基于Copula函數(shù)的上證綜合指數(shù)的趨勢預(yù)測①

閆海波， 張 賀

(新疆財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830012)

0 引 言

我國有龐大基數(shù)的股市投資者，上證綜合指數(shù)是我國投資者關(guān)注的重點對象，對上證綜指的可能的漲跌情況研究有助于投資者對股市的判斷。2020年全球經(jīng)濟受新型冠狀病毒的影響，全球股市也不同程度的受到?jīng)_擊?，F(xiàn)有關(guān)于Copula模型在股票市場上的研究主要集中于中國股票市場與金融指標(biāo)進行相關(guān)性研究[1-5]，當(dāng)然也有少量學(xué)者對上證指數(shù)的內(nèi)部指標(biāo)進行了研究，如徐小欽,鄧煜[6]運用Copula函數(shù)研究了上證指數(shù)的收益率和成交量之間的尾部關(guān)系。在國內(nèi)疫情形勢一片向好、國外疫情尚沒有有效的控制的情況下，對我國股市內(nèi)部指標(biāo)的研究或?qū)⒏袇⒖家饬x，故本文選取上證指數(shù)2020年1月至4月的日最高價、最低價和收盤價進行分析，旨在探究在疫情下上證指數(shù)可能的漲跌情況，并對得到的結(jié)果做一些分析。

目前最新的討論股票價格預(yù)測方法的綜述是徐程成[7]于2020年3月發(fā)表的，她對已有的文獻所使用的股票預(yù)測方法進行了總結(jié)和分析，不管是徐程成總結(jié)的文獻還是作者搜索到的關(guān)于股票預(yù)測的文獻，幾乎沒有文獻運用股票預(yù)測方法與股票技術(shù)分析相結(jié)合，受張曉宇和徐付霞[8]運用Copula理論分析學(xué)生成績平均值和中位數(shù)分布一文啟發(fā)，將技術(shù)分析中壓力線概念引入文中，可以為股市投資者提供更多參考信息。

1 理論模型介紹

1.1 Copula函數(shù)介紹[9]

設(shè)隨機變量X和Y，其分布函數(shù)是F(x)=P(X≤x)和G(y)=P(Y≤y)，其聯(lián)合分布函數(shù)為H(x,y)=P(X≤x,Y≤y)，它們的值域都為[0，1]。對于(X,Y)的任意取值(x,y)，都唯一的對應(yīng)一個[0,1]2空間的點[F(x),G(y)]和一個[0，1]區(qū)間上的點H(x,y)，并且這兩個點之間存在著一個對應(yīng)關(guān)系，研究中使用最多的兩類Copula函數(shù)是橢圓Copula函數(shù)和阿基米德Copula函數(shù)；橢圓Copula函數(shù)包括正態(tài)Copula函數(shù)和t-Copula函數(shù)，常見的阿基米德Copula包括Gumbel Copula、Frank Copula函數(shù)和Clayton Copula函數(shù)，本文也是從以上兩類常見的Copula函數(shù)中擇其適者進行分析。

1.1.1 橢圓Copula函數(shù)

橢圓Copula函數(shù)包括正態(tài)Copula函數(shù)和t-Copula函數(shù)。二維正態(tài)Copula函數(shù)的形式為

(1)

其中FR是相關(guān)系數(shù)為R的二維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，F(xiàn)-1是一維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)。

t-Copula函數(shù)的形式為

(2)

1.1.2 阿基米德Copula函數(shù)

對于阿基米德函數(shù)，一般上尾和下尾相關(guān)系數(shù)不相等，其中，Gumbel Copula函數(shù)上尾相關(guān)系數(shù)是2-21/θ，下尾相關(guān)系數(shù)是零；Clayton Copula函數(shù)的下尾相關(guān)系數(shù)是2-1/θ，上尾相關(guān)系數(shù)是零；Frank Copula函數(shù)是具有對稱性的相關(guān)系數(shù)，上、下尾相關(guān)系數(shù)相等且同時為零[10]。

1.2 對數(shù)似然估計[11]

對Sklar定理：

FY(y1,…,yd)=CY{FY1(y1),…,FYd(yd)}

(3)

求導(dǎo)得到：

fY(y1,…,yd)=cY{FY1(y1),…,FYd(yd)}fY1(y1)…fYd(yd)

(4)

設(shè)邊緣累計分布函數(shù)有參數(shù)模型FY1(·|θ1),…,FYd(·|θd)，Copula密度參數(shù)模型為cY(·|θC)，則對數(shù)似然函數(shù)為：

L(θ1,…,θd,θC)=

(5)

求出極大似然估計，即可獲得參數(shù)。

1.3 擬合優(yōu)度檢驗[12]

AIC準(zhǔn)則也稱赤池信息準(zhǔn)則，用于衡量模型優(yōu)劣的重要函數(shù)，樣本量較少時有較高的精確度，故選用AIC準(zhǔn)則。它將擬合效果函數(shù)與維度參數(shù)的個數(shù)進行加權(quán)計算，即：

AIC=-2log(L)+2K

(6)

