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    單K4-群的擬刻畫(huà)①

    2020-12-28 08:15:48李立莉王麗麗
    關(guān)鍵詞:素?cái)?shù)子群刻畫(huà)

    李立莉, 王麗麗

    (1.嶺南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣東 湛江 524000;2.重慶理工大學(xué)理學(xué)院,重慶 400054)

    0 引 言

    文中提到的單群均為有限非交換單群.稱(chēng)群階相異素因子個(gè)數(shù)恰好為n的單群為單Kn-群.M(G)表示有限群G的極大交換子群階的集合.其它的符號(hào)和術(shù)語(yǔ)與文[1]保持一致.

    1997年,陳貴云教授提出猜想:設(shè)G為有限群,H為單群,則G≌H等價(jià)于M(G)=M(H),即用極大交換子群階的集合刻畫(huà)有限單群.陳貴云、王臨紅等人證明了猜想對(duì)某些單群成立(見(jiàn)文[6-11]).特別地,王臨紅用極大交換子群階的集合刻畫(huà)了單K3-群(見(jiàn)文[3]).研究用極大交換子群階的集合刻畫(huà)單K4-群.

    1983年,施武杰教授給出單K4-群的結(jié)構(gòu)(見(jiàn)文[5]),如下:

    命題[5]設(shè)G為2apbqcrd階單群,其中p,q,r為兩兩互素的奇素?cái)?shù)且abcd≠0.則G同構(gòu)于下列群之一:

    (1)A7,A8,A9,A10.

    (2)M11,M12,J2.

    (3)(a)A1(r),其中r為素?cái)?shù)且滿(mǎn)足r2-1=2a3bvc,a≥1,b≥1,c≥1,v>3,v為素?cái)?shù).

    (b)A1(2m),其中m滿(mǎn)足2m-1=u,2m+1=3tb,m≥2,t>3,b≥1,u,t為素?cái)?shù).

    (c)A1(3m),m滿(mǎn)足3m+1=4t;3m-1=2uc或3m+1=4tb;3m-1=2u,其中m≥2,b≥1,c≥1,u,t為素?cái)?shù).

    由文[1]知(1),(2)型單群及單群Sz(8),Sz(32)均可由自身的極大交換子群階的集合所刻畫(huà);由文[8]知A1(q)型單群也可由自身的極大交換子群階的集合所刻畫(huà).因此,以下不防設(shè)單群

    那么,研究單K4-群能否被自身的極大交換子群階的集合刻畫(huà),只需要研究單群R能否被M(R)刻畫(huà).注意到t(Γ(R))≤4.那么,R分以下兩種情況:

    情況1.t(Γ(R))=1或2. 情況2.t(Γ(R))=3或4.

    證得情況2下的R可被M(R)刻畫(huà).不僅如此,對(duì)于情況1下的單群,也給出一些性質(zhì)定理.

    1 t(Γ(R))=3或4

    引理1.1[4]設(shè)G,A均為有限群.若M(G)=M(A),則

    (1) {πi|1it(Γ(G))}={πi|1≤i≤t(Γ(A))}.特別地,π(G)=π(A).

    (2)若(p,q)=1,則pq∈ω(G)當(dāng)且僅當(dāng)pq∈ω(A).

    引理1.2[7]設(shè)G為有限群.若t(Γ(R))≥2,則G為下列群之一:

    (a) Frobenius 或 2-Frobenius;

    (1)N的奇階分量為K/H的某些奇階分量,且t(Γ(K/H))≥t(Γ(G)).

    (2)若N=1,則G/KOut(K).

    定理1設(shè)G為有限群,R=A2(4),G2(3)或U4(3).若M(G)=M(R),則G?R.

    步驟1證明H=1

    情況1R=A2(4).

    由文[4]可知π1(R)={2},π2(R)={3},π3(R)={5}且π4(R)={7}.再由引理1.4(1)可得3,5,7∈π(K/H).

