基于領(lǐng)航跟隨的多機(jī)器人系統(tǒng)有限時間一致性控制研究

孫玉嬌，楊洪勇，于美妍

(魯東大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，山東 煙臺 264025)

0 引言

現(xiàn)在人工智能受到越來越多的關(guān)注，對于多機(jī)器人的編隊控制逐漸成為研究熱點。隨著機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展，機(jī)器人被應(yīng)用到越來越多的領(lǐng)域，包括家庭、工作和社區(qū)等，機(jī)器人從各方面改變著我們的生活方式。

作為機(jī)器人家族的一種，輪式機(jī)器人是機(jī)器人運動控制的研究熱點之一。從輪式機(jī)器人運動控制入手[1]，研究了在理想狀態(tài)下輪式機(jī)器人軌跡跟蹤的一般方法，通過仿真驗證了運動控制方法可行性。通過對復(fù)雜多機(jī)器人的運動一致性問題進(jìn)行研究[2]，設(shè)計了一種分布式編隊控制協(xié)議，實現(xiàn)了多移動機(jī)器人的動態(tài)編隊。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)數(shù)據(jù)包丟失和加性白噪聲等通信問題時，詹習(xí)生[3]等人采用頻域的方法研究了網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，得到了網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)穩(wěn)定所需信噪比的最小(極限)值。馮磊[4]研究了針對復(fù)雜環(huán)境下的編隊控制算法，并通過仿真進(jìn)行了驗證。根據(jù)機(jī)器人之間的局部信息交互，易國等[5]提出了領(lǐng)航—跟隨編隊分布式控制算法。針對非線性系統(tǒng)，采用反步法和一致性理論對領(lǐng)航—跟隨編隊控制律進(jìn)行設(shè)計[6]。進(jìn)而研究了多智能體系統(tǒng)編隊避障控制算法[7]，并用李雅譜諾夫穩(wěn)定性定理證明了控制器的穩(wěn)定性。后來針對基于領(lǐng)航—跟隨法的有限時間旋轉(zhuǎn)一致性問題和編隊問題進(jìn)行了研究[8]。劉海濤等[9]研究了具有參數(shù)不確定和外界干擾情況下機(jī)器人的軌跡跟蹤問題，結(jié)合Backstepping的反推設(shè)計控制器方法，提出了一種有限時間穩(wěn)定的跟蹤控制方法。王芳等[10]證明了通信拓?fù)錇槁?lián)合連通時提出的二階多智能體系統(tǒng)有限時間一致性協(xié)議的穩(wěn)定性。對于多機(jī)器人系統(tǒng)，需要將問題轉(zhuǎn)換為軌跡追蹤問題[11]，采用反步法逐步構(gòu)造出李雅普諾夫函數(shù)，研究線性多智能體系統(tǒng)的有限時間一致性。吳小重等[12]在控制輸入受限的多機(jī)器人系統(tǒng)模型下，基于有限時間一致性，提出了有限時間編隊控制方案。針對收斂速率這一問題設(shè)計多機(jī)器人系統(tǒng)的一致性算法，應(yīng)用到多機(jī)器人編隊控制中，可以提高了收斂速率[13]。蔣國平等[14]討論了線性多機(jī)器人系統(tǒng)收斂時間的問題。王慶領(lǐng)[15]構(gòu)建了非線性機(jī)器人運動系統(tǒng)，研究了飽和受限的非線性多機(jī)器人系統(tǒng)的一致性問題。

基于前面研究成果，本文擬研究非完整移動機(jī)器人系統(tǒng)的有限時間編隊控制問題。本文通過引入虛擬領(lǐng)航者把多機(jī)器人系統(tǒng)的編隊控制問題轉(zhuǎn)化為路徑跟蹤問題，構(gòu)建了具有輸入飽和受限約束的多機(jī)器人系統(tǒng)的有限時間編隊控制協(xié)議。

1 預(yù)備知識

1.1 基本知識

采用圖論知識描述非完整移動機(jī)器人間的通信拓?fù)潢P(guān)系。定義圖G=(V(G),E(G))，其中，V(G)={v1,v2,…,vn}為有限節(jié)點集，表示機(jī)器人。E(G)={e1,e2,…em}為有限邊集，由有序?qū)?vi,vj)表示機(jī)器人之間的通信連接關(guān)系：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)趈個節(jié)點能夠直接接收第i個節(jié)點的消息時，此時，節(jié)點vj稱作節(jié)點vi的父節(jié)點，節(jié)點vi稱作節(jié)點vj的子節(jié)點。如果(vi,vj)∈E，則稱頂點i是頂點j的一個鄰居，節(jié)點vj的鄰居節(jié)點集合表示為其父節(jié)點的集合，即Nj=(vi∈V|(vj,vi)∈E)。文中，用子圖Gs的節(jié)點集V(Gs)={v1,v2,…,vn}表示跟隨者機(jī)器人集合，節(jié)點v0表示虛擬領(lǐng)導(dǎo)者機(jī)器人。跟隨者節(jié)點之間，A(Gs)=[aij]∈Rn×n,(j,i∈I,I={1,2,…,n})為加權(quán)鄰接矩陣，對于任意j,i∈I，ajj=0，aij=aji≥0(i≠j)，當(dāng)(vj,vi)?E(Gs)時，aij=0，否則aij=1。在圖G中，定義向量B=(b1,b2,…,bn)，當(dāng)節(jié)點v0是節(jié)點vj的鄰居節(jié)點時，bj=1，否則，bj=0。如果任意節(jié)點vj(j∈I)與節(jié)點v0之間都存在一條路徑，節(jié)點v0是全局可達(dá)的。節(jié)點vi與節(jié)點vj之間的路徑用一系列節(jié)點序列(vi,vk1),(vk1,vk2),…,(vkl,vj)表示，且若vj與vi之間有路徑存在，則稱vj與vi之間是可達(dá)的；否則稱vj與vi之間是不可達(dá)的。

