分段線性復(fù)合式振動俘能器的建模與實驗*

王浩宇，楊 歡，彭利平，劉德洋

(河海大學(xué) 機電工程學(xué)院，江蘇 常州 213000)

0 引 言

微機電系統(tǒng)和電子技術(shù)的快速發(fā)展使得微電子設(shè)備的能量消耗逐漸變小，但為其供能的傳統(tǒng)電池存在壽命短及更換過程復(fù)雜的缺點，這促使人們探究新的無源供能方法。振動俘能器已被公認(rèn)為是解決低功耗設(shè)備供電問題最具有發(fā)展?jié)摿Φ募夹g(shù)途徑。振動俘能器中最常見的能量轉(zhuǎn)換機制有靜電換能[1]、壓電換能[2]和電磁換能[3-5]。其中，不需要額外輔助供電的電磁式能量俘能器(EEH)和壓電式能量俘能器(PEH)受到了國內(nèi)外研究者的更多關(guān)注。

現(xiàn)實中主要環(huán)境振動源在一個比較寬的低頻范圍內(nèi)(100 Hz以下)，然而大多數(shù)的振動俘能器簡化為線性彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)，振動的能量俘能器都將單峰振幅限制在窄頻帶內(nèi)；外部激勵存在與俘能器的諧振頻率不匹配產(chǎn)生共振發(fā)散的情況[6]，這使得線性能量收集器應(yīng)用受到局限。另外，單一能量轉(zhuǎn)換模式的能量輸出往往達(dá)不到供能需求。因此，研究多種俘能技術(shù)和非線性的耦合輸出具有很大意義。復(fù)合壓電-電磁振動能量俘能器(HPEH)能將兩種及以上的能量轉(zhuǎn)換機制進(jìn)行耦合，能增加耦合來提高輸出能量。CHALLA[7]通過實驗得出了復(fù)合振動俘能器相比任何獨立的振動俘能器有更好的能量輸出的結(jié)論；MAHMOUDI等人[8]開發(fā)了一種包含非線性HPEH的多物理模型，非線性磁場的系統(tǒng)比線性系統(tǒng)工作帶寬和功率密度分別增加了29%和60%；SOLIMAN等人[9]提出了一種基于分段線性振子的振動俘能器，利用制動器引起梁的碰撞，頻率帶寬明顯拓寬；MIAH等人[10]設(shè)計了基于沖擊梁的向上變頻壓電振動俘能器，該振動俘能器與分段線性系統(tǒng)耦合，能夠在較寬的工作帶寬內(nèi)產(chǎn)生較高的輸出功率。

針對以上問題，本研究利用多個壓電懸臂梁和非線性彈簧提升系統(tǒng)的耦合以及帶寬；筆者利用歐拉-伯努利梁理論對裝置進(jìn)行分布參數(shù)建模；利用Rayleigh-Ritz模態(tài)分析法確定力電耦合模型的等效剛度、質(zhì)量等參數(shù)，建立基于集總參數(shù)模型的機電耦合模型。該方法考慮梁的振型與軸向應(yīng)變分布情況，能提高預(yù)測精度。通過加工實驗裝置及搭建實驗平臺得到實驗輸出值與理論值對比，驗證非線性振動俘能器機電耦合模型的準(zhǔn)確性和裝置拓寬頻帶能力。

1 能量收集系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及工作原理

振動俘能器有4個壓電懸臂梁，梁的自由端均與線圈連接，線圈下方設(shè)有固定磁鐵和彈簧。

分段線性復(fù)合振動俘能器和HPEH的單自由度等效動力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 分段線性復(fù)合振動俘能器

梁和末端重物會隨著激勵振動，壓電梁產(chǎn)生的簡諧橫向振動使得壓電片厚度方向發(fā)生物理變形引起了電荷運動，從而在壓電陶瓷片的上下極板集聚了極性相反、等量的電荷。同樣，中間的線圈隨著梁上下振動，線圈切割磁感線引起磁通量的變化，發(fā)生法拉第電磁感應(yīng)現(xiàn)象使得線圈產(chǎn)生感生電流。當(dāng)線圈的振幅足夠大時，每個周期底部彈簧都與基座碰撞，系統(tǒng)從線性振動轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€性振動的一種分段線性狀態(tài)，拓寬了系統(tǒng)的工作帶寬。

2 線性動力學(xué)模型及PEH建模

本研究移除電磁耦合和非線性彈簧，將振動俘能器簡化為單自由度線性壓電振動俘能器。

線性復(fù)合式振動俘能器具有良好的對稱性，如圖2所示。

圖2 線性復(fù)合式振動俘能器示意圖

系統(tǒng)動力學(xué)特性的研究對象簡化為對稱的一部分，即帶末端質(zhì)量的固定-導(dǎo)支梁。在只考慮一階固有頻率的情況下，利用歐拉-伯努利梁理論和牛頓力學(xué)原理研究末端帶質(zhì)量的壓電梁的彎曲振動位移響應(yīng)，得到壓電梁沿z軸無阻尼自由運動方程為：

