基于新型增強(qiáng)有限元的復(fù)合金屬斷裂模擬分析*

李樂(lè)毅

(四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電與信息工程系，四川 德陽(yáng) 618000)

0 引言

近幾年，國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者設(shè)計(jì)提出了一種新型增強(qiáng)有限元算法，該算法在有限元模擬過(guò)程中無(wú)需設(shè)置額外的單元節(jié)點(diǎn)或多余約束就能夠分析彈性材料中的任意裂紋萌生與擴(kuò)展，以及多條裂紋的相互影響。由于該方法在裂紋擴(kuò)展的數(shù)值分析上具有精度高、穩(wěn)定性好、耗時(shí)短等優(yōu)點(diǎn)，進(jìn)而展現(xiàn)出了更廣的應(yīng)用前景[1-4]，但是，新型增強(qiáng)有限元算法尚未用于模擬復(fù)合金屬材料的裂紋斷裂。為此，本文基于材料力學(xué)推導(dǎo)出復(fù)合金屬材料桿加載模型的解析表達(dá)式，并借助有限元軟件Abaqus討論不同斷裂韌性對(duì)新型增強(qiáng)有限元算法模擬穩(wěn)定性的影響，以揭示該方法潛在的數(shù)值不穩(wěn)定性因素。

1 新型增強(qiáng)有限元算法理論

新型增強(qiáng)有限元算法引入了線性等向強(qiáng)化模型用來(lái)模擬材料網(wǎng)格單元或裂紋擴(kuò)展后子單元的彈塑性效應(yīng)，采用米塞斯屈服函數(shù)對(duì)材料網(wǎng)格單元或裂紋擴(kuò)展后子單元的彈塑性狀態(tài)進(jìn)行動(dòng)態(tài)判斷，一方面結(jié)合三角形內(nèi)聚力模型模擬材料網(wǎng)格單元隨后的裂紋萌生和擴(kuò)展過(guò)程；另一方面，利用有限元軟件Abaqus自帶的用戶自定義程序，將增強(qiáng)有限元算法導(dǎo)入其中。

圖1 復(fù)合金屬材料桿加載過(guò)程中加載點(diǎn)載荷-位移曲線

在第①段加載過(guò)程中，復(fù)合金屬材料桿位于彈性變形狀態(tài)，施加的位移載荷u的界限為：

(1)

(2)

其中：l為桿長(zhǎng)；E為材料的彈性模量。

根據(jù)圖1中第①段曲線的幾何關(guān)系可得：

(3)

其中：σ為材料不同加載時(shí)段的實(shí)時(shí)應(yīng)力；A為桿的橫截面積。從而有：

(4)

在第②段加載過(guò)程中，復(fù)合金屬材料桿位于塑性變形狀態(tài)，施加位移載荷范圍為：

(5)

(6)

其中：h為材料的塑性模量。

根據(jù)圖1中第②段曲線的幾何關(guān)系可得：

(7)

進(jìn)而有：

(8)

在第③段曲線中，復(fù)合金屬材料桿位于內(nèi)聚力裂紋階段，施加位移載荷范圍為：

(9)

(10)

其中：δnc為材料完全斷裂分離的位移臨界值。

根據(jù)圖1中第③段曲線的幾何關(guān)系可得：

(11)

進(jìn)而有：

(12)

在第④段曲線中，復(fù)合金屬材料桿位于內(nèi)聚力裂紋擴(kuò)展階段，施加位移載荷范圍為：

(13)

根據(jù)圖1中第④段曲線的幾何關(guān)系可得：

F=0.

(14)

在第⑤段曲線中，復(fù)合金屬材料桿位于塑性卸載階段，剛卸載時(shí)對(duì)應(yīng)的位移為u*、應(yīng)力為σ*，施加位移載荷范圍為：

(15)

(16)

根據(jù)圖1中第⑤段曲線的幾何關(guān)系可得：

(17)

進(jìn)而有：

(18)

(19)

根據(jù)圖1中第⑥段曲線的幾何關(guān)系可得：

(20)

進(jìn)而有：

(21)

綜上所述，圖1中第①段～④段曲線的載荷F與位移u之間的函數(shù)關(guān)系為：

(22)

圖1中第⑤段、⑥段曲線的載荷F與位移u之間的函數(shù)關(guān)系為：

(23)

2 復(fù)合金屬材料斷裂有限元模擬

2.1 幾何尺寸及材料參數(shù)

復(fù)合金屬材料在工業(yè)生產(chǎn)和制造等領(lǐng)域具有非常廣泛的應(yīng)用，且通常被應(yīng)用于載荷變化復(fù)雜、持續(xù)受力時(shí)間較長(zhǎng)和工況惡劣的環(huán)境，所以極易出現(xiàn)斷裂破壞進(jìn)而導(dǎo)致局部失效甚至全局破壞。因此，精準(zhǔn)模擬復(fù)合金屬材料的斷裂擴(kuò)展具有十分重大的工程實(shí)際意義。采用試驗(yàn)方法進(jìn)行分析時(shí)，通常采用萬(wàn)能拉伸機(jī)對(duì)復(fù)合金屬材料桿進(jìn)行拉伸試驗(yàn)，拉伸試件的標(biāo)準(zhǔn)幾何尺寸如圖2所示。

圖2 復(fù)合金屬材料桿拉伸試件幾何尺寸

復(fù)合金屬材料試件總長(zhǎng)度l=200 mm，左右兩側(cè)夾頭長(zhǎng)度均為70 mm、寬為20 mm，發(fā)生拉伸斷裂破壞的中間部位長(zhǎng)60 mm、寬為12 mm，材料的彈性模量E=60 GPa，塑性模量h=527 MPa，屈服應(yīng)力σy=220 MPa。