定義1有向圖G的拉普拉斯矩陣定義為：

L=D-A

(1)

1.2 相關(guān)引理

引理1考慮自治動力學(xué)系統(tǒng)，假設(shè)存在一個C1上的連續(xù)可微函數(shù)V(x)定義在原點的領(lǐng)域，且實數(shù)c>0，α∈(0,1)，使得：

1)V(x)正定；

引理3對于無向通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖G，L(A)=[lij]∈Rn×n代表該無向圖的Laplacian矩陣，有如下性質(zhì)：

引理4對于無向通信拓?fù)鋱DG，假如存在一個函數(shù)φ:R2→R滿足φ(xi,xj)=-φ(xj,xi)，?i,j∈I，i≠j那么就有一組數(shù)列y1,y2,…,yn滿足：

(2)

1.3 非完整移動多機(jī)器人系統(tǒng)模型

本文的研究對象為非完整約束條件下的輪式機(jī)器人，系統(tǒng)由n+1個機(jī)器人組成，機(jī)器人序列用編號ξ={0,1,2,…,n}來表示，編號0的機(jī)器人為虛擬領(lǐng)導(dǎo)者，其余n個為跟隨者。vj表示機(jī)器人的線速度，機(jī)器人的位姿可以表示為P=[xj,yj,θj]，xj、yj表示機(jī)器人的位置，θj表示機(jī)器人運動的速度向量v和X軸正方向的夾角(X-Y為全局坐標(biāo)系)，wj是機(jī)器人運動的角速度，在驅(qū)動輪純滾動無滑動的情況下，機(jī)器人受非完整約束(如圖1所示)，機(jī)器人j的動力學(xué)模型為：

圖1 非完整移動機(jī)器人圖

(3)

定義2非完整移動多機(jī)器人系統(tǒng)的跟隨機(jī)器人j(1≤j≤n)位姿滿足式(3)的要求，則系統(tǒng)在有限時間內(nèi)實現(xiàn)預(yù)期編隊目標(biāo)。如果式(4)成立，

(4)

2 多機(jī)器人系統(tǒng)編隊控制一致性算法

2.1 編隊控制問題轉(zhuǎn)換

考慮到多機(jī)器人系統(tǒng)的控制輸入飽和受限的條件，將機(jī)器人的坐標(biāo)變換進(jìn)行定義：

(5)

其中1≤j≤n，u1j(t)和u2j(t)為待設(shè)計的控制輸入，σμ1(u1j(t))和σμ2(u2j(t))為飽和受限下的控制輸入。定義σμ:R→R為輸入飽和函數(shù)，表達(dá)式為σμ(x)=sign(x)·min{|x|,μ}，μ>0；定義函數(shù)sig(x)α=sign(x)·|x|α，sign(x)為符號函數(shù)，α∈(0,1)。

基于以上的設(shè)計，多機(jī)器人系統(tǒng)的動力學(xué)模型可以定義為：

(6)

其中，領(lǐng)航機(jī)器人的坐標(biāo)變換后的狀態(tài)信息如式(7)：

(7)

對于非完整移動多機(jī)器人系統(tǒng)，如果跟隨機(jī)器人j的各狀態(tài)量均在有限時間內(nèi)T∈[0,1)內(nèi)滿足一致性要求，則系統(tǒng)在有限時間內(nèi)收斂到預(yù)期編隊目標(biāo)，即式(8)成立：

(8)

2.2 編隊控制一致性分析

將式(5)分解為一個一階子系統(tǒng)式(9)和一個二階子系統(tǒng)式(10)，設(shè)計有限時間一致性算法達(dá)到一致性要求，進(jìn)而實現(xiàn)編隊控制目標(biāo)。

(9)

(10)

下面將針對子系統(tǒng)設(shè)計有限時間一致性協(xié)議，并對一致性協(xié)議下的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，證明非完整移動多機(jī)器人系統(tǒng)在輸入飽和受限的條件下有限時間內(nèi)能夠完成編隊控制目標(biāo)。

定理1對于無向網(wǎng)絡(luò)中的非完整移動多機(jī)器人系統(tǒng)(3)，虛擬領(lǐng)導(dǎo)者是全局可達(dá)的，則對于任意初始狀態(tài)，應(yīng)用設(shè)計的一致性協(xié)議，非完整移動多機(jī)器人系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)有限時間編隊控制目標(biāo)。