(1)

式中：EI—壓電梁平均抗彎剛度；ρs—壓電梁的單位長度質(zhì)量。

利用模態(tài)疊加法求解運動方程，梁上各點相對位移可以表示為：

(2)

式中：i—振型數(shù)；φ(x)—模態(tài)特征函數(shù)；q(t)—模態(tài)坐標(biāo)。

運用分離變量法求解上式，將式(2)代入式(1)，利用導(dǎo)支和固支的邊界條得到頻率方程為：

(3)

根據(jù)瑞利里茲法，導(dǎo)支端的位移為w(L,t)=φ(L)q(t)，將系統(tǒng)參數(shù)等效到x=L處的位置，得到系統(tǒng)的等效質(zhì)量M和等效機械剛度Km為：

(4)

式中：p，s—壓電和基底層；S—梁的橫截面積；ρ—密度；E—彈性模量；I—慣性矩；Mt—末端質(zhì)量。

筆者在模態(tài)分析和壓電本構(gòu)方程的基礎(chǔ)上，利用哈密爾頓原理開展線性PEH系統(tǒng)的機電耦合建模[11，12]。根據(jù)Rayleigh-Ritz方法，梁的橫向位移可以為N個振動模態(tài)函數(shù)與模態(tài)坐標(biāo)的乘積，電勢函數(shù)為N個電勢分布函函數(shù)和電學(xué)坐標(biāo)的乘積：

(5)

式中：ψ(z,t)—電勢函數(shù)；φn(x)—振動模態(tài)函數(shù)；φv(z)—電勢分布函數(shù)；v(t)—電學(xué)坐標(biāo)。

機電耦合等效方程簡化為：

(6)

式中：θp—等效壓電耦合系數(shù)；Cp—壓電等效電容：

(7)

3 電磁耦合系數(shù)

電磁發(fā)電轉(zhuǎn)換機制基于法拉第電磁感應(yīng)定律，電磁感應(yīng)結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 電磁感應(yīng)原理示意圖

無論是面積恒定下變化的磁場引起的磁通量變化，還是恒定磁場下的面積變化引起的磁通量變化，均可以推導(dǎo)出電動勢方程。工作過程中線圈振子磁場時刻變化，線圈的面積認(rèn)為常數(shù)。

電動勢Ue與通過線圈磁通量的變化率有關(guān)[13]，表示如下：

(8)

根據(jù)磁偶極子模型[14]，磁偶極子模型產(chǎn)生的磁場在坐標(biāo)(r，z)的磁場強度B為：

(9)

式中：Br，Vm—永磁鐵剩磁強度和體積；ez—z方向的單位向量。

只有沿著z方向的磁場分量對感應(yīng)電動勢有影響，整個感應(yīng)線圈內(nèi)的磁通量為：

(10)

式中：fc—線圈填充率，N—線圈匝數(shù)。

將式(9，10)代入式(8)得到電磁耦合系數(shù)：

(11)

式中：Δ1，Δ2—靜平衡時磁鐵中心到線圈上面和下面的垂直距離。

為了便于分析和計算，一般取靜平衡位置時的電磁耦合系數(shù)。

4 集總參數(shù)機電耦合模型

(12)

壓電梁通常在低頻有較好的表現(xiàn)，等效質(zhì)量和等效機械剛度取一階振動模態(tài)可得：

(13)

(14)

式中：K1,D1—非線性彈簧的等效剛度和阻尼。

考慮到壓電和電磁機電耦合作用對系統(tǒng)的影響，系統(tǒng)的線性等效剛度為：

(15)

壓電負(fù)載Rp和電磁負(fù)載Re下系統(tǒng)的輸出功率分別為：

(16)

(17)

5 數(shù)值仿真與實驗分析

為了驗證理論模型的合理性，本研究在MATLAB中對機電耦合模型進(jìn)行數(shù)值仿真和實驗。

HPEH結(jié)構(gòu)的仿真相關(guān)參數(shù)如表1所示。

實驗?zāi)Ｐ蜆訖C及驗證實驗平臺如圖4所示。

實驗系統(tǒng)主要包括：信號發(fā)生器為DH5922N、功率放大器為DH5872、激振器為DH40200、位移傳感器為HG-C1050、加速度傳感器1A941E、數(shù)字示波器、外接電阻負(fù)載。功率放大器根據(jù)信號發(fā)生器輸出的頻率可調(diào)正弦激勵信號控制激振器振動，從而為俘能器提供恒定的激勵源，同時采用加速度傳感器和位移傳感器對振動加速度以及輸出位移進(jìn)行測量。