其中L為模型的極大似然估計值，K為模型的維度參數(shù)數(shù)量。

2 實證分析

2.1 數(shù)據(jù)來源及描述

選取2020年1月2號至4月29號上證綜合指數(shù)的日最高價價格、最低價價格和收盤價價格，上證指數(shù)數(shù)據(jù)來源于國泰安(CSMAR)數(shù)據(jù)庫，使用R軟件進行分析。做出最高價價格、最低價價格和收盤價價格的時序波動圖，見圖1，為更好的觀察，對圖1進行了縮減處理。從圖1可以觀察到，春節(jié)后指數(shù)呈現(xiàn)上漲趨勢，至3月份有一段時期呈現(xiàn)連續(xù)下跌的走勢，其后才緩慢調(diào)整。

圖1 最高價價格、最低價價格和收盤價價格波動圖

表2中標(biāo)準(zhǔn)差表明日最低價價格波動稍大，從圖1中可見三者的波動；超額峰度值都小于0，表明三個指標(biāo)有輕尾特征，偏度皆大于0，表明數(shù)據(jù)右端的極端值較多，故三者分布皆為輕尾右偏；SW正態(tài)性檢驗表明在95%的置信度下三個指標(biāo)都不服從正態(tài)分布，此結(jié)論也可以從圖2QQ正態(tài)圖中直觀地看出。

表1 常見的阿基米德Copula函數(shù)表

表2 上證綜指日最高價價格、最低價價格和收盤價價格統(tǒng)計表

圖2 上證綜指日最高價價格、最低價價格和收盤價價格QQ正態(tài)圖

2.2 Copula模型的選擇及尾部分析

對數(shù)據(jù)進行處理后，使用R軟件得到表3和表4中橢圓Copula函數(shù)和阿基米德函數(shù)的參數(shù)，以AIC準(zhǔn)則選擇合適的Copula函數(shù)。

表3 上證綜指最高價價格和收盤價 價格估計Copula參數(shù)

表4 上證綜指最低價價格和收盤價 價格估計Copula參數(shù)

從表3和表4中可以對比得出，Gumbel-Copula的AIC最小，極大化對數(shù)似然值擬合的也較好。相關(guān)學(xué)者對上證指數(shù)與其他市場進行相關(guān)性研究中也是選用Gumbel Copula函數(shù)[13,14,15]，故本文以Gumbel Copula函數(shù)分析上證指數(shù)的尾部相關(guān)關(guān)系，從Gumbel Copula函數(shù)的特性知，對上尾相關(guān)性敏感，對下尾相關(guān)性不敏感，圖4分別展示了最高價、最低價和收盤價的Gumbel Copula函數(shù)的密度分布。

圖4 最高價價格、最低價價格和收盤價價格的Gumbel Copula函數(shù)的密度分布圖

表5中最高價價格和收盤價價格的Kendall秩相關(guān)系數(shù)稍大，說明最高價價格對收盤價價格的影響更大。從圖4可以看出最高價價格對收盤價價格的上尾相關(guān)性要強于最低價價格和收盤價價格的上尾相關(guān)性，這表明上證指數(shù)上漲的力量大于下跌的力量。

表5 Gumbel-Copula相關(guān)系數(shù)

2.3 建立分布模型

最高價價格和收盤價價格的Gumbel Copula函數(shù)分布模型可根據(jù)表1中相應(yīng)的公式和表3中已估計的參數(shù)得到：

u，v代表最高價價格與收盤價價格的邊際分布函數(shù)，計算得到：

圖3 最高價價格、最低價價格與收盤價價格的直方圖和密度曲線圖

3 結(jié) 論

始于2019年底的新型冠狀病毒對中國經(jīng)濟產(chǎn)生了巨大影響，但面對本次全球性疫情，我國防疫成果顯著，而國外疫情仍令人擔(dān)憂，受美國股票市場在3月份四次歷史性熔斷的影響，各國股票市場不同程度的受到?jīng)_擊，投資者對我國股票市場的走勢十分關(guān)注，在此背景下，選取2020年1月至4月上證指數(shù)的日最高價價格、最低價價格和收盤價價格進行分析，實證結(jié)果表明：(1)對上尾變化敏感的Gumbel Copula函數(shù)可以更好地描述三個指標(biāo)的相關(guān)關(guān)系；(2)最高價價格和收盤價價格之間的上尾相關(guān)性大于最低價價格和收盤價價格之間的上尾相關(guān)性，這表明最高價價格對收盤價價格的影響大于最低價價格對收盤價價格的影響，由此得到股市整體上漲的概率大于下跌的概率的結(jié)論，最高價局部出現(xiàn)極值的概率增大。雖然新型冠狀病毒對中國經(jīng)濟產(chǎn)生了影響，但研究表明上證指數(shù)的未來走勢仍比較樂觀。通過判斷4月30日壓力線所對應(yīng)的價格值2830.32結(jié)合最高價價格與收盤價價格的聯(lián)合分布函數(shù)求得近期上證指數(shù)不超過價格2830.32的概率為0.118，即未來上證指數(shù)有較小的概率低于價格2830.32，即上證指數(shù)有大的概率將上漲，這為投資者提供了一個判斷上證指數(shù)漲跌的信息依據(jù)。同理可以建立周最高(低)價價格與周收盤價價格的聯(lián)合分布函數(shù)，可與五日均線結(jié)合，得到不突破五日均線的概率。不足之處在于，尋找壓力線具有一定的主觀性，因此投資者還需要其他信息幫助判斷股市走勢。