證明：首先對一階子系統(tǒng)一致性進(jìn)行證明，考慮到控制輸入飽和受限的條件，提出一致性控制算法：

(11)

其中,0<α1<1，Δ1<μ1。

令跟蹤誤差為：

(12)

將式(11)求導(dǎo)后并將式(10)代入可以得到：

(13)

(14)

再由引理2可以得到：

(15)

根據(jù)引理3可以得到：

(16)

由式(14)、(15)可以得到：

(17)

由引理1知，當(dāng)t≥T(t(0))時一階子系統(tǒng)可以在有限時間內(nèi)達(dá)到一致性，此時跟隨機(jī)器人跟蹤上領(lǐng)航機(jī)器人的運動狀態(tài)。

(18)

(19)

(20)

其中，k2=2k1。

(21)

(22)

再由引理2可以得到：

(23)

(24)

由引理1可以知道二階系統(tǒng)在有限時間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定。

因此，一、二階子系統(tǒng)均在有限時間內(nèi)達(dá)到一致性，此時跟隨機(jī)器人均跟蹤上領(lǐng)航機(jī)器人的運動狀態(tài)，非完整移動多機(jī)器人系統(tǒng)在有限時間完成編隊控制目標(biāo)。

3 仿真分析

本節(jié)對本文的理論結(jié)果進(jìn)行仿真驗證，分析非完整移動多機(jī)器人系統(tǒng)的有限時間編隊控制算法的有效性。

3.1 算法參數(shù)初始化

設(shè)由5個跟隨機(jī)器人和一個領(lǐng)航機(jī)器人組成的非完整移動多機(jī)器人系統(tǒng)，用p=(x,y,θ)表示位姿信息，每個機(jī)器人的初始信息如表1所示。

表1 系統(tǒng)初始參數(shù)設(shè)置

將本文所提一致性協(xié)議應(yīng)用于多機(jī)器人系統(tǒng)，將協(xié)議參數(shù)設(shè)為α1=0.8，輸入飽和參數(shù)設(shè)為Δ1=1.33，Δ2=8。仿真時間設(shè)為30 s，系統(tǒng)中機(jī)器人通信拓?fù)潢P(guān)系對應(yīng)的A矩陣和B向量分別取為

3.2 多機(jī)器人編隊

基于以上對機(jī)器人的初始參數(shù)設(shè)置，接下來對非完整移動多機(jī)器人系統(tǒng)輸入飽和受限條件下有限時間編隊控制進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖2～圖4所示。

圖2 狀態(tài)誤差z1j-z10變化曲線

圖3 狀態(tài)誤差z2j-z20變化曲線

圖4 狀態(tài)誤差z3j-z30變化曲線

圖2、圖3、圖4中的藍(lán)、橙、黃、紫、綠線分別表示跟隨機(jī)器人1-5的狀態(tài)信息，橫坐標(biāo)表示時間，單位為秒，縱坐標(biāo)分別表示角度狀態(tài)誤差，單位為弧度，x軸狀態(tài)誤差，單位為米，y軸狀態(tài)誤差，單位為米。從圖2～圖4可以看出，在一致性控制協(xié)議的作用下，隨著時間的推移，角度和位移分別在7 s，9 s，8 s的時候收斂到0，這時候表明跟隨機(jī)器人跟蹤上了領(lǐng)航機(jī)器人的運動狀態(tài)。

圖5表示機(jī)器人形成三角形編隊做圓周運動的過程，淺藍(lán)色實線表示虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的運動軌跡，編隊由開始的正五邊形逐漸收斂成期望隊形——三角形，并一直重復(fù)進(jìn)行圓周運動。

圖5 多機(jī)器人系統(tǒng)編隊運動軌跡

把本文提出的多機(jī)器人編隊控制協(xié)議與已有成果進(jìn)行比較。圖6和圖7是機(jī)器人系統(tǒng)形成編隊所需的時間，圖6是應(yīng)用已有文獻(xiàn)[12]的控制協(xié)議得出的結(jié)果，大約6.5 s形成編隊；圖7是應(yīng)用本文的控制方法得出的結(jié)果，大約3.5 s形成編隊。由此可以看出本文設(shè)計的多機(jī)器人有限時間一致性協(xié)議，可以更加快速收斂，實現(xiàn)多機(jī)器人的運動編隊。

圖6 位置誤差與時間的關(guān)系

圖7 位置誤差與時間的關(guān)系

4 結(jié)論

本文以多智能體系統(tǒng)為研究背景，以圖論為工具，研究了飽和受限多智能體有限時間一致性問題，提出了基于一致性理論的領(lǐng)導(dǎo)—跟隨方法編隊控制。隨著多智能體系統(tǒng)的廣泛應(yīng)用，關(guān)于一致性問題的研究進(jìn)展非常迅速，仍有很多問題值得進(jìn)一步探討，例如由于外界環(huán)境的干擾和系統(tǒng)模型本身的不確定性對系統(tǒng)穩(wěn)定性以及控制性能的影響，帶有模型不確定性的多智能體系統(tǒng)一致性等。