表1 HPEH結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)參數(shù)

圖4 模型樣機及驗證實驗平臺

本研究利用MATLAB對無彈簧復(fù)合俘能器系統(tǒng)進(jìn)行掃頻，測試發(fā)電能力。在0.2 g加速度激勵下研究系統(tǒng)的電壓變化情況。

振動俘能器的掃頻仿真和實驗如圖5所示。

圖5 線性HPEH掃頻最優(yōu)負(fù)載電壓輸出圖

系統(tǒng)仿真固有頻率為17.5 Hz，實驗得到一階固有頻率為17.2 Hz，理論與實驗較為接近。

為了得到系統(tǒng)的最優(yōu)負(fù)載，分別對PEH和EEH進(jìn)行功率優(yōu)化。在17 Hz、0.2 g加速度下分別對PEH和EEH接入不同的負(fù)載，獲得電壓和功率隨負(fù)載變化情況。

PEH、EEH電壓、功率隨電阻變化如圖6所示。

圖6 PEH、EEH電壓、功率隨電阻變化曲線

其電壓隨著阻值的增加而單調(diào)增大，輸出功率則先上升到某個值后逐漸下降。實驗得到PEH和EEH的最佳負(fù)載分別為18.2 kΩ和37 Ω。

單一俘能器最優(yōu)負(fù)載的電壓、功率隨頻率變化如圖7所示。

圖7 單一俘能器最優(yōu)負(fù)載的電壓、功率隨頻率變化圖

PEH、EEH的電壓輸出和功率輸出隨著激勵的增加而增加，同時他們的峰值隨著激勵的增大向右產(chǎn)生偏移。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是結(jié)構(gòu)具有非線性，較高激勵使得梁的剛度增加影響了固有頻率。

線性HPEH功率隨頻率變化如圖8(a)所示。對比理論分析結(jié)果和實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)，線性HPEH的理論模型與實驗結(jié)果較為吻合。線性HPEH的復(fù)合功率在17.8 Hz處達(dá)最大值，最大輸出功率為682 mW。

為了探究不同激勵對于系統(tǒng)輸出的影響，線性HPEH輸出隨頻率、加速度變化如圖8(b)所示。系統(tǒng)功率輸出的最大值隨著激勵的增加而偏移，產(chǎn)生這種峰值偏移的原因可能是耦合的增加使得系統(tǒng)向右偏移。

最后對非線性彈簧HPEH的發(fā)電性能進(jìn)行最優(yōu)負(fù)載的仿真和實驗。

圖8 線性HPEH功率隨頻功率變化關(guān)系圖

分段線性HPEH不同剛度功率輸出隨頻率變化如圖9所示。

圖9 分段線性HPEH不同剛度功率輸出隨頻率變化圖

對比發(fā)現(xiàn)分段線性HPEH具更寬的帶寬。除了在原有一階共振處有較高的輸出，隨著彈簧剛度的增加系統(tǒng)會在右側(cè)產(chǎn)生的次共振峰值，且兩個峰值功率隨著剛度的增加而下降。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因可能是大剛度的彈簧阻尼也越大，影響了系統(tǒng)的輸出。

分段線性HPEH輸出功率隨加速度激勵變化如圖10所示。

復(fù)合功率的帶寬隨著系統(tǒng)激勵的增大而變寬，并且一階固有頻率有向右偏移的趨勢，剛度越大偏移越明。在k=3 000 N/m條件下，優(yōu)化后的負(fù)載輸出功率最大值，約為27.6 mW/g2。

圖10 分段線性HPEH輸出功率隨加速度激勵變化圖

6 結(jié)束語

本研究提出一種分段線性復(fù)合式振動俘能器，建立相關(guān)機電耦合模型并進(jìn)行相關(guān)實驗驗證理論。分析了分段線性俘能器能夠拓展帶寬的原因，探究達(dá)到最大輸出功率下的最優(yōu)負(fù)載。

研究結(jié)果表明：分段線性的復(fù)合振動俘能器在原有共振頻率的右側(cè)會產(chǎn)生一個次峰值，同時該等效固支-導(dǎo)支梁結(jié)構(gòu)本身具有非線性，這兩種現(xiàn)象均能拓展帶寬。

通過實驗與數(shù)值仿真得到：系統(tǒng)輸出電壓隨著負(fù)載的增大單調(diào)增加，而輸出功率隨著負(fù)載的電阻增加逐漸增大到某個最值后逐漸減小。在最優(yōu)負(fù)載、工作頻率為19 Hz時，分段HPEH最大輸出功率達(dá)到27.6 mW/g2，產(chǎn)生的能量能夠滿足網(wǎng)絡(luò)傳感器等低耗能微電子產(chǎn)品的供能需求，在工程中具有一定的價值。