外域上耦合波動(dòng)方程組的局部能量衰減

武潔瓊，吳江濤

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030006)

0 引言

設(shè)V是RN中的緊集，V關(guān)于原點(diǎn)是星形的，Ω=RNV。研究如下帶有局部耗散的耦合波動(dòng)方程組初邊值問(wèn)題的局部能量衰減:

(1)

文獻(xiàn)[1-13]均是考慮方程主部是常系數(shù)的情形。當(dāng)主部是變系數(shù)，即用divA(x)▽u取代△u時(shí)，問(wèn)題更加復(fù)雜。文獻(xiàn)[14-15]借助黎曼幾何方法，分別研究了變系數(shù)主部情形下，帶線性局部阻尼的波動(dòng)方程的柯西問(wèn)題和外域上帶半線性局部阻尼的波動(dòng)系統(tǒng)的能量衰減性質(zhì)。

注意到文獻(xiàn)[1-15]均研究單個(gè)波動(dòng)系統(tǒng)的能量衰減性質(zhì)。然而,耦合是工程實(shí)踐中的一種普遍現(xiàn)象，而且有界域上耦合波動(dòng)方程組解的能量衰減已得到了充分的研究。例如，文獻(xiàn)[16]研究了當(dāng)問(wèn)題(1)內(nèi)部沒(méi)有阻尼(a(x)≡0)時(shí)，通過(guò)邊界阻尼所引起的能量指數(shù)衰減的性質(zhì)，文獻(xiàn)[17]則研究了通過(guò)速度耦合的波動(dòng)方程的衰減性質(zhì)。

本文考慮外域上通過(guò)位移耦合的波動(dòng)方程組的局部能量衰減問(wèn)題。假設(shè)兩個(gè)波動(dòng)系統(tǒng)在邊界的一個(gè)鄰域上耦合，系統(tǒng)的阻尼只在一個(gè)有界區(qū)域施加。利用乘子法，結(jié)合加權(quán)函數(shù)方法及截?cái)嗉记?，得到耦合系統(tǒng)局部能量的多項(xiàng)式衰減估計(jì)。

關(guān)于局部阻尼和耦合區(qū)域做如下假設(shè)：

1 主要結(jié)論

那么，問(wèn)題(1)的解(u,v)有局部能量衰減，即對(duì)任意的R>L，有：

ER(t)≤CI0(t-R)2δ-1，

2 定理1的證明

采用乘子法可得到以下基本不等式。在問(wèn)題(1)的第1個(gè)方程兩邊分別乘以u(píng)t，tut，x·▽u，u，并在(t0,t)×Ω上積分；在問(wèn)題(1)的第2個(gè)方程兩邊分別乘以vt，tvt，x·▽v，v，并在(t0,t)×Ω上積分，得到：

(2)

(3)

(4)

其中:η(x)是Ω的邊界上x(chóng)處的單位外法向量，

(5)

(6)

下面估計(jì)式(6)的各項(xiàng)。注意到V關(guān)于原點(diǎn)是星形的，有:

(7)

|(x·▽u(t),ut(t))+(x·▽v(t),vt(t))|≤

(|▽u|2+|ut|2+|▽v|2+|vt|2)dx+

(8)

用Young不等式，并注意到suppa(·)?BL，對(duì)式(6)左邊倒數(shù)第2項(xiàng)有以下估計(jì):

(9)

注意到兩個(gè)系統(tǒng)在邊界的一個(gè)鄰域上耦合，對(duì)式(6)左邊最后一項(xiàng)有如下估計(jì):

(10)

結(jié)合式(6)～式(10)，得到:

(11)

由式(8)知:|(x·▽u(t0),ut(t0))+(x·▽v(t0),vt(t0))|≤C(R,t0)I0，于是

(12)

(13)

在方程組(13)的第1個(gè)方程兩邊乘以ξφ得：

(14)

注意到

從式(14)得到：

(15)

注意到Eφ(0)≤CI0，從式(11)、式(12)和式(15)得到：

(16)

由于suppa(·)?BL={x∈RN||x|≤L}，由Poincare不等式，并注意到系統(tǒng)的能量衰減，得到：

(17)

(18)

接下來(lái)估計(jì)式(18)右邊第3項(xiàng)，有以下引理。

引理1存在與u,v無(wú)關(guān)的T0>0，C>0，使得當(dāng)T>T0時(shí)，有：

證明采用反證法。記φ=u-v，假設(shè)結(jié)論不成立，則存在序列tn，φn使得：

(19)

ψtt-△ψ+2α(x)ψ=0，

(20)

現(xiàn)在將引理1中得到的不等式代入到式(18)，當(dāng)t-t0>T0時(shí)，有：

(21)

為了控制式(21)右邊最后一項(xiàng)，引入加權(quán)函數(shù)φ(x,t)=|x|-t，類(lèi)似于文獻(xiàn)[4]的引理2，有如下引理。

引理2令φ(x,t)=|x|-t，對(duì)于問(wèn)題(1)的解(u,v)，有如下不等式成立:

于是式(16)成為:

(22)

引理3設(shè)u0+u1∈L2N/(N+2)，v0+v1∈L2N/(N+2)，那么:

對(duì)電子14級(jí)、15級(jí)的學(xué)生，在編寫(xiě)或者挑選教材時(shí)，編程語(yǔ)言以C語(yǔ)言為主，易讀、好維護(hù)、可移植性好，編譯效率高。內(nèi)容編排采用項(xiàng)目教學(xué)法，每個(gè)學(xué)生有一個(gè)和教材配套的開(kāi)發(fā)系統(tǒng)，教學(xué)做和仿真結(jié)合。在教學(xué)過(guò)程中將Keil和Proteus引入課題，構(gòu)建虛擬的單片機(jī)實(shí)驗(yàn)室，先仿真，然后在單片機(jī)系統(tǒng)上進(jìn)行實(shí)物練習(xí)。有過(guò)程，有現(xiàn)象，有結(jié)果，學(xué)完之后至少能對(duì)本門(mén)課程入門(mén)了。通過(guò)改革，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣有了極大的提高。

(23)

式(23)的第1個(gè)方程兩邊同乘wt，并在Ω×(0,t)上積分得：

(24)

(25)

由H?lder不等式、Sobolev嵌入定理及Young不等式有:

現(xiàn)在回到定理1的證明。由式(22)和引理2，得到:

(26)

接下來(lái)利用積分因子(t-R)-2δ-1乘以式(26)得:

即

對(duì)上式在(t0,t)上積分得：

所以

(27)

將式(27)代入式(26)得：

ER(t)≤CI0(t0-R)-2δ(t-R)2δ-1，