基于擴(kuò)展Lanchester方程的非對(duì)稱型海戰(zhàn)效能研究*

（91404部隊(duì) 秦皇島 066001）

1 引言

傳統(tǒng)意義的Lanchester模型主要通過(guò)建立敵我平臺(tái)耗損的微分方程組的形式［1～3］來(lái)比擬該作戰(zhàn)進(jìn)程，但使用該模型來(lái)描述非對(duì)稱型海戰(zhàn)存在兩個(gè)缺點(diǎn)，一是在非對(duì)稱型海戰(zhàn)中，優(yōu)勢(shì)一方先敵發(fā)現(xiàn)，率先攻擊，使得敵我雙方平臺(tái)耗損過(guò)程呈現(xiàn)很大差異；二是當(dāng)代海戰(zhàn)具有進(jìn)程快、平臺(tái)兵力耗損的“跳躍”性、“間斷”性等特點(diǎn)［4～7］，難以確定非對(duì)稱型海戰(zhàn)何時(shí)進(jìn)行平臺(tái)補(bǔ)充，因此需要研究擴(kuò)展的Lanchester模型。

2 傳統(tǒng)Lanchester方程

傳統(tǒng)的Lanchester方程通常用三個(gè)通用性的方程來(lái)描述［8～10］，即Lanchester方程第一線性率方程、第二線性率方程以及平方率方程。

假設(shè)a、b分別代表藍(lán)、紅兩軍平臺(tái)在單位時(shí)間內(nèi)對(duì)敵對(duì)方平臺(tái)的平均毀傷威力數(shù)，x、y為任意t時(shí)刻敵我兩軍平臺(tái)的剩余數(shù)量的平均數(shù)，x0、y0為敵我兩軍平臺(tái)開(kāi)始時(shí)刻的平臺(tái)數(shù)。Lanchester第一線性率方程、第二線性率方程和平方率方程可描述為［11～12］

3 擴(kuò)展Lanchester模型

非對(duì)稱型海戰(zhàn)可以劃分為兩個(gè)階段。第一階段是優(yōu)勢(shì)的部隊(duì)可以精確探測(cè)到敵方目標(biāo)方位距離等信息，而弱勢(shì)一方只能估計(jì)到某個(gè)海域的海戰(zhàn)，定義為“可見(jiàn)-不可見(jiàn)”階段；第二階段是敵我兩軍同等可精確探測(cè)到對(duì)方平臺(tái)的海戰(zhàn)，及“可見(jiàn)”階段。

3.1 “可見(jiàn)-不可見(jiàn)”階段

假設(shè)藍(lán)軍為性能優(yōu)勢(shì)一方，紅軍為弱勢(shì)的一方，其中a、b分別為藍(lán)紅兩軍于單位時(shí)間內(nèi)單發(fā)炮彈對(duì)紅藍(lán)兩軍平臺(tái)的平均毀傷威力（其中b此時(shí)為0）；x（n）、y（n）為在n時(shí)刻紅藍(lán)兩軍平臺(tái)數(shù)量，x0、y0為紅藍(lán)兩軍開(kāi)始平臺(tái)數(shù)，c（n）、d（n）分別為紅藍(lán)兩軍在n時(shí)刻的支援平臺(tái)［1］。

那么此時(shí)紅藍(lán)兩軍戰(zhàn)斗模型為

通過(guò)迭代可求的：

求解上式可得：

如下結(jié)論：

1）“可見(jiàn)-不可見(jiàn)”階段不存在和局條件，隨著戰(zhàn)斗次數(shù)的增多，紅方即弱勢(shì)一方的耗損越來(lái)越多，說(shuō)明弱勢(shì)一方在遭受不對(duì)等作戰(zhàn)時(shí)，要盡快探明敵情，盡早發(fā)現(xiàn)敵方。