    故K中的5階元和7階元均可共軛作用在Ω1(Z(H))上.注意到5|其中1≤j≤3.那么,當(dāng)1≤i≤3時(shí),K中的5階元平凡地作用在Ω1(Z(H))上.從而G中存在10階元.由M(G)=M(R)可得R中也存在10階元.這與π3(R)={5}矛盾.進(jìn)而i=4.注意到7|其中t=1或2,且||Aut(Ω1(Z(H)))||7=7.那么,考慮K中7階元在Ω1(Z(H))上的作用,可得該7階元在Ω1(Z(H))上有非單位的穩(wěn)定點(diǎn).從而G中存在14階元.再由M(G)=M(R)可得R中也存在14階元.這與π4(R)={7}矛盾.因此,H=1.

    情況2R=G2(3).

    由文[4]可知π1(R)={2,3},π2(R)={7}且π3(R)={13}.再由引理1.4可得7,13∈π(K/H).

    由于π1(R)={2,3},故可設(shè)H=Q2×Q3,其中|Qt|為t的非負(fù)整數(shù)次冪,且t=2或3.由文[2]知R的極大交換2子群的階≤25,且R的極大交換3子群的階≤34.又由M(G)=M(R)可得G的極大交換2子群的階也≤25,且G的極大交換3子群的階也≤34.

    綜合以上的討論,得到H=1.

    情況3R=U4(3).

    由文[4]可知π1(R)={2,3},π2(R)={5}且π3(R)={7}.再由引理1.4可得5,7∈π(K/H).

    由于π1(R)={2,3},故可設(shè)H=Q2×Q3,其中|Qt|為t的非負(fù)整數(shù)次冪,且t=2或3. 由文[2]知R的極大交換2子群的階≤25,且R的極大交換3子群的階≤35.又由M(G)=M(R)可得G的極大交換2子群的階也≤25,且G的極大交換3子群的階也≤35.

    那么,考慮K中7階元在Ω1(Z(Q2))上的作用可得該7階元在Ω1(Z(Q2))上有非單位的穩(wěn)定點(diǎn).從而G中存在14階元.再由M(G)=M(R)可得R中也存在14階元.這與π3(R)={7}矛盾.

    綜合以上的討論,得到H=1.

    步驟2證明K?R.

    由于M(G)=M(R),故π(K)?π(R).再由引理1.4知R的奇階分量為K的階分量.

    情況1R=A2(4).

    由文[2]知π1(R)={2},π2(R)={3},π3(R)={5}且π4(R)={7}.從而π(K)={2,3,5,7},且π1(K)={2},π2(K)={3},π3(K)={5}且π4(K)={7}.由文[4]可得K?R.

    情況2R=G2(3).

    由文[2]知π1(R)={2,3},π2(R)={7}且π3(R)={13}.從而π(K)?{2,3,7,13},且7和13為K的兩個(gè)階分量.由文[4]可得K?A1(3)或R.若K?A1(3),則|K|=22·3·7·13.注意到|K|=26·36·7·13.故R的極大交換3子群的階≥32.由于M(G)=M(R),故G的極大交換3子群的階也≥32.從而3∣|G/K|.由引理1.4(2)知|G/K|∣|Out(K)|,故3∣|Out(K)|.但由文[5]知|Out(K)|=2,矛盾.進(jìn)而K?R.

    情況3R=U4(3).

    由文[2]知π1(R)={2,3},π2(R)={5}且π3(R)={7}.從而π(K)={2,3,5,7},且5和7為K的兩個(gè)階分量.由文[4]可得K?A7,A2(4)或R.若K?A7,則|K|=22·32·5·7.另一方面,由文[2]得R的極大交換3子群的階≥33.由于M(G)=M(R),故G的極大交換3子群的階也≥33.從而3∣|G/K|.由引理1.4(2)知|G/K|∣|Out(K)|,故3∣|Out(K)|.但由文[5]知|Out(K)|=23,矛盾.進(jìn)而K?A2(4)或R.

