偏微分方程中熱傳導(dǎo)模型的建立與求解

楚智媛

（吉林醫(yī)藥學(xué)院，吉林 吉林 132000）

1 偏微分方程

1.1 偏微分方程的起源與發(fā)展

偏微分方程最早起源于18 世紀，當(dāng)時歐拉提出了弦振動的二階方程，它是最早的偏微分方程。到了19 世紀，偏微分方程這門學(xué)科漸漸的發(fā)展起來，法國數(shù)學(xué)家傅里葉在《熱的解析理論》中描述了熱流動的問題，它給出了著名的傅里葉解法來求偏微分方程，同時他也是最早提出三維空間的熱流動問題，他的解法為推動偏微分方程這門學(xué)科的發(fā)展貢獻了巨大的力量?？上У氖牵?dāng)時只給出了一些解，但是沒有證明解的收斂性。到了20 世紀，隨著泛函分析等一些學(xué)科的發(fā)展，推動著偏微分方程的巨大發(fā)展。蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)家索伯列夫擴大了對解的概念的理解，提出了廣義函數(shù)的概念，繼而法國的著名數(shù)學(xué)家洛朗·施瓦茨深入學(xué)習(xí)和研究，讓偏微分方程這門學(xué)科又有了進一步的發(fā)展。

數(shù)學(xué)史上有許多著名的偏微分方程例如：不可壓流體的不可壓Euler 方程、幾何學(xué)中的極小曲面方程、電磁學(xué)理論中的Maxwell 方程組、廣義相對論中的Einstein 方程等。其實很多偏微分方程不僅跟數(shù)學(xué)有關(guān)，更多的是和物理相關(guān)的內(nèi)容，由此可見，偏微分方程理論與求解在推動社會科技進步與發(fā)展中起著至關(guān)重要的作用，因此我們對求解偏微分方程的研究和求解從未停止過。偏微分方程的求解一直是數(shù)學(xué)家潛心研究的領(lǐng)域，因為它極其復(fù)雜，有的方程是無法給出具體的解析解的，所以還有很多偏微分方程是在論證解的存在性，然后通過其他實驗或者是數(shù)值解法進而給出一個可能滿足某偏微分方程的解。

1.2 偏微分方程的預(yù)備知識

偏微分方程就是指給出的方程當(dāng)中含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)方程。偏微分方程都是指的多元函數(shù)，如果一元函數(shù)的話那就是常微分方程。我們之前在學(xué)習(xí)常微分方程的時候知道，如果常微分方程要是有解則它必有無窮多個解，那么拿到偏微分方程中來看的話，可以知道偏微分方程的通解也會含有任意元素。但是隨著我們的求解會發(fā)現(xiàn)，偏微分方程是很難求解的，有的甚至給不出通解的表達式，于是才有數(shù)學(xué)家會退而求其次證明解的存在性。我們一般研究的是二階偏微分的求解問題，那么二階線性偏微分方程的基本形式如下：

式中：L為線性偏微分方程算子，x為自變量，i，j表示正整數(shù)，xi，xj代表分量，m為正整數(shù)，Rm為實數(shù)域，aij（x）二階偏導(dǎo)數(shù)的系數(shù)，bi（x）為一階偏導(dǎo)數(shù)的系數(shù)，c，u，f都是關(guān)于自變量的函數(shù)，f在偏微分方程中稱為自由項，當(dāng)f=0 時是齊次二階線性偏微分方程組，當(dāng)f≠0 時稱為非齊次二階線性偏微分方程組。二階偏微分方程一般分為橢圓方程、拋物方程、雙曲方程3 種。那么如何確定二階偏微分方程的類型呢，我們可以使用二階項數(shù)的系數(shù)矩陣來確定。如果系數(shù)矩陣是正定的或者是負定的，那么它就是橢圓方程。如果系數(shù)矩陣是半正定的或者是半負定的，那么它就是拋物方程。如果系數(shù)矩陣是不定的，那么它就是雙曲方程。其中橢圓方程與時間t無關(guān)，稱為穩(wěn)態(tài)方程，拋物方程和雙曲方程與時間t有關(guān)，所以稱為發(fā)展方程。

