàn)象不利于結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定[14]，應(yīng)該避免。

2.2 ?彈簧剛度間隙[a0]

NES剛度間隙[a0]值在0～0.003之間時(shí)，主結(jié)構(gòu)在固有頻率附近的幅頻響應(yīng)如圖4所示。NES其余參數(shù)為： [ε=0.05]，[ω2=300]，[λ2=5]。

當(dāng)[a0]=0時(shí)，系統(tǒng)為線性二自由度系統(tǒng);而當(dāng)[a0]=0.003時(shí)，NES振子由于無(wú)法觸發(fā)彈簧振動(dòng)，已退化成帶有質(zhì)量的阻尼器。以這兩個(gè)共振峰交點(diǎn)附近為分界，系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)隨[a0]變化過(guò)程可分為3個(gè)階段：

1） [a0]<0.001，系統(tǒng)線性特征比較明顯，可以看到隨著[a0]增大，主結(jié)構(gòu)的共振頻率逐漸增大，共振峰值逐漸減小。這時(shí)主結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)有明顯的跳躍現(xiàn)象。

2） 0.001≤[a0]≤0.003，系統(tǒng)在共振區(qū)間的加速的響應(yīng)明顯減小，NES振動(dòng)抑制效果明顯。

3） [a0]>0.003，隨著[a0]逐漸增大，觸發(fā)NES所需的能量逐漸增高，使NES的抑振效果隨著[a0]增大逐漸降低，當(dāng)NES不能觸發(fā)TET最終退化成阻尼器后，繼續(xù)增大[a0]振動(dòng)響應(yīng)也不再發(fā)生變化。

該仿真結(jié)果說(shuō)明彈簧剛度間隙[a0]的取值對(duì)NES抑振效果有重要的影響，在選取NES間隙時(shí)，應(yīng)先選取為較大值，再逐漸降低間隙尋求最優(yōu)的抑振效果，這樣可以防止使系統(tǒng)落入第一階段，以免響應(yīng)幅值突變而對(duì)結(jié)構(gòu)造成不利影響。

2.3 ?NES線性固有頻率[ω2]

NES線性固有頻率[ω2]在250～400之間時(shí)，主結(jié)構(gòu)在固有頻率附近的幅頻響應(yīng)如圖5所示。主結(jié)構(gòu)響應(yīng)在該區(qū)間內(nèi)無(wú)明顯變化，這是與DVA的主要區(qū)別。傳統(tǒng)線性吸振器對(duì)剛度參數(shù)變化十分敏感，而仿真結(jié)果顯示分段性線性剛度NES無(wú)此現(xiàn)象，即分段線性剛度NES在正弦激勵(lì)下的振動(dòng)抑制效果不取決于其剛度。NES其他參數(shù)為：[ε=0.05]，[a0=0.001]，[λ2=5]。

2.4 ?阻尼系數(shù)[λ2]

NES的阻尼[λ2]對(duì)主結(jié)構(gòu)在固有頻率附近幅頻響應(yīng)的影響如圖6所示。NES其余參數(shù)為： [ε=0.05]，[a0=0.005]，[ω2=300]。

在圖6中可以觀察到，隨著[λ2]增大，主結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)幅值減小，最終逐漸趨于幅頻曲線的跳躍點(diǎn)，之后再增大[λ2]幅頻曲線也不會(huì)有變化。由仿真結(jié)果可知，增大NES的阻尼[λ2]，有助于提高振動(dòng)抑制效果。

3 ?NES抑制效果仿真驗(yàn)證

本文根據(jù)某微型敏感部件的等效參數(shù)，對(duì)分段線性剛度NES的參數(shù)進(jìn)行了設(shè)計(jì)，主結(jié)構(gòu)參數(shù)和正弦振動(dòng)仿真輸入激勵(lì)條件如表2和表3所示。

綜合本文分析結(jié)果，根據(jù)第2節(jié)的數(shù)值分析方法分析了NES參數(shù)范圍，在盡量提升抑振效果和避免發(fā)生跳躍現(xiàn)象的條件下選取了NES參數(shù)，如表4所示。

通過(guò)數(shù)值微分方程模塊對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行仿真計(jì)算，安裝分段線性剛度NES前后，主結(jié)構(gòu)時(shí)域響應(yīng)的仿真結(jié)果如圖7所示。

仿真結(jié)果顯示安裝NES前后，主結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)幅值有明顯的下降，加速度峰值由73g下降到35g，降幅達(dá)到47%。結(jié)果表明，根據(jù)本文分析結(jié)果選取的NES參數(shù)能夠降低主結(jié)構(gòu)正弦激勵(lì)的振動(dòng)響應(yīng)。

4 ?結(jié) ?論

本文建立分段線性剛度能量阱動(dòng)力學(xué)模型，分析分段線性剛度能量阱各參數(shù)對(duì)正弦激勵(lì)下主結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，并根據(jù)分析結(jié)構(gòu)對(duì)某衛(wèi)星部件選取了分段線性剛度能量阱參數(shù)，通過(guò)數(shù)值方法對(duì)其加速度響應(yīng)進(jìn)行了仿真計(jì)算。研究結(jié)果表明，正弦激勵(lì)下，分段剛度能量阱的振動(dòng)抑制效果主要由能量阱的質(zhì)量和剛度間隙決定，但這兩個(gè)參數(shù)選取不當(dāng)可能會(huì)使振動(dòng)響應(yīng)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。能量阱隨阻尼的增大振動(dòng)抑制效果變好，但阻尼超過(guò)一定值時(shí)繼續(xù)增大阻尼振動(dòng)響應(yīng)將不會(huì)發(fā)生變化。能量阱自身剛度對(duì)加速度響應(yīng)幾乎不產(chǎn)生影響。仿真結(jié)果顯示，分段線性剛度能量阱以較小的質(zhì)量就能實(shí)現(xiàn)較高的振動(dòng)抑制效果，滿足工程應(yīng)用的需要。

注：本文通訊作者為張雷。

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作者簡(jiǎn)介：崔泰毓（1994—），男，朝鮮族，黑龍江人，碩士，研究方向?yàn)榭臻g遙感相機(jī)隔振抑振。

張 ?雷（1982—），男，山東人，博士，副研究員，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)楣鈱W(xué)遙感衛(wèi)星相機(jī)相關(guān)技術(shù)。