2）該階段紅方（弱勢(shì)一方）為避免快速落敗，應(yīng)該加大平臺(tái)補(bǔ)充力度。

3）該階段藍(lán)方（優(yōu)勢(shì)一方）的耗損與己方開(kāi)始平臺(tái)無(wú)關(guān)，性能優(yōu)勢(shì)一方，投入較少平臺(tái)就可取得戰(zhàn)斗勝利，證明了艦艇隱身性和預(yù)警探測(cè)性能對(duì)于戰(zhàn)局決定性影響。

3.2 “可見(jiàn)”階段

隨著戰(zhàn)斗的進(jìn)行，敵我兩軍終將可精確探測(cè)到對(duì)方的海戰(zhàn)，進(jìn)入“可見(jiàn)”階段?！翱梢?jiàn)”階段海戰(zhàn)模型類似于Lanchester平方律模型［1］。

此時(shí)紅藍(lán)兩軍戰(zhàn)斗模型為

求解式（11）比較困難的，可以考慮某一小段時(shí)間，假設(shè)只有n+1點(diǎn)，兩軍有平臺(tái)增援，此時(shí)有：

當(dāng)i≤n時(shí)；求解式（11）可得：

當(dāng)i≥n+1時(shí)，求解式（11）可得：

其中：x0、y0分別為進(jìn)入“可見(jiàn)”階段時(shí)的紅藍(lán)兩軍開(kāi)始平臺(tái)：

結(jié)合以上公式可得：

紅藍(lán)雙軍平臺(tái)數(shù)量的損失與我方開(kāi)始平臺(tái)數(shù)量有關(guān)，我軍開(kāi)始平臺(tái)越多，越容易獲得戰(zhàn)爭(zhēng)的勝利。

紅藍(lán)雙軍平臺(tái)數(shù)量的變化與敵對(duì)兩軍單發(fā)炮彈的平均毀傷威力有關(guān)，我軍對(duì)敵方炮彈殺傷性越大，越容易獲得戰(zhàn)爭(zhēng)的勝利；而且存在時(shí)，即時(shí)，紅軍平臺(tái)的耗損小于藍(lán)軍的耗損，此條件下類似于Lanchester平方律方程。

3.3 非對(duì)稱型海戰(zhàn)和局條件

非對(duì)稱型海戰(zhàn)模型分為兩個(gè)階段，第一個(gè)階段不存在和局條件，弱勢(shì)一方由于無(wú)法觀察敵方，只能被動(dòng)挨打，直至進(jìn)入第二階段，此時(shí)時(shí)刻為T，想要達(dá)到和局，無(wú)支援兵力條件下必須滿足如下條件：

同時(shí)在第一階段中：

以此可得非對(duì)稱型海戰(zhàn)和局條件：

4 仿真實(shí)例

前文已經(jīng)推導(dǎo)出非對(duì)稱型海戰(zhàn)的解析解，得到的平臺(tái)耗損和單發(fā)炮彈的平均毀傷威力和平臺(tái)數(shù)量的關(guān)系并不直觀可見(jiàn)，同時(shí)平臺(tái)補(bǔ)充的數(shù)量和時(shí)機(jī)的關(guān)系不易得到，因此需要仿真驗(yàn)證，其中弱勢(shì)一方從時(shí)間2開(kāi)始觀察到目標(biāo)，及從“可見(jiàn)-不可見(jiàn)”階段進(jìn)入“可見(jiàn)”階段。

模型一：在無(wú)平臺(tái)補(bǔ)充條件下

1）紅藍(lán)兩軍開(kāi)始平臺(tái)相同，單發(fā)彈毀傷威力不同，即 x0=y0=20，a=0.1，b=0.05；此時(shí)紅藍(lán)兩軍平臺(tái)耗損如圖1所示。

圖1 開(kāi)始平臺(tái)相同、單彈毀傷威力不同戰(zhàn)斗

2）紅藍(lán)兩軍開(kāi)始平臺(tái)數(shù)量不同，單發(fā)彈毀傷威力不同，即x0=20，y0=32，a=0.1，b=0.05；同時(shí)開(kāi)始平臺(tái)滿足式（21）和局條件，因此戰(zhàn)斗結(jié)果為和局，此時(shí)紅藍(lán)兩軍平臺(tái)耗損如圖2所示。

