框架-核心筒結(jié)構(gòu)的多維隨機(jī)地震反應(yīng)分析

袁敏森，周江林，肖 蘭，阮鑫鑫，劉章軍

武漢工程大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，湖北 武漢430074

近年來(lái)，框架-核心筒結(jié)構(gòu)逐漸發(fā)展成為高層、超高層主流結(jié)構(gòu)形式之一。高層框架-核心筒結(jié)構(gòu)的抗震性能和抗倒塌設(shè)計(jì)等越來(lái)越受到研究者的重視［1-3］。地震災(zāi)害經(jīng)驗(yàn)及地震相關(guān)理論已指明，地面運(yùn)動(dòng)在地震發(fā)生時(shí)表現(xiàn)為由平動(dòng)分量和轉(zhuǎn)動(dòng)分量構(gòu)成的多維運(yùn)動(dòng)［4］。由于目前已有的實(shí)測(cè)記錄的地震動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)分量極其有限，且轉(zhuǎn)動(dòng)分量之間較復(fù)雜，因此多數(shù)研究一般考慮3個(gè)平動(dòng)分量，即2個(gè)水平分量和1個(gè)豎向分量。為了使框架-核心筒結(jié)構(gòu)體系的地震破壞最小化，必須考慮地震的多維特性的影響［5］。為此，沈超等［6］采用試驗(yàn)和數(shù)值模擬方法分別分析了單向水平和多向地震作用下框架-核心筒結(jié)構(gòu)模型水平方向動(dòng)力響應(yīng)的差別。Cheng等［7］采用數(shù)值模擬的分析方法，對(duì)框架-核心筒結(jié)構(gòu)在多維長(zhǎng)周期地震記錄下的非線性時(shí)程反應(yīng)和抗震性能進(jìn)行了研究。然而，上述研究都以實(shí)測(cè)強(qiáng)震記錄作為輸入，屬于一種確定性方法，未充分考慮到地震動(dòng)的隨機(jī)性。

鑒于此，為了進(jìn)一步探討地震動(dòng)的隨機(jī)性與多維性對(duì)框架-核心筒結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)的影響，本文提出了多維非平穩(wěn)地震動(dòng)（三個(gè)平動(dòng)分量）的降維模擬方法，結(jié)合時(shí)變功率譜模型和多維四段強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)，構(gòu)造多維非平穩(wěn)地震動(dòng)模型，模擬了非平穩(wěn)地震動(dòng)的代表性時(shí)程；同時(shí)，探究了一個(gè)33層框架-核心筒結(jié)構(gòu)在不同地震動(dòng)的輸入方式（一維、二維、三維）下的地震反應(yīng)，驗(yàn)證了本文方法的有效性和工程適用性。

1 多維非平穩(wěn)地震動(dòng)過(guò)程的降維模擬

同一質(zhì)點(diǎn)的三維地震動(dòng)是一個(gè)矢量過(guò)程，它在3個(gè)主軸方向上的地震動(dòng)分量互不相關(guān)且具有最大、中等和最小方差［8］。因此，可以利用一維單變量的非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的模擬方法來(lái)分別生成三維地震動(dòng)的分量過(guò)程。為此，假定地震動(dòng)的3個(gè)主軸即為x、y和z坐標(biāo)軸，其中x、y為水平向，z為豎直向。對(duì)于三維地震動(dòng)的每個(gè)分量Uv(t)（v=x，y，z或v=1，2，3）均為零均值的一維、單變量的實(shí)值非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其原始的譜表示為［9］：

式中，Gv(ω，t)為v分量的演變功率譜密度函數(shù)，ωn=nΔω；{ }Xn，v，Yn，v為一組標(biāo)準(zhǔn)的正交隨機(jī)變量，滿足如下基本條件［10］：

其中，E[]·為期望符號(hào)，δmn為Kronecker記號(hào)。

根據(jù)隨機(jī)函數(shù)的降維思想［9］，可將Xn，v和Yn，v(n=1，2，…，N;v=1，2，3)均表達(dá)為概率分布已知的基本隨機(jī)變量的正交函數(shù)形式。在本文中，采用如下形式的隨機(jī)函數(shù)：

式中，基本隨機(jī)變量Θ1和Θ2互相獨(dú)立且在[0，2π)上服從均勻分布。一般地，按式（3）定義的隨機(jī)變量集需要進(jìn)行一一映射和后使用，具體步驟見文獻(xiàn)［10］。顯然，在式（3）中定義的正交隨機(jī)變量能滿足式（2）的基本條件。

從以上推導(dǎo)可以看出，式（3）定義的隨機(jī)函數(shù)形式使得基于正交隨機(jī)變量的原始譜表示模擬式（1）中的隨機(jī)變量數(shù)量6N減少為2。從而克服Monte Carlo模擬方法需要成千上萬(wàn)個(gè)隨機(jī)變量的局限性，為復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的隨機(jī)動(dòng)力反應(yīng)分析和動(dòng)力可靠度評(píng)價(jià)提供基礎(chǔ)。