2.2 數(shù)值穩(wěn)定與失穩(wěn)對(duì)比

將圖2中的復(fù)合金屬材料拉伸試件簡(jiǎn)化成一維桿模型進(jìn)行有限元數(shù)值模擬。由于復(fù)合金屬材料拉伸試件在試驗(yàn)過(guò)程中發(fā)生伸長(zhǎng)與斷裂的位置主要在l=60 mm處，因此，可以將上述簡(jiǎn)化的一維桿模型劃分成11個(gè)桿單元，同時(shí)通過(guò)改變模擬時(shí)復(fù)合金屬材料的斷裂韌性對(duì)其裂紋斷裂有限元模擬的數(shù)值穩(wěn)定性進(jìn)行討論。

對(duì)簡(jiǎn)化的一維桿模型施加位移載荷直至桿件斷裂的過(guò)程采用新型增強(qiáng)有限元算法進(jìn)行裂紋斷裂有限元數(shù)值模擬，分別取0.2Γ、0.6Γ與1.0Γ(Γ為材料的斷裂韌性值)三種不同斷裂韌性進(jìn)行有限元模擬。三種不同斷裂韌性下加載點(diǎn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線理論解析解與有限元模擬結(jié)果(FEM)對(duì)比如圖3所示。由圖3可以看出:斷裂韌性取0.2Γ時(shí)，應(yīng)變值理論解析解最終為0.076 9，有限元模擬最終值為0.08；斷裂韌性取0.6Γ時(shí)，應(yīng)變值理論解析解最終值為0.078 9，有限元模擬最終值為0.08；斷裂韌性取1.0Γ時(shí)，應(yīng)變值理論解析解與有限元模擬最終值都為0.08。斷裂韌性取0.2Γ和0.6Γ時(shí)，應(yīng)變值有限元模擬結(jié)果與理論解析線不重合，但斷裂韌性取1.0Γ時(shí)，應(yīng)變值有限元模擬結(jié)果與理論解析線重合，這說(shuō)明斷裂韌性取0.2Γ和0.6Γ時(shí)有限元數(shù)值模擬結(jié)果不穩(wěn)定。

圖3 0.2 Γ、0.6 Γ與1.0 Γ三種不同斷裂韌性下加載點(diǎn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線

分別取斷裂韌性為1.0Γ、2.0Γ與6.0Γ,對(duì)簡(jiǎn)化的一維桿模型施加位移載荷直至桿件斷裂的過(guò)程采用新型增強(qiáng)有限元算法進(jìn)一步進(jìn)行裂紋斷裂有限元數(shù)值模擬，加載點(diǎn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線理論解析解與有限元模擬結(jié)果對(duì)比如圖4所示。由圖4可以看出:斷裂韌性取2.0Γ時(shí)，最終應(yīng)變值理論解析解與有限元模擬結(jié)果都為0.085 7；斷裂韌性取6.0Γ時(shí)，最終應(yīng)變值理論解析解與有限元模擬結(jié)果都為0.105 1。圖4的結(jié)構(gòu)說(shuō)明斷裂韌性取2.0Γ與6.0Γ時(shí)，有限元數(shù)值模擬結(jié)果同樣穩(wěn)定。

圖4 1.0Γ、2.0Γ與6.0Γ三種不同斷裂韌性下加載點(diǎn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線

所以，在采用新型增強(qiáng)有限元算法對(duì)復(fù)合金屬材料進(jìn)行裂紋斷裂有限元模擬過(guò)程中，其穩(wěn)定性與設(shè)置的復(fù)合材料斷裂韌性值有關(guān)。當(dāng)設(shè)置的斷裂韌性值小于真實(shí)值時(shí)，會(huì)出現(xiàn)裂紋斷裂有限元模擬結(jié)果失穩(wěn)；當(dāng)設(shè)置的斷裂韌性值大于或等于真實(shí)值時(shí)，復(fù)合金屬材料裂紋斷裂有限元模擬結(jié)果與理論解析結(jié)果高度重合，具有良好的穩(wěn)定性。復(fù)合金屬材料在工程實(shí)際應(yīng)用中，其斷裂韌性值會(huì)隨著加載速度和溫度的變化而動(dòng)態(tài)改變，所以在采用新型增強(qiáng)有限元算法對(duì)復(fù)合金屬材料進(jìn)行裂紋斷裂有限元模擬的過(guò)程中，當(dāng)斷裂韌性值無(wú)法通過(guò)試驗(yàn)精準(zhǔn)確定時(shí)，在有限元模擬過(guò)程中只需設(shè)置較大的斷裂韌性值，就可以穩(wěn)定得到與理論結(jié)果高度重合的復(fù)合金屬材料裂紋斷裂有限元模擬結(jié)果。

3 結(jié)語(yǔ)

將新型增強(qiáng)有限元算法應(yīng)用于復(fù)合金屬材料裂紋斷裂的有限元模擬，并基于材料力學(xué)推導(dǎo)出復(fù)合金屬材料桿加載模型的解析表達(dá)式，最后通過(guò)討論不同斷裂韌性對(duì)新型增強(qiáng)有限元算法模擬穩(wěn)定性的影響，可以得出結(jié)論：當(dāng)復(fù)合金屬材料斷裂韌性值無(wú)法通過(guò)試驗(yàn)精準(zhǔn)確定時(shí)，在有限元模擬過(guò)程中只需設(shè)置較大的斷裂韌性值，就可以穩(wěn)定得到與理論結(jié)果高度重合的復(fù)合金屬材料裂紋斷裂有限元模擬結(jié)果。