時(shí)滯R?ssler系統(tǒng)的Hopf分岔分析

趙少卿,崔 巖,周六圓,孫 觀,何宏駿

(上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，上海 201620)

0 引言

混沌是一種看似無(wú)序的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)形態(tài)，是不同于周期態(tài)、平衡態(tài)和擬周期態(tài)的特殊狀態(tài)。20世紀(jì)60年代,氣象學(xué)家洛倫茨(Lorenz)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)由一階非線性三耦合微分方程組產(chǎn)生的混沌軌跡[1-2]。20世紀(jì)70年代，混沌現(xiàn)象引起學(xué)界的廣泛重視，多種混沌系統(tǒng)應(yīng)運(yùn)而生，例如，與Lorenz系統(tǒng)有著不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的Chen系統(tǒng)[3]、可以用物理手段實(shí)現(xiàn)的Chua電路系統(tǒng)[4]和Lü系統(tǒng)[5]等。勒斯勒(R?ssler)系統(tǒng)是基于Lorenz系統(tǒng)提出的具有較好混沌行為的非線性方程組[6]。近年來(lái)，文獻(xiàn)[7]對(duì)R?ssler系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析，為該系統(tǒng)拓展了可選擇的參數(shù)范圍。文獻(xiàn)[8]實(shí)現(xiàn)了R?ssler系統(tǒng)與Sprott-O系統(tǒng)的混沌反同步，使R?ssler系統(tǒng)在工程實(shí)際中的應(yīng)用更為廣闊。

非線性系統(tǒng)是輸入和輸出不成正比的系統(tǒng)?；煦缡欠蔷€性系統(tǒng)的最典型行為，它源于對(duì)初始條件的敏感依賴性[9]，對(duì)初值的微小擾動(dòng)將會(huì)給系統(tǒng)帶來(lái)較大的影響。關(guān)于R?ssler系統(tǒng)，文獻(xiàn)[10]研究了一種基于R?ssler系統(tǒng)的二次加密算法。文獻(xiàn)[11]通過(guò)對(duì)R?ssler系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡的跟蹤，使得心臟搏動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。文獻(xiàn)[12]基于后推(Backstepping)算法，通過(guò)控制器使得超混沌R?ssler系統(tǒng)的李雅普諾夫(Lyapunov)函數(shù)為負(fù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制。文獻(xiàn)[13]用滑模變結(jié)構(gòu)方法控制R?ssler混沌系統(tǒng)，并使得趨近速度可自適應(yīng)調(diào)節(jié)，從而提高了狀態(tài)變量的收斂速度。文獻(xiàn)[14]將Lorenz和R?ssler系統(tǒng)進(jìn)行耦合，研究了兩種時(shí)滯系統(tǒng)的耦合同步問(wèn)題，揭示了系統(tǒng)中的時(shí)滯和耦合對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響。文獻(xiàn)[15]通過(guò)數(shù)學(xué)分析，對(duì)R?ssler系統(tǒng)的余維二fold-Hopf分岔進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[16]實(shí)現(xiàn)了對(duì)R?ssler系統(tǒng)的雙反饋控制，并得出在平衡點(diǎn)發(fā)生Hopf分岔的充分條件。時(shí)滯系統(tǒng)是在系統(tǒng)變量中加入時(shí)滯參量使信號(hào)傳輸發(fā)生延時(shí)的系統(tǒng)。時(shí)滯系統(tǒng)中的Hopf分岔現(xiàn)象對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有較大影響。文獻(xiàn)[17]研究表明：時(shí)滯可使系統(tǒng)產(chǎn)生較為穩(wěn)定的吸引子。文獻(xiàn)[18]采用改良的一階差分算法，一定程度上減少了時(shí)滯Lorenz系統(tǒng)的計(jì)算量。文獻(xiàn)[19]通過(guò)數(shù)值分析法分析了時(shí)滯反饋對(duì)Lorenz系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

本文依據(jù)非線性動(dòng)力學(xué)和Hopf分岔理論，對(duì)時(shí)滯R?ssler系統(tǒng)進(jìn)行分析，給出系統(tǒng)的Hopf分岔發(fā)生條件，得出了系統(tǒng)在時(shí)滯分岔點(diǎn)附近的穩(wěn)定性分布。在計(jì)算過(guò)程中，針對(duì)存在的平衡點(diǎn)非零問(wèn)題，采用換元法簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，得到了比較理想的數(shù)值分析結(jié)果和仿真結(jié)果。

1 R?ssler系統(tǒng)分析

R?ssler系統(tǒng)為：

(1)

基于R?ssler系統(tǒng)，本文研究的時(shí)滯R?ssler系統(tǒng)可以描述為：

(2)

其中：x，y，z為變量；a，b，p為常量(a>0,b>0,p>0)；τ為時(shí)滯參量(τ>0)。

時(shí)滯R?ssler系統(tǒng)的平衡點(diǎn)滿足以下條件：

(3)

在平衡點(diǎn)E2處求得線性化系統(tǒng)(其余平衡點(diǎn)與此類似，故本文未做進(jìn)一步分析)：

(4)