2 三維非平穩(wěn)地震動(dòng)的實(shí)現(xiàn)

2.1 三維非平穩(wěn)地震動(dòng)的演變功率譜模型

對(duì)于v分量的演變功率譜密度函數(shù)，采用式（1）所示形式［11］

式中，fv(t)為v方向地震動(dòng)分量的強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)；Sv(ω，t)為v方向地震動(dòng)分量的時(shí)變功率譜，采用Clough-Penzien時(shí)變功率譜模型［12］：

其中

在式（5）中，譜強(qiáng)度因子S0，v(t)計(jì)算如下［12］

式中，Amax表示地震動(dòng)峰值加速度的均值；rv表示v方向地震動(dòng)分量的等效峰值因子。

文 獻(xiàn)［12］根 據(jù)《建 筑 抗 震 設(shè) 計(jì) 規(guī) 范》（GB 50011-2010），給出了場(chǎng)地土參數(shù)及a、b的建議取值，表1給出了在場(chǎng)地類別Ⅱ、設(shè)計(jì)地震分組為第一組以及罕遇地震作用條件下的取值。表1中也給出了Ⅷ度罕遇地震的峰值加速度Amax和場(chǎng)地類別為Ⅱ類第一組的持時(shí)T。同時(shí)，對(duì)于該條件下地震動(dòng)分量的等效峰值因子rv，為了與文獻(xiàn)［14］提出的三維反應(yīng)譜一致，本文建議取值：rx=2.65，ry=3.31，rz=4.86。

表1時(shí)變功率譜模型的參數(shù)取值Tab.1 Parameter values of time-varying power spectrum model

對(duì)于強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)fv(t)，本文采用李英民等［14］提出的四段連續(xù)型強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)模型，該模型能夠考慮3個(gè)地震動(dòng)分量的上升速率、平穩(wěn)持時(shí)及衰減快慢的區(qū)別，即

式中，t0和t1分別為上升段的起始時(shí)刻和終止時(shí)刻，t2為下降段的起始時(shí)刻，c為下降段衰減指數(shù)；T1=t1-t0為上升段的持時(shí)，TS=t2-t1為平穩(wěn)段的持時(shí)。表2給出了地震烈度為Ⅷ度、場(chǎng)地類別為Ⅱ時(shí)，三維地震動(dòng)強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)的參數(shù)取值［14］。

表2三維地震動(dòng)強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)的參數(shù)取值Tab.2 Parameter values of intensity modulation function for three-dimensional ground motion

2.2 三維非平穩(wěn)地震動(dòng)的模擬結(jié)果

為了生成非平穩(wěn)地震動(dòng)過(guò)程的代表性時(shí)程集合，需先在區(qū)間[0，2π)×[0，2π)上選取基本隨機(jī)向量的代表性點(diǎn)集。采用數(shù)論方法［15］選取nsel=144個(gè)代表性點(diǎn)集{ }θ1，l，θ2，l(l=1，2，…，nsel)，其中nsel為代表性點(diǎn)的數(shù)量。同時(shí)，計(jì)算每個(gè)代表性點(diǎn)的賦得概率Pl，且滿足結(jié)合前述模型和參數(shù)，生成了144個(gè)多維非平穩(wěn)地震動(dòng)加速度的代表性時(shí)程。圖1給出了各分量地震動(dòng)的一個(gè)代表性樣本?？梢?，各分量的樣本在振幅和頻率非平穩(wěn)性、強(qiáng)度峰值到達(dá)時(shí)刻和持續(xù)時(shí)間上有顯著差異。圖2示出了各分量樣本集的統(tǒng)計(jì)量（均值和標(biāo)準(zhǔn)差）與其目標(biāo)值的比較?？梢钥闯?，生成的地震動(dòng)樣本過(guò)程的統(tǒng)計(jì)量與目標(biāo)值非常接近，驗(yàn)證了降維方法的有效性。

圖1三維地震動(dòng)代表性時(shí)程Fig.1 Representative time history of three dimensional ground motion

圖2各分量的統(tǒng)計(jì)量與其目標(biāo)值的比較：（a）均值，（b）標(biāo)準(zhǔn)差Fig.2 Comparison between statistics of each component and its target value：（a）mean，（b）standard deviation

