三參數(shù)下BS疲勞壽命分布的統(tǒng)計(jì)分析①

何友誼

(湖南文理學(xué)院師范學(xué)院，湖南 常德 415000)

0 引 言

電子產(chǎn)品性能的退化、設(shè)備材料零件的損壞、人體器官結(jié)構(gòu)的病變等問題大都并不是由外力瞬間造成，而是因來自自身或外界的某些因素長期的干擾造成的，想要研究這些因素的影響就需要建立起合適的模型。1969年，Birnbaum 與 Saunders 在研究周期應(yīng)力之下由于疲勞度逐漸累積、裂口進(jìn)一步擴(kuò)展而導(dǎo)致失效的機(jī)器零件的模型時，提出了這種描述產(chǎn)品壽命的新分布，Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布[1]從此應(yīng)運(yùn)而生。相比Weibull分布、對數(shù)正態(tài)分布等這類通常適用于描述產(chǎn)品壽命的分布，由于其疲勞失效的基本特征，那些因疲勞導(dǎo)致失效的產(chǎn)品壽命特征用BS分布來表述更貼近。因此，無論是可靠性統(tǒng)計(jì)分析中的疲勞失效研究，還是性能退化評定，該分布模型都運(yùn)用廣泛。又因?yàn)樵摲植嫉膮?shù)估計(jì)相對難度較大，有必要探究簡便而適用的估計(jì)方法，并對其進(jìn)行更進(jìn)一步的分析改進(jìn)與研究，無論在理論研究還是實(shí)際應(yīng)用上都將是意義重大的。

1 預(yù)備知識

Birnbaum-Saunders 疲勞壽命分布(以下將簡稱BS分布)的分布函數(shù)為

此處，V～N(0,1)，α>0為形狀參數(shù)，β>0為刻度參數(shù)，同時記T～BS(α,β).

BS分布的概率密度函數(shù)為：

BS分布的分布函數(shù)F(t)和概率密度函數(shù)f(t)另可表示為

α，β同上，Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的分布函數(shù)，φ(x)為密度函數(shù)，即

對于BS分布的相關(guān)問題，國內(nèi)外已有不少文獻(xiàn)對其參數(shù)估計(jì)進(jìn)行了研究分析[1-3,6-10]。從上面可以看到，該分布的密度函數(shù)相對復(fù)雜，這樣也對其參數(shù)的估計(jì)問題造成了一定的難度。因此，不少文獻(xiàn)從估計(jì)方法上進(jìn)行了不斷地研究改進(jìn)，同時，在 BS 分布模型上，不少文獻(xiàn)也做了一些新的改進(jìn)，提出了新的壽命分布族如廣義BS分布等等。

比較典型的，如Leiva等基于廣義 BS 分布族的探討提出新的壽命分析，并運(yùn)用迭代思想得到參數(shù)的MLE與其他推斷，進(jìn)一步進(jìn)行優(yōu)度擬合使得數(shù)據(jù)估計(jì)更優(yōu)異[11]；Owen通過放寬獨(dú)立性假設(shè)分別提出全新的兩種廣義三參數(shù) BS分布[12,13]，裂縫的擴(kuò)展被重新定義建模，使得這種具有兩個形狀參數(shù)的分布成為了一個靈活性很強(qiáng)的分布。

2 參數(shù)估計(jì)及主要結(jié)果

基于兩參數(shù)BS 壽命分布，通過增加參數(shù)對其進(jìn)行推廣，設(shè)T服從三參數(shù)BS壽命分布T～BS(μ,α,β)，令其分布函數(shù)為：

密度函數(shù)為：

其中，μ>0為位置參數(shù)，α，β，Φ(x),φ(x)同上。

由于

令

則

聯(lián)系矩估計(jì)的思想方法，構(gòu)建并形成方程組：

若直接求解該方程組，由于其結(jié)構(gòu)相對復(fù)雜，造成不便與困難。

于是，令U=T-1，對u>0

FU(u)=P(T-1≤u)=

即T-1～BS(α,β-1).

于是，可以建立如下矩方程組：

于是有

故得關(guān)于位置參數(shù)μ的超越方程：

即有

3 結(jié) 語

基于兩個參數(shù)的Birnbaum-Saunders分布，通過位置參數(shù)μ的增加，新定義了含有三個參數(shù)的BS壽命分布，由于其分布結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，采用矩估計(jì)思想對參數(shù)進(jìn)行了研究分析，豐富了BS分布的相關(guān)理論。當(dāng)然，文中的統(tǒng)計(jì)研究還有一些仍需要不斷完善和進(jìn)一步探討的地方，比如平均剩余壽命分布還未探討，對矩估計(jì)也可進(jìn)行一些隨機(jī)模擬，進(jìn)而確定其精確性方便與其他估計(jì)作比較，也可以適當(dāng)研究參數(shù)的其他估計(jì)方法如區(qū)間估計(jì)等等，這都是今后可以繼續(xù)進(jìn)一步研究的方向。