令p-x1=c，變換后的時(shí)滯R?ssler系統(tǒng)為：

(5)

其對(duì)應(yīng)的特征方程為：

λ3+cλ2+λ+c-(aλ2+acλ)e-λτ=0，

(6)

其中：λ為特征方程的根。

2 Hopf分岔分析

設(shè)當(dāng)τ>0時(shí)，λ=iw(w>0)是式(6)的一個(gè)純虛根，將其代入式(6)中可得：

-iw3-cw2+iw+c+(-aw2+iacw)(-coswτ+isinwτ)=0。

(7)

令實(shí)數(shù)和虛數(shù)分別等于0：

(8)

移項(xiàng)，同時(shí)平方可得：

w6+(c2-a2-2)w4+(1-2c2-a2c2)w2+c2=0。

(9)

命題1式(9)至少存在一個(gè)實(shí)根。

證明在式(9)中，令w2=x，則有：

x3+(c2-a2-2)x2+(1-2c2-a2c2)x+c2=0，

令

f(x)=x3+(c2-a2-2)x2+(1-2c2-a2c2)x+c2，

得到：

f(1)=-a2-a2c2<0，f(0)=c2>0。

根據(jù)零點(diǎn)存在定理,?ζ∈(0,1)使得f(ζ)=0。因此，式(9)存在一個(gè)實(shí)根。證畢。

設(shè)w0為式(9)的一個(gè)實(shí)根，同時(shí)，根據(jù)式(8)可得：

(10)

將w=w0代入式(10)，得到時(shí)滯參量τ的值為：

(11)

其中：k=0,1,2,3，…。

因此，(w0,τk)是式(7)的解，即當(dāng)τ=τk時(shí)，式(6)有共軛虛根λ=±iw0。

從而得到：

定理1設(shè)λ(τ)=m(τ)+in(τ)(其中，m(τ)和n(τ)均為τ的表達(dá)式)是式(6)的特征根，則有τ=τk使得m(τk)=0,n(τk)=w0。

證明對(duì)式(6)求導(dǎo)可得：

(12)

根據(jù)式(6)可得：

λ3+cλ2+λ+c=(aλ2+acλ)e-λτ。

(13)

將式(13)代入式(12)，可得：

(14)

根據(jù)式(14)和定理1可得：

(15)

由式(6)可得：

(16)

移項(xiàng)得：

(17)

化簡(jiǎn)式(17)，可得：

(18)

將式(18)代入式(15)，可得：

(19)

又

(20)

將式(20)代入式(19)，可得：

(21)

即：

(22)

(Ⅰ)若τ∈(0,τ0)，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)E2處由不穩(wěn)定逐漸變?yōu)榉€(wěn)定。

(Ⅱ)若τ=τk(k=0,1,2,…)，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)E2處發(fā)生Hopf分岔，同時(shí)產(chǎn)生極限環(huán)。

(Ⅲ)若τ>τ0，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)E2處是不穩(wěn)定的，但在一定范圍內(nèi)極限環(huán)依然存在。

以上結(jié)論表明:系統(tǒng)在τ=τk時(shí),發(fā)生了超臨界Hopf分岔[22]。

3 數(shù)值仿真

3.1 數(shù)值分析

依據(jù)結(jié)論(Ⅰ)～結(jié)論(Ⅲ)，令a=b=0.2,p=5.7，則時(shí)滯R?ssler系統(tǒng)變?yōu)椋?/p>

(23)

依據(jù)結(jié)論(Ⅰ)～結(jié)論(Ⅲ)，得到：

下面運(yùn)用MATLAB軟件證明上述結(jié)論。

3.2 仿真結(jié)果

3.2.4 變量z在一定時(shí)滯范圍內(nèi)的Hopf分岔

圖7 時(shí)滯參量τ∈(3.5,6.0)

圖8 時(shí)滯參量τ∈(3,11)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了時(shí)滯R?ssler系統(tǒng)的Hopf分岔問(wèn)題，得到如下結(jié)論：時(shí)滯R?ssler系統(tǒng)中的時(shí)滯參量τ從τk增大到τk+1的過(guò)程中，系統(tǒng)由混沌逐漸變?yōu)榉€(wěn)定，且當(dāng)τ=τk時(shí)系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔并形成極限環(huán)，當(dāng)τ超過(guò)τk一定范圍時(shí)，極限環(huán)消失，系統(tǒng)發(fā)生混沌現(xiàn)象。通過(guò)MATLAB軟件仿真，給出了不同時(shí)滯參量條件下系統(tǒng)的三維空間相圖和時(shí)間序列，并以變量z為例，給出了其在一定時(shí)滯范圍內(nèi)的Hopf分岔圖，證明了所述結(jié)論的正確性。本文使R?ssler混沌系統(tǒng)的理論更加完備，使得R?ssler系統(tǒng)在混沌同步和保密通信等領(lǐng)域有了更為廣闊的發(fā)展前景，并為R?ssler系統(tǒng)在工程實(shí)際中的應(yīng)用提供了更加豐富的理論依據(jù)。