    假設(shè)K?A2(4).由引理1.4(2)知|G/K|∣|Out(K)|,故|G/K|∣22·3.從而3∣|G/K|,或2∣|G/K|,或G=K.再由引理1.3可得K≤G≤Aut(K).若3∣|G/K|,則由文[2]知G中存在15階元.由于M(G)=M(R),故G中也存在15階元.這與π2(R)={5}矛盾.若2∣|G/K|,則由文[2]知要么G中存在10階元或15階元,要么G中無(wú)12階交換子群.又由M(G)=M(R)可得,要么R中存在10階元或15階元,要么R中無(wú)12階交換子群.但由文[4]知R中5階元自中心化,且存在12階元,矛盾.那么G=K?A2(4).此時(shí)t(Γ(G))=4.由引理1.1可得t(Γ(R))=4.這與t(Γ(R))=3矛盾.進(jìn)而K?R.

    綜合以上的討論,得到K?R.

    步驟3證明G?R.

    由引理1.3可得K≤G≤Aut(K)且G/KOut(K).注意到K?R.故分以下三種情況:

    情況1R=A2(4).

    由文[2]知|Out(R)|=22·3.若G≠R,則2||G/R|或3||G/R|.如果2||G/R|,那么?g∈Out(R)使得R〈g〉≤G,其中g(shù)2∈R.由文[2]知R〈g〉中存在6階元,10階元或14階元.從而G中存在6階元,10階元或14階元.再由M(G)=M(R)可知R中也存在6階元,10階元或14階元.這與π1(R)={2}矛盾.如果3||G/R|,那么?g∈Out(R)使得R〈g〉≤G,其中g(shù)3∈R.由文[2]知R〈g〉中存在6階元.從而G中存在6階元.再由M(G)=M(R)可知R中也存在6階元.這與π2(R)={3}矛盾.因此,G=R.

    情況2R=G2(3).

    由文[2]知|Out(R)|=2.若G≠R,則G=Aut(R),故?g∈Out(R)使得G=R〈g〉,其中g(shù)2∈R.由文[2]知G中存在14階元.再由M(G)=M(R)可知R中也存在14階元.這與π2(R)={7}矛盾.因此,G=R.

    情況3R=U4(3).

    由文[2]知|Out(R)|=23.若G≠R,則?g∈Out(R)使得R〈g〉≤G,其中g(shù)2∈R.由文[2]知R〈g〉中存在10階元.從而G中存在10階元.再由M(G)=M(R)可知R中也存在10階元. 這與π2(R)={5}矛盾.因此,G=R.

    推論設(shè)G為有限群,R為單K4-群,其中t(Γ(R))=3或4.若M(G)=M(R),則G?R.

    證明由文[4]知t(Γ(R))=3或4當(dāng)且僅當(dāng)R為群A2(4),G2(3)或U4(3).再由定理1得該結(jié)論.

    2 t(Γ(R))=1或2

    若t=1或2,則7||Aut(H)|.從而S6(2)的7階元平凡地作用在H上.那么,G有14階交換子群.由M(G)=M(S6(2))可得S6(2)也有14階交換子群.但由文[4]知π2(S6(2))={7},矛盾.

    若t=3,則5||Aut(H)|.從而S6(2)的5階元平凡地作用在H上.那么,G有20階交換子群.又由于M(G)=M(S6(2)),故S6(2)也有20階交換子群.但由文[2]知S6(2)的10階元自中心化,矛盾.

    因此,G/H≠S6(2).

    若t=1或2,則7||Aut(H)|,故的7階元平凡地作用在H上,從而G有14階交換子群.由可得也有14階交換子群.但由文[4]知矛盾.

    若t=3,則5||Aut(H)|,故的5階元平凡作用在H上,從而G有40階交換子群.由可得也有40階交換子群.但由文[5]知中10階元的中心化子的階均為20,矛盾.

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