3 框架-核心筒結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析

圖3結(jié)構(gòu)平面圖（單位：mm）Fig.3 Layout of structure（unit：mm）

該工程為某高層辦公樓，采用型鋼混凝土框架-鋼筋混凝土核心筒結(jié)構(gòu)體系，建筑層數(shù)共33層，結(jié)構(gòu)高度為99.6 m，首層層高為3.6 m，2～33層層高為3 m，結(jié)構(gòu)平面圖如圖3所示。本工程所在地區(qū)的抗震設(shè)防烈度為Ⅷ度，設(shè)計(jì)基本地震加速度值為0.2g，其設(shè)計(jì)地震分組是第一組，場(chǎng)地類別為Ⅱ類，其場(chǎng)地設(shè)計(jì)特征周期為0.35 s。本工程采用建筑材料HRB400鋼筋，Q345等級(jí)型鋼；樓板、框架梁、剪力墻和型鋼混凝土柱均采用C40等級(jí)混凝土；框架梁尺寸均為350 mm×750 mm，樓板厚度為150 mm，型鋼混凝土柱和剪力墻的尺寸見表3。利用Midas Building軟件建立了該結(jié)構(gòu)的有限元模型，其中，豎向荷載考慮恒荷載、活荷載和自重，水平作用僅考慮地震作用。梁柱采用具有非線性鉸特性的梁柱單元，滯回模型采用修正武田三折線模型，剪力墻采用非線性墻單元。假定結(jié)構(gòu)底部與基礎(chǔ)剛性連接。

表3型鋼混凝土柱和剪力墻的尺寸Tab.3 Sizes of steel reinforced concrete columns and shear walls mm

為了研究多維地震動(dòng)對(duì)框架-核心筒結(jié)構(gòu)的影響，分別進(jìn)行了一維、二維和三維工況輸入，即水平x向、水平x和y向、x和y與z向。在各工況下，對(duì)結(jié)構(gòu)的層間位移角、層剪力、框架柱軸力與剪力墻軸力進(jìn)行了分析。圖4（a-d）分別給出了在一維、二維和三維地震作用下框架核心筒結(jié)構(gòu)的x方向?qū)娱g位移角、x方向?qū)蛹袅Α⑤S線②與軸線A相交處的柱軸壓力和軸線②處的剪力墻軸壓力最大值的均值隨樓層的變化曲線。

圖4各層反應(yīng)最大值的均值：（a）層間位移角，（b）層剪力，（c）框架柱軸力，（d）剪力墻軸力Fig.4 Mean of maximum response of each storey：（a）inter-storey displacement angle，（b）storey shear，（c）axial pressure of frame column，（d）axial pressure of shear wall

由圖4（a）可知，3種工況的層間位移角均為中上部較大，多維地震作用下的層間位移角顯著大于單向地震作用的層間位移角，二維與三維地震作用下的層間位移角幾乎重合。這表明，考慮雙向水平地震作用時(shí)最大層間位移角顯著變大，豎向地震作用對(duì)最大層間位移角影響不大。由圖4（b）可知，多維地震作用下的層剪力略小于一維地震作用下的，二維和三維地震作用下的層剪力幾乎一致。由圖4（c）可知，相比于一維地震作用下的柱軸力，多維地震作用下的柱軸力顯著增大，且增幅隨著樓層的增加而變大，變化范圍為36.2%～67.7%，豎向地震對(duì)柱軸力影響不可忽略，尤其是上柱。由圖4（d）可知，相比于一維地震作用下的剪力墻軸力，多維地震作用下的剪力墻軸力在結(jié)構(gòu)中下部（20層以下）有所減小，在結(jié)構(gòu)上部（21層以上）呈現(xiàn)出增大趨勢(shì)。三維與二維相比剪力墻軸力反應(yīng)更大。

4 結(jié)論

基于多維地震動(dòng)主軸方向的分量不相關(guān)的考慮，本文建議了一類多維非平穩(wěn)地震動(dòng)的模擬方法，生成了多維地震動(dòng)加速度過(guò)程的代表性時(shí)程集合。同時(shí)，以此時(shí)程作為輸入，分析了一個(gè)33層框架-核心筒結(jié)構(gòu)在不同地震動(dòng)的輸入方式（一維、二維、三維）下的地震反應(yīng)，得出以下結(jié)論：

1）通過(guò)采用隨機(jī)函數(shù)的降維思想，僅需2個(gè)基本隨機(jī)變量即可模擬多維非平穩(wěn)地震動(dòng)過(guò)程，同時(shí)生成的時(shí)程具有賦得概率且構(gòu)成完備的概率集，能夠與概率密度理論相結(jié)合，為復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的多維地震反應(yīng)分析與可靠度評(píng)價(jià)奠定基礎(chǔ)。

2）在罕遇多維地震激勵(lì)下，框架-核心筒結(jié)構(gòu)的最大層間位移角顯著變大、最大層剪力略微變小、最大柱軸壓力明顯變大、最大剪力墻軸壓力下部減小而上部變大。豎向地震作用對(duì)最大層間位移角和層剪力的影響不大，對(duì)最大柱軸壓力和剪力墻軸壓力均為增大作用。