圖2 和局條件下的戰(zhàn)斗

從該模型可以得到：?jiǎn)伟l(fā)炮彈的平均毀傷威力和平臺(tái)數(shù)量影響戰(zhàn)局，在“可見(jiàn)-不可見(jiàn)”階段，是弱勢(shì)一方單方面耗損過(guò)程，因此在非對(duì)稱型海戰(zhàn)中，弱勢(shì)一方取得勝利，需投入大量平臺(tái)。

模型二：有平臺(tái)補(bǔ)充條件下

1）紅藍(lán)兩軍開(kāi)始平臺(tái)相同，單發(fā)彈毀傷威力不同，即x0=y0=20，a=0.1，b=0.05；紅方平臺(tái)在i=1時(shí)刻（及第一階段時(shí)刻內(nèi)）支援為7，藍(lán)方無(wú)支援，滿足非對(duì)稱的海戰(zhàn)和局條件，此時(shí)紅藍(lán)兩軍平臺(tái)耗損如圖3所示。

圖3 紅方有平臺(tái)補(bǔ)充條件下的作戰(zhàn)（i=1，c=7）

2）紅藍(lán)兩軍開(kāi)始平臺(tái)相同，單發(fā)彈毀傷威力不同，即x0=y0=20，a=0.1，b=0.05；紅方平臺(tái)在i=5時(shí)刻（及第二階段時(shí)刻內(nèi)）支援為10，藍(lán)方無(wú)支援，滿足非對(duì)稱型海戰(zhàn)和局條件，此時(shí)紅藍(lán)兩軍平臺(tái)耗損如圖4所示。

圖4 紅方有平臺(tái)補(bǔ)充條件下的作戰(zhàn)（i=5，c=10）

圖5 紅方有平臺(tái)補(bǔ)充條件下的作戰(zhàn)（i=7，c=11）

3）紅藍(lán)兩軍開(kāi)始平臺(tái)相同，單發(fā)彈毀傷威力不同，即x0=y0=20，a=0.1，b=0.05；藍(lán)方平臺(tái)在i=7時(shí)刻（及第二階段時(shí)刻內(nèi)）支援11；藍(lán)方無(wú)支援，為非對(duì)稱的海戰(zhàn)和局條件，此時(shí)紅藍(lán)兩軍平臺(tái)耗損如圖5所示。

結(jié)合圖5可得如表1。

表1 和局條件匯總表

從該模型可以得到：在非對(duì)稱型海戰(zhàn)中，平臺(tái)兵力的補(bǔ)充可以有效改變戰(zhàn)局變化，單發(fā)炮彈毀傷威力小和隱身性能差的弱勢(shì)一方當(dāng)其支援?dāng)?shù)大于平衡條件數(shù)，即滿足和局條件就可改變戰(zhàn)局勝負(fù)；同時(shí)由表1可得，弱勢(shì)一方想最小代價(jià)扭轉(zhuǎn)敗事，需要在發(fā)現(xiàn)目標(biāo)后盡早支援，而在未發(fā)現(xiàn)目標(biāo)情況下支援，對(duì)于戰(zhàn)局影響不大。

5 結(jié)語(yǔ)

本文根據(jù)現(xiàn)代非對(duì)稱型海戰(zhàn)的特點(diǎn)，提出了擴(kuò)展Lanchester模型，推導(dǎo)了非對(duì)稱型海戰(zhàn)的兩階段的數(shù)學(xué)表達(dá)式以及和局條件，應(yīng)用仿真手段進(jìn)行了驗(yàn)證研究，本文的結(jié)果對(duì)我海軍對(duì)于強(qiáng)敵作戰(zhàn)有一定借鑒意義。但論文存在一定不足，其一是未考慮雙方平臺(tái)補(bǔ)充可能導(dǎo)致艦艇編隊(duì)整體探測(cè)能力增加，其二是未考慮平臺(tái)作戰(zhàn)中隊(duì)形和戰(zhàn)術(shù)對(duì)于海戰(zhàn)的影響，需要下一步研究。