1.3 二階偏微分方程的定解問題

這里我們以發(fā)展問題為例，要想讓偏微分方程有唯一的解，我們需要給這個方程加上一個初值條件和邊值條件。邊值條件中有3 種類型：

Dirichlet 邊界條件（第一邊值條件）

Neumann 邊界條件（第二邊值條件）

Robin 邊界條件（第三邊值條件）

式中：Ω 為邊界，n是上每一點的外法向，為邊界分布，α表示系數(shù)。

二階偏微分方程、初值條件、邊值條件3 個元素共同構(gòu)成了定解問題。

2 熱傳導(dǎo)模型

熱傳導(dǎo)[1]是指介質(zhì)內(nèi)無宏觀運動時的傳熱現(xiàn)象，更嚴格的說是指固體中才是真正的熱傳導(dǎo)。熱傳導(dǎo)是指物體或者系統(tǒng)內(nèi)存在著溫度差，熱量可以從溫度高的地方流入溫度低的地方，其中熱傳導(dǎo)的速率由物體內(nèi)溫度場的分布情況所決定。我們通過熱傳導(dǎo)模型建立偏微分方程，偏微分方程的解可以刻畫出熱量傳遞期間函數(shù)的變化情況。熱傳導(dǎo)問題是描述在某個特定的區(qū)域內(nèi)，溫度是如何隨時間發(fā)生變化的。熱傳導(dǎo)模型分為一維和三維的，該文我們將以一維熱傳導(dǎo)模型為例，給出方程的推導(dǎo)過程。令x為位置，t為時間，為x位置在t時刻的溫度，Q為熱量，設(shè)一維桿的截面面積為S，體積為V，我們根據(jù)能量守恒定律和傅里葉熱傳導(dǎo)定律能得出下面的式子。

由能量守恒可知，從t1時刻到t2時刻熱量的變化為

式中：c為單位質(zhì)量的物體改變1 ℃所需要的熱量即為比熱，ρ為密度，兩邊同時取三重積分則為

再由傅里葉熱傳導(dǎo)定律得到，從t1到t2時刻通過物體的熱量為

其中n為外法向，再由高斯公式推導(dǎo)可知一維熱傳導(dǎo)模型公式[2-3]為：

同理，我們還可以把熱傳導(dǎo)模型推導(dǎo)到三維空間上，該文我們就不再過多贅述了，其方法和一維熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)過程相同，因此三維熱傳導(dǎo)模型公式為：

3 利用差分法求解一維熱傳導(dǎo)方程問題

導(dǎo)數(shù)實際上就是極限值，我們想用差商來代替微商，于是使用差分法來求解偏微分方程問題。差分法[4-5]是一種解決微分方程的近似解法，能夠給出近似解。它是通過有限次差分來近似導(dǎo)數(shù)，從而尋求方程的近似解。用更簡單的一句話來說就是把導(dǎo)數(shù)用有限差商來替代，從而把方程和邊界條件近似地改成差分方程來表示，把微分方程的問題改成代數(shù)方程的問題。綜上，就是用差商來近似代替微商，公式如下：式中：y（x）表示在點處的函數(shù)值，y（x+Δx）表示在x+Δx處的函數(shù)值，Δx表示增量，d 是導(dǎo)數(shù)的符號。此外，在使用差分法求解一維熱傳導(dǎo)問題時，我們還要知道泰勒公式和一階中心差商公式，具體公式如下：

式中：f為函數(shù)，x為自變量，h為增量，d為一階導(dǎo)數(shù)，d2為二階導(dǎo)數(shù)，d3為三階導(dǎo)數(shù)2!=2×1，3!=3×2×1，Δf，表示差分，表示自變量的增量。由此，我們可以根據(jù)上述2 個公式推導(dǎo)出二階中心差商公式，如下：

差分法求解的具體過程如下。首先，知道求解區(qū)間，規(guī)定整個模型的長度為l，然后把求解的區(qū)域離散化，將變量x進行n等分（h為x方向上的步長），變量t進行m等分（τ為t方向上的步長），給出相應(yīng)的坐標表達式：

式中：xi表示x的第i個分量，tk表示t的第k個分量，T為總時間。根據(jù)上述的離散化，我們將整個區(qū)域分成若干個小網(wǎng)格，我們要求每個網(wǎng)格節(jié)點的函數(shù)值，然后套用差分法來求解偏微分方程的解，這里為了我們今后書寫方便，我們給出簡化記法：

其次，化簡一維熱傳導(dǎo)問題

由此我們可以看出，這個區(qū)域的每個網(wǎng)格節(jié)點處的函數(shù)值都可以用與它下方相鄰的3 個點的函數(shù)值來給出。綜上，一維熱傳導(dǎo)模型問題的差分法為：

最后，根據(jù)上述迭代公式，我們可以使用相應(yīng)的數(shù)學(xué)軟件，例如MATLAB 來編程，進而求解出偏微分方程的解析解。

4 結(jié)語

偏微分方程在數(shù)學(xué)學(xué)科當(dāng)中有著非常重要的地位。因為我們現(xiàn)實生活中遇到的問題都是多變量的，建立的模型中變量越多越能夠很好的模擬現(xiàn)實生活，多變量問題就可以轉(zhuǎn)化成偏微分方程求解的問題。數(shù)學(xué)發(fā)展至今，偏微分方程求解問題仍然是各個科學(xué)家們潛心研究的重要領(lǐng)域，一直在尋找新的問題突破口。其中，熱傳導(dǎo)模型問題是非常典型的偏微分方程問題，它的求解有很多方法，差分法是比較好理解和好操作的一種。除差分法外，還可以利用MATLAB 中的pdepe 函數(shù)、toolbox工具箱來求解或者是蒙特卡洛求法等。該文給出了一維熱傳導(dǎo)模型問題的求法，我們可以比較一下其他算法和差分法哪個更簡單實用，還可以擴充維數(shù)，去研究三維問題，探討一下三維熱傳導(dǎo)模型問題使用哪種方法等方便、更能簡化運算時間。